Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, страница 10

Пример 4. ~~у у лх х 4 а) творимы сгщаствовлиия и идинстввнности 59 дх х Правые части данного уравнения и уравнения — = — — разрывны "У У с в точке х О, у = О. Интегрируя уравнение, получаем у = — — семейство х гипербол (рис. 1.20) и прямую х = О. В начале координат — особая точка, называемая седлом.

Пример 5. ду х+у дх х — у дх х — у Правые части данно~о уравнения и уравнения — = — разрывны ду х+у в точке х=О, у=0. Интегрируя рассматриваемое однородное уравнение (сравните с примером 3 ва стр. 36), получим: асыя— У 1' х'+ у' = сл вли в полярных координатах р = сев — логарифмические спирали (рис. 1.21). Особая точка такого типа называется фокусом. П име б, р Р ду х дх дх у Правые части данного уравнения и уравнения — = — — разрывны с'у х в точке х=О, у=О. Интегрируя уравнение, получаем х'+у'=с' — семейство окружностей с центром в начале координат (рис. 1.22), Особая точка Рис, 122.

Рис. 1.21. такого типа, т. а особая точка, окрестность которой заполнена семейством замкнутых интегральных кривых, называется ценгиром'. В атом примере не существует решения, удовлетворяющего условию у (0) =О. К вопросу об особых точках и их классификации мы с несколько иной точки зрения еще вернемся в главе 4. Второе условие теоремы 1.1 существования и единственности решения — условие Липшнца, или более грубое условие, требующее существования ограниченной частной производной —, чаще всего д/ ду ' 60 ДИФФЕРЕНПИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ, 1 нарушается в точках, при приближении к которым — неограни- ду 1 ченнно возрастает, т.

е. в точках. в которых — =О. дУ ду 1 Уравнение — =О, вообще говоря, определяет некоторую кри- дУ д) вую, в точках которой может быть нарушена единственность. Если в точках этой кривой единственность нарушена, то кривая будет особой, если, кроме того, эта криван окажется интегральной, то получим особую интегральную кривую.

Возыо(кно, что кривая 1 ду " ду имеет несколько ветвей. тогда лля каждой ветви надо решить вопрос о том, будет ли эта ветвь особой кривой и будет ли она интегральной кривой. Ю Пример 7. Имеет ли уравие- ду ние — = у'+ х' особое решение? дх Условия теоремы существования и единственности выполнены в окрестности любой точки, следовательно, особого решения нет. П р и и е р 8. Имеет ли уравнеРис. 1.23. ние — = !/(у — х)'+5 особое реду з дх шение? ! дУ 2 Правая часть непрерывна, но частная производная — = — (у — х) ду 3 неограниченно возрастает при приближении к прямой у = х, следовательно, на прямой у = х может нарушиться единственность.

Но функция у = х не удовлетворяет рассматриваемому уравнению, следовательно, особого решения нет. ду П р и и е р 9. Имеет ли уравнение — = ~/(у — х)'+ 1 особое ре- дх шеиие? 1 Как и в предыдущем примере, уравнение — =О имеет вид у =х, но дУ ду на этот раз функция у = х удовлетворяет данному уравнению. Остается выяснить, нарушена ли единственность в точках этой прямой. Заменой переменных х у — х приводим исходное уравнение а уравнению с разделяющимися переменными, после чего без труда находим решение: у — х = % П ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ б1 (х — с)' Кривые етого семейства проходят через точки графика решения у = х (рис. 1.23), Следовательно, в каждой точке прямой у =х единственность нарушена и функция у =х является особым решеинем.

Этот пример показывает, что одной непрерывноств правой части в уравнении еу =у(х у) у(ха)=у лх недостаточно для единственности решения основной начальной задачи, однако можно локазать, что существование решения при атом уже обеспечивается. 9 7. Приближенные методы интегрирования уравнений первого порядка В предыдущем параграфе мы уже познакомились с двумя приближенными методами интегрирования лиффереппиальных уравнений: методом Эйлера н методом последовательных приближений. Однако оба эти метода имеют существенные недостатки, в силу которых ими сравните.чьно редко пользуются в практике приближенных вычислений. достоинства приближенных методов оцениваются по точности давасмых имн результатов и по простоте вычислений. Недостатками метода последовательных приближений являются сравнительно медленная сходимость приближений к решению и сложность вычислений.

Недостатком метода Эйлера является малая точность, лля повышения которой приходится брать весьма малый шаг й, что приволит к длительным вычислениям. Впрочем, небольнична усовершенствование метода Эйлера, так называемое уравнивание (или итерация), приводит уже к довольно удобной вычислительной схеме. При применении метода Эйлера с уравниванием делят отрезок ха (х (Ь, на котором надо вычнслить решение уравнения — = Г" (х, у), определяемое условием 4х 6 — х, у(ха) = уе, на равные части длиной л = —.

Обозначая л х +к)г=х, у(х +)ел)=у, у'(х +lг)г)=у', вычисляют у если уже найдено у„, в начале по формуле Эйлера: у„, = у, + Лу,' или Лу, = у„, — у, = Лу„', (1.39) т. е. на отрезке хе+йл (х (хс+(и+1)й заменяюг интегральную кривую, проходящую через точку (хю у„), отрезком ее касательной в той же точке (см. рис. 1.13, стр. 39). Затем уточняют вычисленное значение уь+и для чего определяют производную У', =Г(ха и Уьч,) и снова пРименЯют фоРмУлУ ЭйлеРа (1.39), но вместо у' берут срелнее арифметическое вычисленных значений 62 диээвганци«льныв»и«знания пигвого попади» 1гл.

~ У«+ У«4~ производных в граничных точках 2 т. е. считают У»+ У«+4 у»+~ = у»+ " 2 Вновь вычисленное значение у „, дает возможность вычислить новое значение производноя у, =у'(х«, у«,,), после чего снова выу»+ у« чнсляют среднее арифметическое значений производных снова применяют формулу (1.40) — У«+ У»4~ У»- 4=У»+" т. е.

замене искомоп интегральной кривой параболой л-го порядка, имеющей касание и-го порядка с интегральной кривой в точке х=х», у=у». Непосредственное применение формулы Тейлора (1.41) на каждом шаге приводит к сложным и неоднотипным вычислениям, поэтому эта формула обычно применяется лишь для вычисления нескольких близких к х = х„значений, необходимых для применения более удобных вычислительных схем, среди которых в первую очередь следует назвать метод Штар»4ера, в котором вычисление проводится по одной из следующих формул в зависимости от порядка аппроксимирующей параболы; 1 У»+ 1»+ 2 1 У»44 У» + 4»+ 2 1» 4+ 12 т»-а' 1 5 я 3 У»«г У«+)»+ 2 )» г+ 12 У» з+ 8 (1.44) 1 5 т 3 з 251 4 у»+1=у»+Ч«ч- 2 ~Ч» 1+ 12 ~ '7»-з+ — ~Ч» з+226Л д» и(1.45) (1.43) и продолжают этот процесс до тех пор, пока в пределах заданной точности не совпадут реву.льтаты двух последовательных вычислений значений у» и После этого тем же методом вычисляется у»„з и т.

д. Метод Эйлера с уравниванием дает на каждом шаге погрешность порядка г4« н нередко применяется в вычислительнои практике. Однако значитечьно чаще применяются более точные методы (методы Шгермера, Рунге, Мильна и др.), основанные на замене искомого решения несколькими членами его тейлоровского разложения л« ву у„„= у»+ Лу« -+ —, у,",+ ... + —, У~«ч, (1.41) где )К уа ' гг-1 ~а ~» 1' гга-2 гга-! гл — 2' г г!а- — ~ гга-з ~ гга-з г~ гга-4 — ~ гга-а ~~ гга-4 Формулы Штермера могут быть получены путем интегрирования в прелелах от ха ло ка,! тождества у =Г" (х, у(х)), в котором у(х) является искомым решением: к з у„,,= — у„+ ! у(х. у(х))г!х, к и применения известной из курса анализа квадратурной формулы: к, + 3 г)гзгра-з+ тчб гг"гра-4+ .~.

(1.46) Напомним, что эта квадратурная формула получается путем замены подынтегральной функции гр(х) аппроксимирующим многочленом по интерполяшюнной формуле Ньютона и вычисления интегралов от отдельных слагаемых. Оценка остаточного члена квадратурной формулы (1.46) показывает, что погрешность в формуле (1.42) при одном шаге имеет порядок )!з, в формуле (1.43) И", в формуле (1,44) Из, в формуле (1.46) Иь.

Если л!е принять во внимзние, что при нескольких шагах погрешности могут суммироваться, то для оценки погрешности при и шагах а ха надо оценки, полученные для одного шага, умножить на и = И что может привести к изменению указанного выше порядка погрешности. 3 а и е ч а и и е. Можно показать непосредственным раз аожением по формуле Тейлора в окрестносп! точки х = ха, что правая часть формулы Штермера (1.42) с точностью до членов, солержащих И в степенях выше второй, совпадает с первыми тремя членами раз- ложениЯ У24! по фоРмУле ТейлоРа (1.41): Ик ул+ ул+ 2! уы (1.47) правая часть следующей формулы Штермера (1.43) с точностью до членов, содержащих И в степенях выше третьей, совпадает с Иг „Иа Ул+ 2! У" 3! Уг а и пРНВлпжепныР метОды пнтеГРиРОВАния уРАВнений 63 64 ДногЕКВКНПНЛЛЬНЫВ тваВНГНИЯ ПВВЗОГО ПОГЧПКО гГЛ.

1 и т. д. Для формулы (1.42), например, получим у„+ йу'+ — Му', = у„+ ?гу„'+ — ?1(у„— у,), (1.48) ! 1 или, разлагав уа-! у !ха-!) по формуле Тейлорз у'(ха,)=у'(х ) — ?гуО(х ) + —,?ггу"'(х,)-4- и подставляя в (1.48), получим: Уа+ ?гуд+ 2 ?г(уа — Уа !) = Уг, +?г32+ — ?г~у — — ?гзУО'+ н следовательно, трп первых члена совпадают с тремя членами разложения по формуле Тейлора (1.47). Для начала вычисления по формулам Штермера необходияю знать значения искомой функпии не в одной, а в нескольких точках (при применении формулы (1.42) в двух точках: хо и хо + й, прн применении формулы (1.43) в трех точках: хо, хо+ ?г и хо+ 2Ь, и т.

д.). Эти несколько первых значений могут быть вычислены методом Эйлера с уменьшенным шагом нли путем использования формулы Тейлора (1А1), или кратко изложенным ниже мешодолг Рунге. Возьмем для определенности формулу (1.44): 1 О 2 3 Уа+! = Уа+ Ча+ 2 ~ЧО-!+ 12 гЯ Ча-2+' в 4'72-2 и предположим, что, кроме заданного начального значения уо, уже найдены Ун Уг и Уз. Тогда можно вычислить: Чо=? (хо Уо) л Ч! =.7 (х! У!)" Чг = 7 (Х2 Уг) ?г, г?з 7 (Кз Уг) й. а следовательно, и !зЧО = Чг Чо оЧ! = Чг Ч! ?гЧг = Чз Чг ?1 ЧО = ?~Ч1 ?ЪЧО ?г Ч\ ?яЧ2 ~Ч! ?~ ЧО ~ 171 Оя Чо Теперь по формуле (1.44) вычисляем значение уа, зная которое получим г?4, ?яЧз, гя Чг, ?я Ч!.

Затем по той же формуле (1А4) вычисляем уз и т. д. пяивлиженные методы интегеиеовлния келвненип 65 Результаты вычисления заносятся в приводимую ниже, постепенно заполняющуюся таблицу: Лд йчт лая Уг х, Кг Уз лв Обычно требуется вычислить значение искомого решеиия дифференциального уравнениа в некоторой точке х = Ь с заданной точностью. При этом сейчас же возникает вопрос, какой из формул Штермера целесообразно пользоваться и какой шаг й гарантирует требуемую точность вычислений н в то же время не является чрезмерно малым и тем самым не приводит к лишним вычислениям. Некоторое представление о выборе формулы, по которой целесообразно вести вычисления, и о выборе шага дают указанные выше порядки погрешностей при каждом шаге, при этом, конечно, надо иметь в виду, что при нескольких шагах погрешности могут суммироваться.