Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, страница 14

3. х — = у+ 1' ха+ у'. з(у дх 4. х — + у+хз й'у й'х 5. удх — хду=хзуду. 6. — +Зх=е . дх л й 7.,уз!их+у' соз х = 1. 8. у'=гк т. ' дх 9. — = х+ з!пй Л 12. гу')з = 9у4. к дх —, х 13. — '=е + —. дт 4 х з + ( у ) з ! 1 15. у = ху'+ —,. у' 16 х=(у')з — у' Р2 17. — = ' дх х+у' 18 у (у) (у)з 83 задачи к главк ! 20 мпн, охлаждается от 100 до 60'С, то н течение какого времени температура гела досюггнет 30' С1 24, Моторнав лодка движется в споко)1ной воде со скоростью !О км/час. На полном коду ее мотор был выключен и через ! = 20 сек. скорость лодка улгеньшилась до о, =6 кж/час.

Определить скорость лодки через 2 мин. после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. 25. Найти форму зеркала, отражающего параллельно данному направление все лучи, выходящие нз заданной точки. 26. у'+уз=4. 27. Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключенный между осякш координат, дел~ттся в точке касания на равные части. 4х 2х †у 'Лх 1+х 30. Численно проинтегрировать уравнение — +у' »(О) =0 Ф) сГх Определить у(0,5) с ~очностью до 0,01.

31. Численно проинтегрировать уравнение — —.=х»т+хз, у(О)=0. ггу (х Определить у(0,6) с точностью до 0,01. 32. у' = 1,31х — О,йу', у(0) = 2. Составить таблицу пятнадцати значений у с шаголт й = 0.02. ,т ЗЗ. у 2ху' — у' . 34. — =сок(х — у) г(х 35. Пользуясь методом изоклин (сль стр, !7), слслать набросок семейства ннтегральнык привык уравнения т(» л т — = х' — у . дх 36.

(2х+ 2» — 1) дх+ (х+ У' 2) иу = О. Зт. у' — »е =О 38. Найти ортогональные траектории парабол уз+ 2ах= ат. 30. Имеет ли дифференциальное уравнение у = 5ху' — (у')' особое решение) 40. Приближенно проинтегрировать уравнение — = х — у'. у(1) = 0 ду в'х методом последовательных приближений (определить у, н у,). к 41.

у = ха+ ! — дх. д х 42. Имеет ли уравнение у' = 3' х — 5у+2 особое решение) 43, (х — у) у т(х — х'еу =О, 44. Найти ортогональпые траектории семейства у' сх'. 45. х+бх= 101+2 при 1=1, х 2. 84 див авявннилльн!яв кравнвния пврвого порядка х ха 46. х= — '+ — при т = 2, х= 1. сэ 47. у = ху'+ у' при х = 2, у = — 1. .2 48. у = ху'+ у' прн х = 1, у = — 1, Ну Зх — 4У-2 49. я'х Зл — 4У вЂ” 3 ' 50. х — х с18 ! = 4 ми г. 5!. у = ха+ 2у'.т+ " Зу 52.

у' — — +х')4 = О. 53. у (1+ у' ) = а. 54. (х' — у) с(х+ (хау'+ х) Ду = О. 55. Найти интегрирующий множнгель уравнения (Зу' — х) ах+ 2у (у' — Зх) ау = О, имеющий вид р = р. (х+ у'). 56. (х — у) у дх — х' с(у = О. х+у — 3 57. у'= + 58. ху' — уа (их+у = О. 59. (х' — 1) у'+2ху — соа х= О. 60. (4у + 2х+ 3) у' — 2у — х — 1 =.

О. 61, (уа — х) у' — > + х' =- О. 62. (у' — х') у'+ 2ху =- О. 63. Зху'у'+у' — 2х== О. 64. (у')'+(х+ о) у' — у = О, где а — постоянная. 65. (у')' — 2ху'+ у —,- О. 66. (у')а+2уу' ссйх — у'= О. ГЛАВА 2 ДИффЕРЕНПИАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЪ|ШЕ ПЕРВОГО 4 1. Теорема существования н единственности для дифференциального уравнения и-го порядка Дифференциальные уравнения и-го порядка имеют вид уоо у (х у у' уы- н) (2.!) или, если онн не разрешены относительно старшей производной, у'(х, у, у', ..., У~ю) =О. Теорема существования и единственности для уравнения и-го порядка легко может быть получена путем сведения его к системе уравнений, для которой на стр.

51 теорема существования и единственности уже была доказана. Действительно, если в уравнении Уме= т(х, У, У', ..., У~ — П) нензвестпымп функциями считать пе только у, но н у =- у,, У =уз ° °" у'" "=у,, то уравнение (2.1) заменяется системой у =у1 У1 )я (2.2) У„о= У„1 у„',= Г(х, у, уп ..., У,,) после чего уже можно применить теорему о существовании и единственности решения системы уравнений (см. стр, 51), согласно которой, если правые части всех уравнений системы (2.2) непрерывны в рассматриваемой области и удовлетворяют условию Липшица по всем аргументам, кроме х, то существует единственное решение системы (2.2), удовлетворяющее условиям У (хо) =Уо У|(хо) = У1о ° ° ° У -г(хо) =Уз-ьо УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО 1Гч 2 Правые части первых п — 1 уравнений (2.2) непрерывны и удовлетворяют не только условию Липшица, но даже более грубому условию существования ограниченных производных но у, ун уг, ..., у„ Следовательно, условия теоремы существования и единственности будут вынолнены, если правая часть последнего уравнения у„' = 1(х, У, УР ..., У„,) будет непрерывна в окрестности начальных значений н будет удовлетворять условию Лнншнца но всем арг»ментам, начиная со второго, или более грубому условию существования ограниченных частных производных по всем аргументам, начиная со второго.

Итак, возвращаясь к нреягним переменным х и у, окончательно Получаем слеауюшую теорему существования и единственности: Теорема 2.1. Существует единственное решение дифференциального уравнения и-го порядка ут1=у (х, у. у', ..., Ут-и), удовлетво ряющее условиям У (хо) = Уо' У (хо) Уо У (хо) Уо' ' ' ' У (хо) Уо если в окрестности начальных значений (хо, уо, у' ..., У1"-И) функция у является непрерывной функцией всех своих аргу-.

ментов и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам, начиная со второго. Последнее условие может быть заменено более грубым условием существования в той же Окрестности ограниченных частных производных первого порядка от функции у цо всем аргументам, начиная со второго. Общим решением дифференциального уравнения и-го порядка называется множество решений, состоящее нз всех без исключения частных решений. Если правая часть уравнения ут'=у'(х, у, у', у", ..., У<"-Н) (2.1) в некоторой области изменения аргументов удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, то общее решение уравнения (2.1) зависит от п параметров, в качестве которых могут быть выбраны, например, начальные значения искомой функции и ее производных у, у,', у", ..., у~"-'Ц В частности, общее решение уравнения второго Порядка уа=у'(х, у, у') зависит от двух Параметров, например от уо и у'.

Если же фиксировать уо и у', т. е. задать точку (хо, уо) и направление касательной к искомой интегральной кривой в этой точке, то ири выяолненин условий теоремы существования и единственности этими условиями определяется единственная интегральная кривая. вп ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА ЕУ Например, в уравнении движения материальной точки массы по прямой под действием силы у(с, х, х): шх = у (г, х, х), задание начального положения точки х(гс) = ха и начальной скорости х(се) = ха определит единственное решение, единственный закон движения х = х(1), если, конечно, функция у удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Теорема о непрерывной зависимости решения от параметров н от начальных значений, рассмотренная на стр. 54, без изменения метода доказательства переносится на системы дифференциальных уравнений, а следовательно, и на уравнения и-го порядка. В 2. Простейшие случаи понижения порядка В некоторых случаях порядок дифференциального уравнения может быть понижен, что обычно облегчает его интегрирование.

Укажем несколько наиболее часто встречаю4цихся классов уравнений, допускающих понижение порядка. 1. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка и — 1 включительно: Р(х, у1А1, ушэ'1..... ущ1) =О. (2.3) В этом случае порядок уравнения может быть снижен до и — и заменой переменных у4А>= р.

Действ44тельно, после замены переменных уравнение (2.3) принимает вил Р(х, р, р, ..., р'" ю) =О. Из этого уравнения определяется р= р(х, сн см ..., с„„), а у находим нз уы1= р(х, сн см ..., с, „) х-крат44ым интегрированием. В частности, если уравнение второго порядка не содержит у, то замена переменных у'= р приводит к уравнению первого порядка. Пример 1. 414у 1 414у = О. С4Х4 Х 44Х4 А44у 4ГР ! Полагая — = р, получаем — — — р = О; разделяя переменные и иитегрилх' Ых х Л4у рук, будем иметь: 1п!р)=!п)х!+1пс, или р сх, — = сх, откуда ' 4!Х' у с,х'+с,х'+сзх'+с,х+се Пример 2. Найти закон движения тела, падающего в воздухе без начальной скорости, считая сопротивление воздуха пропорциональным квадрату скорости.

кглвнення погядкл выше пенного вв (гл. з Уравнение движения имеет вил т —,=тд — д( — ), гле а — пройлениый телом путь, т — масса тела, à — время. При г = О и'з будет з = О и — = О. Л Уравнение ие содержит явно неизвестной функции з, следовательно, йа можно понизить порядок уравнения, считая — = о. При этои уравнение дви- Н жения примет вид пэ т — == те — Ло'. кг ь Разделяя переменные и интегрируя, получим тно т лв 1 ао т= т = = Агне —. та — Лот ' ./ та — ао' а )Г л' 'е откуда о= — гп (ар д г); умножая иа пг и интегрируя еще раз, найдем Уа л закон движения; з —,, ~п сй (л Уа г). 1 2.

Уравнение не содержит независимого переменного: Г(у у', у", ..., у1 1) =О. В этом случае порядок уравнения можно понизить на единицу подстановкой у'=р, причем р рассматривается как новая неизвестная функция у, р=р(у), и следовательно, все производные— л'хл надо выразить через производные от новой неизвестной функции р(у) по у: ду кх р' Д2У дР лл кУ др Фх' дх л'у дх л'у и аналогично для производных более высокого порядка. 11рн этом дау очевидно, что производные — выражаются через производные пои'х» рядка не выше и — 1 от р по у, что и приводит к понижению порялка на единицу.

89 пеостеишие слкчли понижения погадка 5 2> В частности, если уравнение второго порядка не содержит независимого переменного, то указзнная замена переменных приводит к уравнению первого порядка. Пример 3. Полагая — = р. — = р —. получим уравнение с разделяющимися перев>у агу ггр ах ' гхв ау' ар ау меизыми ур — — рг = О, общее решение которого р = с,у иля — = с,у. иу йх Своза разлеляя персмеиныс и интегрируя.

получим >п(у(= с,х+!пс, или и» П р и м е р 4. Проинтегрировать уравнение математического маятника х-1- а'шп х=.О при начальных условиях х(0) = х,, х(0) =О. Понижаем порялок, полагая ло х=о, х=о —, ойо= — агв>лхггх, ггл ' ов — = а'(сов х — сов хв), о = х а)' 2(сов х — сов хв), 2 к йх 1 / ах — == х а)Р2 (сов х — сов ха), аг а)' 2 у»сов х — сов г, Интеграл, стоящий в правой части, ие берется в элементарных функциях, но легко сводится к эллиптическим функциям. 3. Левая часть уравнения го(х, у, у', у", ..., уш>) =О (2.4) является производной некоторого лзфференциально го выражения (и — 1)-го порядка 6>(х, у, у', ..., уы-г>).