Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов, страница 13

Смвь ксязг гвламевзнк круг щвк кокенпм в углам ваарт зка» «гмгат о ситмггя го г*ср гл, ра вой 2а, эзмгз еоркгасй т~ь,ъчхсй[тл! [[31, эойк» е !та зз стр. 313!. длв ресскатркззскч с рв язв Ж=! а 2 —— =о)нсеае=.!аа» н . Узловые значения результзвтов элемента получаются решемнем системы уравнений ]Е) [о] [)7]. (6.26) где [С] н [й) нредстаилюст собой сумму матриц элементов вщ)л ]с)л) (135.)]г 1)ум)]Ау (6.27) Рм)) ('орро)]г бу (6,23) а о — стаялартный резульгэнт элемента. Определить ()м) неслож но, )ютому что неличина о постоянна внутри элемента. Легко вычнслзть [сш]. используя плоские Е-координаты.

Ржсмотрим пер вый цнемент йодробнее. Имеем 13)о)1=1Е) Еэ 0 Еэ 0 01. Запишем нрснзеедение Угп))г Вро)1) Интегрир!м по ювнцзди с использованием формулы (3.43), п)мучищ 1 0 1 0 (Г 1 2 0 1 0 0 лш 0 . 6'26) 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 О 0 (тамцвна элемента нредполагаетсн единнчной) . Вектор.столбец для первого элемента имеет вид [гн)]— (03О) 0 0 7[ 77 0 Е,Е, Е,* О 0 0 0 13)™]груш)=у („Е 1 О 0 0 0 0 0 О 1 1 0 1 О 0 Е~С О 0 11 00 0 0 0 !' 0 0'' 0 О 0 0 0 О В предыдущик расчетах испсльтоввчось сдвнговое напряжение , только потому, что оно имеет нзиболыоее значение внутри каждого элемента. Сленговое напряжение т может быть рассмоцюно точно так же.

Вектор-столбец (71) должен быть вновь вычислен использованиен числовых зиачю)нй т . Заме)ям, что жкторншбеп ()г] составхяется только для величины, язменяющейсн от элемента н элементу. Итак, числовые матрицы элементов с первого по четвертый лаются формулами (б.хэ) — (6.33). 1 21 0 0 0 0 0 2 1 0 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 О 0 0 1 0 1 О 0 0 2 0 0 ]с)в]=-Б- А)О (6.31) (Вч)) .А)н )г (гм)] А ш .4и) [г)4)] (ю (6.33) б)яоичательная снстема уравнений получается суммированием ураяненнй для иаждого элемента.

В уеэул)тн)н имеем 77,67 455.35 213 407,01 642,34 ! 64,67 2 1 0 1 0 0 1 6 1 2 2 0 0 1 2 О 1 0 1 2 0 6 2 1 О 2 1 2 6 1 0 0 0 1 1 2 оч а) (6.34) о о ов Так как все элементы имеют одинаковую пложадь, то в последних формулах онз опуп)епа. Узловые значения результэнта следующие: [а]"=170,6, 436,5, 724,1, 353,6, 671,4„475,61, 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 0 0 0 0 О 0 0 О О О 2 1 1 1 2 1 1 1 2 0 1И,67 0 164,67 ' (бь32) 164,67 0 0 0 164,67 ' 164,67 164,67 Г х 5 Для результвнтав эчементз можно, кроме того, получить саотнаюевин, которые выражают изменение этих величин гю площади элемента. Ми ие будем останавливаться подробно нз этом. поскользу такие соотношения широка пе прямсипютс». Применение теории сопряукенной аппроксимации пюдится к решению системы алгебраических уравнений, порнвон которой совппдэег с порядком сжтемы, используемой дхя получения узловых значений. Зта предстанляет определенное иеудобспю при решении задач, которые требуют вклгочения бальпюго числа элементов.

Способ,,не требунаций решения полной системы ураввевий, абсуждаетс» в гл. 7, где рассматривается «ручение квадратного стержня с ббльшим числам элементов. Последние этапы метода кппечвых элементов проиллюстрированы в втой главе на конкрепюй задаче. Было показано, как пслучакпся мвтрицы элементов, а также кзк определяются результэиты элемента, если известям уаловые значения.

Следующая глава посвящена вопросам машинной реалнаацзя метода канечньш элементов. В гл. 6 — 12 булут рассмотрены различные применении э!стада. Задачи 41. Прожрите матрицу жесткости н нектар нагрузки в. уравне- НИЯХ! 1) (6196), 2) (6.19в), 3) (629д). 42. Проверьте аиачения сдвиговых напряжений для алементовг а) второго, б) третьего, в) четвертага для примерз, рассмотрен- ного в равд. 6.3. 43. Вычислите числовые эилченнн [Л), необходимые лля опре- деления узловых значений т, ЛИТЕРАТ1'РА 1. Гааз У.

Г., ГашмаЬаш ау за!И Месвзп1сх, Ргеацш.Нзй, нанте ааа СНЬ. Н. 1., 19% рр. 152 — 179. 2. Оаеа У. Т Егэасыв Н а, Ов бя Саяаыжш о1 Ошзмыл! Шпах Шх!Шшцшп 1п нине еишепг Аррюхвпьцаах, 1 1 1. )аг мишхпг 1 ммь и ьп Ляль яг ЬК,3,317 — 525 09Н). 2. Тапсгйепьо 5. Р, Паса! У. Н Т1аяу а1 Е1ынсду, МсЮ» -НЩ Н.

У 1915. рр. 315 — ЗЮ! ешь ругсхяа пере х: Т шепхо С П Гулшр Лш,. Тюрия упру с, х. а «Йауанн М., 1915. ЛОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА о,па.Е.у., нем л о. Г.,т ь глы-зу! ыиижаахыу ми Омпягм — Ьяшаюп Ассеьгааап Ецгсм, Гп!сгп У. 1аг Ншаепсх1 Мг15ааэ !п ЕПИпеэс!пв. 3. !95 — 212 !1Ш41. тшшаа у дат!и т„у «ьешша ы.. Аах1унэ су !ье шхянс-Р1э не.р аы ьу Ни Мэщх Шэагшппеп! М Н А Рг аг тве за:апа Сепг. а» Мзшх Маях:аэ гп хилас!эта! ймЬаагсх (АРРОШТ2-65-150], тупкж-Рацепзп Юг Готье Еам, Пзу!сп, Саш, !95« Глава 7 РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЗЛЕМЕНТОИ НА ЗЕМ Из ршгультотоз ае. б очевидно, что пуииеиеиие метода коиечиаш элемеипю лризадит к системе олшбраимеских уравнений. Порядок системы соппадает с общим числом неизвесгныу. Вто число может быть пор1шка 1О, 1Ю.

1000, 100ГЮ или даже 100000. Ясно, что для решения таких систем неубколима пычнслительнзя машина. 11аше обсуждение метода конечных элементов будет неполным, если не рассмотреть машинную реализацию этой процедуры. В эшй главе рассматриваются процедура ссстаалени» системы уравнений, ее преобрааованне и решение. Здесь представлена сб!цая блок-схема вычислений, п которой попользуются симплексэлемевти, и приводится полученное с помощью ЗВМ численное решение задачи о кручении, рассмотренной в гл, 6. 7.1.

Прямое построение глобальной матрицы экестк осты Метал построения глобальной матрицы жесткости, представленный в предыхпщей глапе, весьма неэффективен при использовании цифровой вычислительной машины. Зта'неэффективность обьясннется тем. па матрица жесткости отдельного элемента [йн1) имеет такое же число строк н столбцов, что и глобальная матрица жесткости [У().

Как видно пз формул (6 19), бшошингтво коэффициент!я а матрице элемента равно нулю. Предположим, па область разбита на 50 элементов с 75 )алиными точками и нужно построить матрицу элемента [И'1[. Матрица элемента должна содержать 75 строк н столбцов с общим числом козффгщнентов 751=-.5625. Из этих иатффициентов 5616 должны равняться нулщ так кан для рассмотренной зздачн о кручении матрица элемента содержит только девять нснулеаых ноэффнциснтов. Дополнительные неудобства свгааны с тем, что глобальная матрица жесткости [7() получается суммированием матриц жесткое!и элементов [Ич), [К)=Х [Аю), Матрица каждого элемента 1 должна быть вычислена отдельно ат [Д) и зачем прибавлена к последней, а зто требует запоминания обеих матриц [7() н [М'1).

Необходимость помнить дне балыаие матрицы приводит к пере- грузке запоминающего устройства, юхда Решаемая задача нмеет большее число неязвесгпнх. В эффектнвнмх программах процещра построения глобальной матРицы жесткости /ппользует сокращенную форму матриц элементов [Л//и[ при получении уравнений длн элемента. Токой метод известен как метод «прямой жесткости».

Прнмепепне эшго метода исключает необходимость храпення большнх матриц элементов, содержащих асио несколько отличных от нут/и коэффнциентов. Процедура кодирования, которая опнсывается ниже, представлена в работе [4). Прн непользования этого меаодв сначала рассматризаетсн [Л/ю) длн конкретного элемента. Все глобальные сиюени свободы /Г (нлв и в случае вшггорнык велпчнв), которве яе относятся к этому элементу, исключэютея из рассмотрения. Фу/шцнп формы запнсмпаются в ссатветствяп с порядком следования индексов ь /, Л, начиная с узла /, в папрзплеапн прстнв часовой стрелки.

Рзссмотриь/, например, элемент (3) па фнг. 6.3. Согласно формуле (6.9), дэя ч ч имеем Рю=дур/ Р/У[эФ,+ОР +/У[лФ 1 ЛэпФ.( ОФ Втому элементу соответствукп узлы 2, 5 и 4 п глобальные степени свободи Фь б/э в Фь Псклс УпоРндочппаппа фУвкцнй ФоРмы в направления против часовой стрелки, зачиная от узла Л воследоее ссютношенве в сокращенэом виде запнснвзетс» как 4/э/ /У[аб/э+3/[э/Фь 4 /У[чщэ (7.!) Матршш градиентов имеет впд Значения коэффициентов 5) /п с/"/мпгут быть вичислены по формулам (3.10), если заданы координаты узлов элемента.

После подстановки этих значений в [ВП/) соотпашенне (7.2) примет внд Подставляя [Вээ) в сокращенной форме в равенство (6.3) к вы- полняя уэпюжепяе н инте/Он!юзамве. получаем [ 05 Π— 05[ 15/э/1= 0 0,5, — 0,5 — 0,5 — 0,5 1,0 Рэ ппз /панта ппмюнэ э.меээвм яа 9ПМ Таким образом, в результате мы имши матрицу Размером ЗКЗ вместо матрицы размером 6 ж 5, данной в (6.19в). Матраца элемента имеет размер ЗХЗ, потому что зшму элементу соотпетствуют тря глобальные степени свободы. Применен подобяую процедур> к интегралу 200~ (Л/гэ/)г ДЛ получим С помощью формул (7.4) н (7.5) уравненвя дла дацнио элемента можно записать следующим образо: — О 1 — 1 Ф, =29,07 Уравнения (7.6), очевидво, не идентичны уравнениям (519в). Чтобы шжуиепяая матрица соответспювзла точной матраце жесткости третьего элемента, ее нужна переформнровать п расширяю.

Ллгорптм переформирования в расширения матрицы несложен Строкам и столбцам еокрюценпой матрицы элемента припнснг вакися номера глобальных степеней свободы. Г!орялак расположения степеней свободы соответствует обходу элемента против часовой стрелки, начннап от /-го узла. Матрацы элементов в задаче о кручении имеют только одну степень свободы (искомую величину) в каждом узле, поэшму функции формы в (УЛ) упорядочепм так же, как к глобальные стеленп свс!юди. Исполтву» указанную нумсрзцню для строк и столбцов матрицы (7.4), запишем У Э 4 х[/гг о ~чг [ 1 4 -/УГ Д~ / Припнсывавне столбцам н строкам матрицы злемента номеров ,глсбзльпих степенен свободы позволяет определять, какое место займут коэффициенты матрицы элемента в глобальной матрнце жесткости.

Например, «оэффвциеят — /!» заключенный в квадрат матрицы (7.7), находятся ка перессчсннн второй страни н четоер- е у с а э е э а ч О О О О ечо о о е ек,,о о и е е еч. о е е о * е е е а е е е е е е е е е е о о е е е е О е оьс е е е О ОЧЕ Е Е о о оч е о о о о оче е е е е е е е о е е е е 'е о е е того столбца глобальной матрицы жесткости.