Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям, страница 5

Перейдя к переменным г = у/х и у, получим уравнение йз+ — йу = О, у г которое легко решается. 2) Решить уравнение (ху -~- у") йх + (хг — хуз] йу = О. Сгруппируем члены так, чтобы выделить полные дифференциалы х(уйх+хйу)+у (уйз — хйу) =О, хй(ху)+у й — =О. ~у/ Разделив на х и сделав замену ху = и, х/у = а. получим уравнение г йи + — йе = О,которое легко решается. „з В задачах 186 — 194 проверить, что данные уравнении явлнютсп уравненинми в полных дифференциалах, и решить их. 180.

2ху йх+ (хг — уг) йу = О. 187. (2 — 9хуг)хйт, + (4уг — Охз)уйу = О. 188. е ийз: — (2У+ хе ") йу = О. 189. -" йх+ (уз +1 .) йу = О. 190. Зх'+у'й 2х'+5уй О. у у 16. Уравнения в полных дисд4еренииалах 191. 2х (1 + ~/хг — У) с1х — т/ххг — У с1У = О. 192. (1 + дг сйп 2т) с1х — 2у соег т, с1д = О. ат 193.

Зхг(1+ 1пд) с1т = (2у — — ~ с1у. < х 1 (х +1)сову + 2! с(х+ с)д = О. сйп у / сов 2у — 1 194 196 (хг+уг+х)дх+ус(у= О. 196. (ха + уз+ у) с1х — хс1у = О. 197. ус1д = (хс1у+ ус1х)т/Г+ уз. 198. хуг(ту'+ у) = 1. 199. у' х — (, д+,') Оу = О. 1 сс с1у 200. у — — ) с)х+ — = О. х д 201.

(хг -~- 3 1п у) у с1х = х с1у. 202. уг с1х + (ту + Сн ту) Ад = О. 203. у(х + у) с1х + (ху + 1) с(у = О. 204. у(у + 1) с1х + т(у — т + 1) с1у = О. 205. (ха + 2х+ д) с1х = (х — Зхгд) с1у. 206. ус1х — тс!у = 2хзда ~~с дх. 207. уг с1х + (е — у) с1д = О. 208. ху с1х = (уз + хгу + хг) с1у. 209. хгу(усДх+ хс1у) = 2дс1х -~-хс1у. 210. (хг — уг + у) с1х + х(2у — 1) с1у = О. 2дд.

(2хгдг + у) О + (. 'у — х) Од = О. 212. (2тгуг — 1)ус1х+ (4хгуз — 1)х с(у = О. Решить уравнении 195 †2, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных. 17. Существование и единственность решения 29 213. у(х + уг) с1х + тг(у — 1) с(у = О. 214.

(хг — в1пг у) с1х -С- х всп 2у с(у = О. 215. х(!пу+ 21пх — 1) с1у = 2ус1х. 216. (тг + 1)(2хс1т. + сов ус(у) = 2т,вуяуС1. 217. (2хзуг — у) с1х + (2тгуз — т) с1у = О. 218 хгуз+у+(тзуг х)у' 219. (хг — у)с1х + х(у + 1)с1у = О. 220. уг(абдт — 2хс1у) =.хз(хс1у — 2ус(х). 2 7. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ 1. Теорема существования и единственности решения уравнении у'=Ах, у) (1) с начальным условием у(хо) = уе. Пусть в замкнутой области П (|х — хо~ < а, Ь вЂ” уо~ сь Ь) функции 7' и Тз непрерывны . Тогда на некоторолс отрезке шов — й ( х ( хо+Й существуегя, единственное решение уривнения (1), удовлетворяющее начальнолсу условию у(хо) = уо. При этом можно взять й = зпш(а: ь ).

где а, и Ь указаны выше, а зи — любое такое, что (Д < т в П. Последовательные приближения, определнемые формулами уо(х) = уо, уь(х) = до+ / У(з, уь-с(з)) дв, Ь = 1, 2, ..., *а равномерно сходятсн к решению на указанном отрезке. 3 а м е ч а н и е. Для сущестнояанин решения достаточно только непрерывности ф(х, у) в области Л, но при этом решение может не быть единственным. сТребоаанне непрерыаностк 7"'(р) можно заменить требоеанием ее ограниченности нлн услоанем лапшина.

'ьг(х, рс) — з (к, уг)1 ( ь~рз — вгь й = сопзс,. 3О "2 7. Существование и единственность решения 2. Система уравнений / Уь 7)( ° У)~ ° ° ° ° У )~ (2) у =1„(х, уы ..., У„) в векторных обозначениях записываетсп так (3) у =.г(х. у), где У = (Уы, Уо) и з = ()ы ..., )к) — векторы. Непрерывность вектор-функции 7" означает непрерывность всех функций Ты ..., 1„, а вместо — „~ рассматриваетсн матрица из частных производных о— „', з, к = 1, ...,и. оь Теорема существования и единственности решения и все утвержденин и. 1 остаются справедливыми и длн системы, записанной в виде (3 .

При этом )у! означает длину вектора у: )у) = — уз ) ) уз 3. Теореме существования и единственности решения для уравнении я-го порядка У'"'=1(х, У, У', "., У'" "). (4) Пусть в области Р 41ункция 1" и ее частные производные первого порядка по у, у', ..., У) ~) непрерывны, и точка (хо, уо, уо, „уо ) лежит внутри Р. Тогда при начальных ь 1~ — 1) условиях ) — 1) (о-ь) У(хо) = Уо, У (ха) = Уо~ 1 У (хо) = Уо уравнение (4) ииеет единственное решение.

Уравнение (4) можно свести к системе вида (2), если ввести новые неизвестные функции по формулам у = уы у = уз, д ) а — 1) = уз,, д " ' = у . Тогда уравнение (4) сводится к системе Р у) = уз~ уз = Чз1 ° ° ° 1 у — ь = у 1 у = ) (х уз~ ° ° ° ~ у )~ которая является частным случаем системы (2) и к которой применимы все утверждения и.

2. 4. Продолжение решений. Во многих случаях решение уравнения (1) или системы (2) существует не только на отрезке, указанном в и. 1, но и на ббльшем отрезке. Если уравнение (Ц или система (2) удовлетворяет условиям теоремы существования в замкнутой ограниченной области, то З 7. Существовалие и единственность решения 31 венков решение можно продолжить до выхода на границу этой области.

Если правая часть уравнения (1) или системы (3) в области о < х < О, (у( < ос (о и О могут быть конечными или бесконечными) непрерывна н удовлетворяет неравенству ~1(х, дЦ < а(х)$~ -ь б(х), и функции а(х) и Ь(х) непрерывны, то всякое решение можно про- должить на весь интервал о < х < д. 221. Построить последовательные приближения уо, уы дз к решению данного уравнении с данными начальными условинми: а) у' = х — уз. у(0) = О.

б) у'=у +3х — 1, у(1)=1. в) д' = у + е" ~, д(0) = 1. г) у' = 1+хяпу, у(н) = 2н. 222. Построить по два последовательных приближения (не считая исходного) к решенинм следуюших уравнений и систем: а) у' = 2т+з, з' = у; у(1) = 1, з(1) = О. б) "— '" =у, —" =хз: х(0) =1. у(0) =2. в) да+у' — 2у=О; у(0) =1, у'(О) =О. 223. Указать какой-нибудь отрезок, на котором существует решение с данными начальными условиями: а) ус = х -~- дз у(0) = 0 б) у' = 2 уз — т. у(1) = 1.

в) — * = 1+ ее, х(1) = О. дс г) ~~=уз, — д=х~, х(0)=1, у(0)=2. 32 З7. Существование и единственность решения Указание. Оценить остаток ряда, сходимость которого доказывается в теореме существования решения, см. (1], гл. П, З 1; (2], 215. 225. Пользуясь каким-либо достаточным условием единственности, выделить области на плоскости х, у, в которых через каждую точку проходит единственное решение уравне- нии а) у' = 2хд + уз, б) у' = 2 + фу — 2х, в) (х — 2)у' = /у — х,, г) у' = 1+ьбу, е) ху' = у + Х/уз — х'. д) (у — х)у' = у !пх, 226. При каких неотрицательных о, нарушаетсн единственность решений уравнения у' = ]у]' и в каких точках? 227. С помощью необходимого и достаточного условия единственности длн уравнений вида у' = /(у) (см. (1], гл. П1, з 4, и. 1, мелкий шрифт или [2], з 4) исследовать написанные ниже ураннения.

Выделив области, где /(у) сохраняет знак, приближенно изобразить на чертеже решения. Для уравнений д) и е) правые части при у = 0 доопределяются по непрерывности. а) у' = те/уз, ц /уз д) у' = у!пу, б) у! = у э/у + 1 г) у' = агссозу, е) у' = у!и у. 228. При каких начальных условинх существует единственное решение следующих уравнений и систем? а) ув = 18 у+ (/х, в) (х — у)у'ун' = 1пху, б) (х+1)ув = у+,,/у, г) ув — уу'в = те/у' — т., 224*. Для уравнения у' = х — уз с начальным условием у(0) = 0 построить третье приближение к решению и оценить его ошибку при 0 < х < 0,5. 27. Существование и единственность решения 33 229. Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости х, д пересекаться в некоторой точке (хе, до) а) для уравнении д' = х+ дз? б) для уравнения дн = х + д2? 230.

Могут ли графики двух решений данного ураннения на плоскости х, д касаться друг друга в некоторой точке (хо, да) а) для уравнения д' = х + дз? б) дпя ураВНЕНИя ди = Х+ дз? В) дяя ураВНЕНИя дн' = Х+ дз? 231. Сколько сушествует решений уравнения дйб = х+ + д, удовлетворяюших одновременно двум условиям: д(0) = = 1, д'(О) = 2? Рассмотреть отдельно случаи п = 1, 2, 3. 232. Сколько решений уравнения дбй = 2(х, д) (2 и ~„' непрерывны на всей плоскости х, д) проходит через точку (хе, до) по заданному направлению, образующему угол о с осью Ох? Рассмотреть случаи п = 1, н = 2 и п ) 3. 233. При каких н уравнение дйб = 7'(х, д) (7" и ~„' непрерывны) может иметь среди своих решений две функции: д1 — х~ д2 — х + 234.

При каких п уравнение дйб = 7(х, д, д', ..., д<н 0) с непрерывно дифференцируемой функцией ? может иметь среди своих решений две функции: дт = х, дс = в!пх? 235'. Пусть 7"(х, д) непрерывна по х, д и при каждом х не возрастает при возрастании д. Доказать, что если два решения уравнения д' = 2'(х., д) удовлетворяют одному и тому же начальному условию д(те) = до, то они совпадают при х > хе. 236. Сколько производнык имеют решения следующих уравнений и систем в окрестности начала координат? (Теорему о гладкости решений см. (2), '2' 19 или (4), 2 б, теорема 1.4.) а) д! х+ 97/3 б) р! х~х~ д2 в) дв = ~х ~+д с~, г) д'н = д — хиехх, д) У = Ю+ д, У = х+ 22М, е) '1* = уз + 371в, бд = '/х. сУ ' сУ 34 з8.

Уравнении, не раэрешеннме относительно производной 237*. При каких а каждое решение продолжаетсн на бесконечный интервал — со < х < +со а) длн уравнения у' = ~у~"? б) длн уравнения у' = (уз + ег)о? н) длн уравнения у' = )у)' + (х.эгр! ? г) длн системы у' = (уз + зз+ 2) ", з' = у(1+ зз)"? 238*. Длн следующих уравнений доказать, что решение с произвольным начальным условием у(то) = уо существует при хо < х < +со: а) д' = хз — дз, б) у' = ту+ е ". 239*.