Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов, страница 12

92 Глгэя а 6.2. Построемме матриц злеыентеп Чтобы показать, как определяются матрицы элементов и каким образом с их помшцью формируется система линейных ураинеиий, рассмотрим стержень С понеречаым сечением в форме квадрата (фиг. 66,а). В связи с палнчием четырех осей симметрнв можно рассматрияэть только г(в квадрата.

Разобьем эту часть сечения яа четыре злемеята, как пскнжио ца фиг. б.й,б. Четырех с-цэ ю*яусег 8-Ггоиэсн и еэ . в.э, рээеюпс салгстэ нэ нексе э ныэч о нгу ыэм стернз» кмпгат. «сгс ссняз . элементов мало дла получыгня приемлемой точностн рюпеиюс Ио вполне достаточно для иллюстрацнн техники получення необходимой сясюмм уравиеянй. что являстсн нашей целью. да~ кгщс с кс «жээгсгою сжнасг 99 Согласно методам, яэложеняым в гл.

4, представим ннтергювяПнояяые волииомы для элементов в виде Епг=(у(эФь 6й РФэ+ОФэ+гтРФа+ОФа+ОФв ег*г=рр +ьг(лФэ+(тРФэ рорэ+ьгРФэ+об~о (669 00 +,тРФ 1 06,,ф В(лФ, 1 ВРФ.+ОФм его — ОФ +00 +оФ +82(ччьа+ьгРФэ+(тРФ ' Обшая форыулв для матрицы жесткости элемента аапвсыаает- ся квк (Ьо~(=) (Вг'21'(В' г1бу. Здесь учтено.

что (01 = (11 в рассматриваемом случае. Дли опре- деленна (Вггг1 необходимо дифференцировать фрэг( по х и у. Рас- смотрим подробно первый злементг = — '„, (ьР ьР о ьР о О(. (6.10.9 ш 88 — (сР сР О сР 0 ОЬ (6.106Р эио Матрнца градиентов [Вгггу имеет вид ,~>1 г (Р ь." оьР о о! (6.118 *~ ~1с(г1 Р О р О 0( Плогцаль янко элемжыа Апг=( — ')(1)( — ')=,г и 1 16, Козффпциекты Ь н с равны ьР=У,— У,= — о,йб, сР=х,— х,=о, Вг1=2 — Р=ейб УЧ=Х вЂ” Х = — Ойб, ЬР=1; — У,=о, Уг>=Х,— Х,=Ойб, Подставляя зти эиачсиия в формулу (6П), получаем Вщ ~ — 4 4 00001 (6. 122 0 — 4 0400(' вычислгмттл простс. если воспольаоваться системой Ечгоординвт, рассмотренной в гл.

Зг 1 =В(в. 1- =(Р(е. 1 ~(вь (О.Щ Произведение ()ДгГ]т(йтгг) равно Объеьшый интеграл напишется квк 00! — 440000( 4 ( Π— 40400)' О 0 0 0 (6.16» Прсдпслвгаа толщину элемента единичной я применяя иитеграль- иучт формулу (ЗАЗ), наводим (6.!З> !ВОР)Г (Впт) ((ш) в Матрица жестиктн элементе представляет собой шиеграл от (613). Так квк произведение матриц [ВО!)т(ВО!) валяется постояивой величиной, оно может быть вынесено на-под интеграла, что дает Подстановка аначеннй Ое. 6 и Агг> лает' (йог) (ВОГ)г (Вгг) ~ОР=(йш)г (Вгг!!Апг. тсе 29.07 О Толщина влемеита предполагаегсн при атом единичной.

Воспольловавшись формулой (623) н тем, что Аг'> !(32, получаем 1 — 10 ОΠ— 1 2 0 — 1 0 о оооо Р'о) т 0 — 1 0 1 О (6.И) 00000 00000 Таиим обрааом. система уравнений длв первого влеыента имеет внд (йш) (Ф! =((нг) 0 0 0 Объемный явпирал Л('г . ДГОГ 0 )р(» а' 0 0 в в вечееие чаачнв раэ ервесг» илии н/илгичп,сччмилвгврисьи ии ц В=н)геЕХГ(ГОЕ ерв завртчвчевчн иВГюи ва ! на анси МО сн. !6 — 16 0 — !6 32 О 0 0 О 0 — 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — 16 0 0 000 1600" О 0 00 ООО 1 — 1000 120' — 10 00000 0 — 1010 00000 00000 (ч уе О ьь О 0 Ф\ Фе Ф Ф Ф, Фч Глг Л Анвлогнчвб можно получить систему уравнений для любого другого элемента. Окончательные выражения для матриц остальных влемепюв прнтюднтся ннже: 1 ')(ф)=У'!.

0 0 О 1 Π— ! 0 0 0 О О 0 (йн«) (Ф! = ()«я) 0 0 0 ! 0 0 0 — 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — 1 0 О 0 0 0 О 0 2 — ! О 0 — 1 1 0 0 0 0 0 Ф 29,07 чГя ! э (6.!йн) р «вг) (ф) ()гьг) ОО '0 0 0 О О О 0 0 0 О 0 О 1 — ! 0 0 — 1 2 0 0 Π— 1 (6.19г) Окончательная полная система уравнений получается алгебра ашескнм суммироваинем уравнений для отдельных элемегыов.

Оиа нмс.'сг аид '29,07 87,22 87,2а2 87.2л2 1 — 1 4 0 — 1 0 — 2 0 0 0 0 0 0 Π— 1 — 2 0 2 0 — 1 0 4 — 2 — 1 — 2 4 О '0 — 1 (а29) Величины Фэ, фа и Фэ равны нулю, так как соответствующие им узлы расположены нв насыпей грнинце. Преобразуя систему О 0 0 О О 0 0 Π— 1 О 2 О 0 0 — 1 0 0 0 '0 О 0 0 — ! О О 0 1 0 О 0 Фз Ф: Ф Фа й' 6 Ф Ф, Ф, фэ фа Ф «рэ Ф, фэ Ф» Ф» Ф, Фэ 0 29,07 29,07 О 0 0 0 0 29.07 29,07 29,07 уравнений (6,20) и решая ее, получаем Ф,=й!а!6, Ф,=о.

0 =!ба Ф =о, (6.21) О,=!28,68. Ф,4 а Преобразование системы урввнеиий (6.20) обсуждается в следующей главе, где рвссэштрввается реалы лцня метода коясчиых элементов с помощью вычислительной машины. Поверююсть 9, соотвшсгвугощая полученному множштиу узловьщ значений. представлена на фнг. 6.4. Определение узловык значений — главный шаг в решении задачи. Одвако в болыпинстне случаев бывает необходимо вычислять еще целый набор величии для кажкого элемента. Такие ве- Пис В.Ч. уээсеае эээ е а фяиюэ таэрытенаа завэче е арщеаея ркэ».

элчэсэеэе лла чэтэреэтлеаээтаеа яса эв. личины ниже будут называться результантамн элемента. В рассмотренной задаче, аапрнмер, интересно знать такие рсвультанты, как значения спвигсоых напряжений е каждом элементе и крушгцего момевта 7, который вызывает закручивание стержня не угол 6. Мшоднка вычислении результаншв элемента обсуждается в слелующем рааислп 7 — таа Гмм б Л' ение сгиявии нп:Ппоиию гневы И1 пинию озэявеггг нт [аш! = — =!Вяг! (Ф) Ф Ф им (с)ч ~~ б,я 0 0)!(Фи ' ~Фи !Фв 216, 16 160,0 ~гг = 'тт — !46.4 Н/Шгт. 4иа — ег =222,6 Н/ Р.

бЗ. Стандаетные юеэультанты элемента В задаче о кручении стержня важными величниамн иилнююя -пронаводные фуииции щ поскольку они просто связаны с напряжениями сдвига: — и с ар ат *и е," Значения сдннгоаых напряжений легко вычислить, тзк как матрица градиентов для каждого элемента уже определена. Матрица градиентов для первого элемента представнена в формуле (6.1!): С учетом формул (Ть!2) и (6.21) пол)чаем Компоггенты тензоре напряжений для других элементов вычисли- ютсн аналогично: элеыеит 2: т, =0 Н/см', т,„=-бЮ.4 Н/смз, элемент 3: т = — !45,4 Н/смз, т,„=494,0 Н/смт, элемент 4: т =0 Н/сми, т,=49!0 Н/смз.

Вти значения схематически йокачаны из фиг. 6.6. Сленговые напряжении получзнпсн постоянкыми в каждом из элементов потому, что нятсрполяцноиные полиномы длв элементов взяты линейными по х и р. Невозмоншость получения переыенеых по плагцади элемента пронзволных является недгмтатком исполь- зования снмппенс-элементов. 1 т .с Еэс Вв.

Славчяив иыаэящич заааче а еручеэен стеавац ызпезыиим ии Зезззгяеегзеа низеэв Исз знэаюм знаыиеин э ньигпяак на кщаратена саа- за яму. зточннть зиаченяя напряжений внутри стержня, полученные в дашюм примере, можно треьгя способами. Во-первых, можно увеличить чисно элементов, используемых нри разбиении обласпг поперечного сечения. Так как при зтам резмеры элементов уменьшаются, вычисленные эначег!ия.

напряжений оказываются более блнэкнмн к действительным Во-вторыц можно нспольтовать треуголы ный элемент с ббльшим числом узлов, а в интерполяцианные полинамы включил, квадратные и кубнчные члены. Тогда в результате дифференцирования булут получаться градиенты, являющиеся фуикциемн ноордннат. Третий подход ааключаетсн в применении теории сопряженной аппроксимации. Эта теория позволяет определять напряжении а.узловых точках, а щктке напряженна 'внутри элемента как фуакцпи координат х, д.

Применение этой теории обсуждается в следующем разделе. Другим заСлуживающим внимания реаультантом является круепцнй момент Т, который представлен формулой (64»г т=й ~обл. я где Х вЂ” площадь аапарсчжлоссчени» стержня. 7 !От К гэмлиг гтгрмзл жкржсзею ге!елка рассмотрение с пер- Ф, ' Фе Ф» бга Ф, «Ов М=ВТ=В[ 1=178,16 Н-си. 2 ~рогАА 2 [ф[г-~ [р[п ![к АА (6.24) Агп 1 О 1 О О пбо 3 [Ф +Фе+Фг)- 2 ~ Оп[ АА= — [Ф)т 2Л!г! а лгг! Этот интеграл зквнвалеитен следующемуг Е Т =~ ') 2рьгАА. где ею определяется формулой (6.[[).

начнем ного элемента! 2~грпгЭА=2~27[о йг[о 0 Лчн 0 01 лп! лгп Последнее выражение идентично интегралу в (6.!6). Можно сра- зу слелать вывод, что Подстановка узловых значений дает Ф" = 3 (НВ +Ю+ )=3( 70] хбп эл!'! л! ! ° у ' Аналогично находим длв остальных элементов 2ЛГ*! тя! ! 2 ~емгАА= 3 (6!в+Фа+ Фм = 3 (160). лг*! 2~ргзгАА — (Ф -[-Ф -[-Ф,)= (2[3.63), 2ЛГВ ивщ 3 лгз! 2~0 гАА= — (Ф +Ф +Ф)= — (!23,[Э. тфГ ! 24!о з з л Гз! уммнруи эти соотнощенив и замечая.

что площади элементов инаковн. получаем Т-'~, ~ 02ФАА — ~' [601,70+ [Э)+283АВ+ !2363) ' лгп Т ='" [Иайгбб[ — ЮЮ 3 ' . э[ге). сок!мысу ва элементы разбивалась тозъко г[г области понереч- го сечения. пщжмй крунпций момент М ранен Это означает, что крутящий момеат величиной 176 Н.см вызывает закручивание на [з стельного стержня длиной 100 см и с поперечник сечением в форме квадрата со стороной в 1 см. Однако темность этого результата весьма сомвительяв вследствие вмборз'грубой сетки рвзбнеияя. В самом деле, теоретическое заачевие '!моментаа равно 1%,3 Н см. Наш результат ва О,ббг меньнге атой величины.

6.4. Согласованные реэультвнты элемента Недостатком применения лянейнмх ннтерполяциапннх полиномов является невозможность получить градиенты нвк функции л и р. Градиент к любая свяаавная с ннм величина получаются постонпнмми внутри элемента. г[табм иметь более приемлемые значения узловых величин применвнися ржавчине методм усреднения.Можно, например, в качестве значения градиента в данном узле принять среднюю по всем окруженным этот узел элементам величину.

Узловмс значения резулщантов элемента молото также получить с помощью теории сопряженной аппроксимации [2). Эта теория ласт значения рсзультаптов элемента, согласованные с едпракгимирующими полнномами для векторной нлн скалнрной ве. личины, Изложение теории сопряженной аппроксимации вмходит за рамки данной книги. Примсисюге ягой теории, однако, не вредстанляет труда и будет праиллтсстрироввно нв четмрехэлементиой модели рассмотренной ниве ааавчи о крТгении.