Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям, страница 3

Решить предыдущую задачу в предположении, что ось цилиндра расположена горизонтально, а отверстие находитсн в самой нижней части цилиндра. 93. Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. Половина воды из полного бака вытекает за 5 минут. За какое время вытечет вся вода? 94. Воронка имеет форму конуса радиуса Л = 6 см и высоты Н = 10 см, обращенного вершиной вниз. За какое времн вытечет вся вода из воронки через круглое отверстие диаметра 0,5 см, сделанное в вершине конуса? 95.

В прямоугольный бак размером 60 см х 75 см и высотой 80 см поступает 1,8 л воды в секунду. В дне имеется отверстие площадью 2,5 смз. За какое время наполнитсн бак? Сравнить результат с временем наполнения такого бака без отверстии в дне. 96. Резиновый шнур длиной в 1 м под действием силы Г иГ удлиняетсн на ид' метров. На сколько удлинится такой же шнур длины 1 и веса Р под действием своего веса, если его подвесить за один конец? З 4.

Однородные уравнения 97. Найти атмосферное давление на высоте 6, если на поверхности земли давление равно 1 кГ/смз и плотность воздуха 0,0012 еусмз. Использовать закон Бойлн —.Мариотта, в силу которого плотность пропорциональна давлению (т. е. пренебречь изменением температуры воздуха с высотой). 98. Для остановки речных судов у пристани с них бросают канат, который наматывают на столб, стоящий на пристани. Какая сила будет тормозить судно, если канат делает три витка вокруг столба, козффициент трения каната о столб равен 1/3, и рабочий на пристани тянет за свободный конец каната с силой 10 нГ? 99. В закрытом помещении объемом о ле находится открытый сосуд с водой. Скорость испарения воды пропорциональна разности между количеством от водяного пера, насыщающего 1 лез воздуха прн данной температуре, и количеством о водяного пара, нмензщемся в 1 м воздуха в рассматриваемый момент (считаем, что температура воздуха и воды, а также величина площади, с которой происходит испарение, остаются неизменными).

В начальный момент в сосуде было ьчо гРамм воды, а в 1 мз воздУха оо гРамм паРа. Сколько воды останетсл в сосуде через промежуток времени 1? 100. Масса ракеты с полным запасом топлива равна М, без топлива пк скорость истечения продуктов горения из ракеты равна с, начальная скорость ракеты равна нулю. Найти скорость ракеты после сгорания топлива, пренебрегая силой тяжести и сопротивлением воздуха (формула Циолковского). 9 4.

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Однородные уравнения могут быть записаны в виде д' = = у (д-), в также в виде М(х, д) с)х + )т'(х, д) дд = О, где М(х, д) и Ж(х, д) — однородные функции одной н той же степени'. Чтобы решить однородное уравнение, можно сделать замену д = 1х, после чего получается уравнение с рвзделнющнмнся переменными. Пример. решить уравнение хс)д = (х+ д) с)х. Фуииции М(х, д) невывветси однородной функцией степени п, если дли всех Ь ) О имеем М(лх, Лд) = ЬоМ(х, д). 3 4. Однородяые уравнения Это уравнение — однородное.

Полагаем у = Ьх. Тогда ду = = ха!+ !Ох. Подставляя в уравнение. получим х(хд!+1дх) = (х+ах)дх: хбг= дх. Решаем полученное урввнение с рвзделяющимнся переменными дг = —; 1 =!и ~х~ -!- С. дх Возвращаясь к старому переменному у, получим у = х(1п Ое) -ь С). Кроме того, имеется решение х = О, которое было потеряно при делении на х. 2. Уравнение вида у' = г" (лггфф~) приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку пересечении прямых ах+ бр+с = О и агх+ Ьгу+сг = О.

Если же эти прнмые не пересекаются, то огх -ь Ьгу = Ь(ох -!- Ьу); следовательно, уравнение имеет вид у = Р(ох+ Ьу) и приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой е = ах. + Ьу (или г = ат. -!- Ьу -!- с), см. з 2. п. 2. 3. Некоторые уравнения можно привести к однородным заменой д = г . Число пг обычно заранее не известно. Чтобы его найти, надо в уравнении сделать замену у = гж. Требуя, чтобы уравнение было однородным, найдем число т, если это возможно. Если же этого сделать нельзя, то уравнение не приводится к однородному этим способом.

Пример. Лана уравнение 2х~уу +у = 4хе. После замены у = = г- уравнение примет вид 2пах~г2™-~г~+ г~- = 4хе. Это уравнщ ние будет однородным в том случае, когда степени всех его членов равны между собой, т. е. 4 + (2т — 1) = 4па = 6. Эти равенства удовлетворяются одновременно, если го = 3/2. Следовательно, уравнение можно привести к однородному заменой у = г зрг Решить уравнения 101 — 129. 101. (х+ 2у) г(х — х г(у = О. 102. (х — у) г)х + (х, + у) г(у = О. 103. (у — 2ху) Ох+ хгс!у = О. 104. 2хзу' = у(2хг — уг).

105. уг + хгу' = хуу'. 106. (хг+ уз)у' = 2ху. З4. Однородные уравнения 107. хд' — д = хгй Л. 108. ху' = у — хенс 109. ху' — у = (х + у) 1и — +". 110. ху' = у сов 1п л. 111. (у+,ссху) с4х = хс1д. 112. ху' = с/х — д + у. 113. (2х — 4у+6) с1х+ (х+ у — 3) с1у = О.

114. (2х + у + 1) Ох — (4х + 2у — 3) йд = О. 115. х — у — 1+(у — х+ 2)у' =О. 116. (х + 4д) у' = 2х + 3у — 5. 117. (у + 2) с1х = (2х + у — 4) с1у. 119. (д' + 1) 1и х + 3 х + 3 у+2 у — 2х 120. у' = +сй х+1 х+1 з(ус 122 2хзу' = дз + хд. 123. 2хйу+ (хзу4+ 1)уйх = О. 124. ус4х+ х(2хд+ 1) с1д = О. 125. 2у'+ х = 4 /у.

дс 3 2 ея' 12т. 2*еду = у ~/ — Рр . 1 худ — l~б ус 129. 2д+ (хзу+ 1)ху' = О. 130. Найти траектории, пересекающие кривые данного семейства под углом в 45', причем этот угол от касательной 20 Зб. Линейные уравнении первого порядка к кривой до касательной к траектории отсчитываетсн в отри- цательном направлении. а) у = х)пСх,; б) (х — Зу) = Схуо. 131.

Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат. 132. Найти кривую, у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания. 133. При каких о и // уравнение у' = ахи+ +бур приводится к однородному с помощью замены у = з™? 134*. Пусть ко корень уравнения /(6) = й. Показать, что: 1) если /'(ко) ( 1, то ни одно решение уравнения у' = = /1У/х) не касаетсЯ пРЯмой У = кох в начале кооРдинат; 2) если /'(йо) > 1, то втой прямой касается бесконечно много решений. 135. Начертить приближенно интегральные кривые следующих уравнений (не решая уравнений): г б) д' = ху д(2д — ) а) у' = хз /,з г*) ху = у+ 1/р~+ —. 2уз хг, в)у= 2ху — х' 3 5.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Уравнение у' + а(х)у = 6(х) называется линейным. Чтобы его решить, надо сначала решить уравнение у + а(х)у = 0 (2) Увез анне. Тангенс угла между лучом у = йх и пересекающей его интегральной кривой уравнения у' = /(у/х) равен //(6) — К) /(1 + Щу)) (почему?). Для приближенного построении интегральных кривых надо исследовать знак этой дроби в зависимости от 6. З 5. Линейные уравнения первого порядка 21 (это делается путем разделения переменных, см.

З 2) и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную С на неизвестную функцию С(х). Затем выражение, полученное для у, подставить в уравнение (1) и найти функцию С(х). 2. Некоторые уравнения становятсн линейными, если поменять местами искомую функцию и независимое переменное. Например, уравнение у = (2х+ у )у', в котором у является функцией от х, нелинейное. Запишем его в дифференциалах: удх — (2х+ + у ) г)у = О. Так как в это уравнение х и г)х входят линейно„ з то уравнение будет линейным, если х считать искомой функцией, а у —.

независимым переменным. Это уравнение может быть записано в виде дх 2 — — — к=у ду у и решается аналогично уравнению (1). 3. Чтобы решить уравнение Бернулли, т. е. уравнение у + а(х)у = Ь(х)у", (п ф 1), надо обе его части разделить на у" и сделать замену 1/гу" г = ж После замены получается линейное уравнение, которое можно решить изложенным выше способом. (Пример см.

в (1), гл. 1, у 4, п. 2, пример 10.) 4. Уравнение Риккати, т. е. уравнение у' -~- а(х)у + Ь(х) уг = с(х), в общем случае не решается в квадратурах. Если же известно одно частное решение уг(х), то заменой у = уд(х) + з уравнение Риккати сводится к уравнению Бернулли и таким образом может быть решено в квадратурах. Иногда частное решение удается подобрать, исходя нз вида свободного члена уравнения (члена,не содержащего у). Например, для уравнения у'+уг = х — 2х в левой части будут члены, подобные членам правой части, если взять у = ах-~-Ь. Подставляя в уравнение и приравнивал коэффициенты при подобных членах, найдем о и Ь (если частное решение указанного вида существует, что вовсе не всегда бывает).