Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977), страница 74

14) . 1'2 = Л/„ 2 ! т -[-1 а', '! 27 сз / Здесь с — скорость распространения скачка и а, ==- ур,/р, =- 2 =-- НТ1 — квадрат скорости звука в певозмущенном состоянии. Радиус ударной волны г, определяется только тремя размерными величинами с независимыми размерностями /, А, 1; поэтому 1 2 ге = С ([]А/)" 1" или 22 = С == сопвб. (6,15) Постоянное значение 2.

на ударной волне, равное С, можно при- нять равным единице н определить из этого условия постоянный множитель р. В этом случае имеем !' ].2=.1 и ).=-— г., (6АВ) Из формулы (6,15) следует так!не, что 1 2 2. -и с =. лге -— = — 12 — — — (рА/)и1" =- — (]]А/) (6.17) При ю ) 2 ударная волна замедляется с возрастанием времени, при ю ( 2 происходит ускорение ударной волны '). В частности, при ю = 2,5 получим гз — —. ([]А/)'"1', с =- —.(рА/) ' 2 (6.18) 1] Эффекты замедления или ускорения распространения ударной волны по среде переменной плотности не опроделяютгя только законами падения плотности. Заковы паденвя давления и внешние возмущающие эффекты ннутри волны могут существенно влиять на авионы движения волны.

В 1 14 главы 1 т' было показано, что для автомодольных движе нпй, определяемых постоянными [А ] = М1 "' з и [Е] = 21 1.'Т -2, и, в частности, для сильного точечного взрыва в среде с переменной начальнои плотносю !о в еряа формула с=сопас/ге[2 Ю 2, следовательно, получается замедление для всех ю( 3. В рассматриваемом автолюдельном данн!опии, определяемом постоянными [А] =- МВ з и [/] =--- 21-1[2Т-2 в задаче с начальной переменной плотностью рг = А/г~, ударная волна ускоряется при ю ( 2 н замедляется прп ы) 2. 414 ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ [Гл.

71 В условиях на скачке фшурирует отвлеченная величина а2 ад Ч 3 са р233 ' Из общих соображений размерностей следует, что отвлеченная величина д, зависящая только от трех размерных величин 1, А, г„ должна быть постоянной. Из формул (6.2) и (6.!7) следует яуы2 Д =- Х(22 — !)(3 — ы) Р ' При фиксированном ю значение д определяется постоянной [), и наоборот. Условна па ударной волне (6.(4) после преобразования к безразмерной форме с помощью (6.9) да!от 4 1 — ч У. =- — ' 7+1 ы 4 [27 — (! — 1) а! 17 — 1+ 23) ыа (у+ '1)2 2(7+1)(3 — ы)(ы — 1) а АЗ— Я7212 7 — 1+2Ч !ИЗ=, д, 8 (ы — 1) (6.20) причем а(3 — 27! — З(7 — 12 ят-13 2- 7212 3 — а с,— ~ 1 Х „1 Х [(27 — (У 1) д] [у 1+ 27)7 (6,21) и прн 21 =- 2,5 384 (37 — 4] 2 22 СЗ 313дя72 ( — 1) Ч (6.- ) При заданном д условия (6.20) представляют собой данные Коши для системы уравнений (6.(0) и, следовательно, определяют полностью все движение газа внутри ударной волны.

Согласно (6.19) определяется [2, конкретизирующая формулу для переменной )2. Очевидно также, что заданием д определяется постоянная 22 и этим самым доопределяется полностью закон выделения энергии (6.6). Таким образом, выбор значения (( равносилен установлению закона выделения энергии в центре симметрии. С помощ!,ю краевых условий (6.20) легко определить постоянные в интегралах (6.1[), (6.12) и (6ЛЗ). После простых вычислений получим С1=0, $ е! к теории Вспышек нОВых и сВеРхнопых ВВезд 415 Если у = 4/3, то С, =- О, и из интегралов энергии и адиабатичности исключается переменная А, что существенным образом упрощает задачу. Если ет = 2,5 и у = 4/3, то указанная выше задача Коши разрешается с помощью одной квадратуры, вычисляющейся в конечном виде. Ниже приведены результаты численных расчетов для у =- 4/3, ю =' 2,5 и для у = 5/3, ю = 2,5 т).

Анализ решения при у = 4/3 и ю = 2,5 показывает, что возмущенное движение газа Возникает в результате точечного взрыва с выделением конечной энергии в момент 1 = 0 в центре симметрии. Величина выделившейся энергии возрастает с уменьшением д, т.

е. с увеличением интенсивности ударной волны. При 0 ( д ( ( 1/36 у центра симметрии образуется сферический вакуум радиуса г", причем г* =- )сег„где постоянная )зе зависит только от д и равняется значению параметра ) на внутренней границе, на которой давление и плотность обращаются в нуль. Если д > 1/36, то возмущенное движение газа после взрыва занимает всю внутренность сферической ударной волны.

При о ) 1/36 плотность и давление в центре обращаются в бесконечность. При д = 0 распределение характеристик газа совпадает с распределением характеристик газа, изученным в з 15 главы тЧ, для точечного взрыва в невесомой массе с переменной плотностью при р, = О. Отметим, что переход от типа движения, продолжимого до центра симметрии, к типу двииления с образованием у центра пустой расширяющейся сферы может происходить за счет различных факторов.

В 9 15 главы 1Ъ' мы показали, что этот эффект возникает за счет усиления закона падения плотности, т. е. роста показателя ю (р, = А/г '), илн для фиксированного ю за счет увеличения коэффициента у. В данном случае такой эффект возникает прн постоянных ю = 2,5 и у =- 4/3 за счет изменения параметра о, определяющего количество выделившейся энергии в центре симметрии. Распределения характеристик движения прп у =- 4/3 и от — 2,5 для различных д представлены на рис. 135 — 142.

Легко проверить, что при у = 4/3 система обыкновенных дифференциальных уравнений (6.10) имеет репгение — Я = Яе — сон~~, — 8 Яе =- 21 — 9 Яе, (6 3) где Я, — произвольная положительная постоянная. т) Рассматриеаемаа задача для у = 5/3 н ы = 2,5 с несколько иным подходом путем численного интегрировании системы (6ЛО) была изучена а работе: Саггпе Р. А., Рох РЬ. А., Оааа Р., Кора! 7... ТЬе Ргорадацоп о1 БЬос!с %атее !п а Бте!!аг Мойе! ч ЙЬ Солт!поппе Репа!ту й!атг1Ьп11оп. АасгорЬуа. Хи ч. 113, 1951, р. р.

496 — 518. 1Гл. Ч1 Яб ПРНЛОЖГНИП К ПРОБЛГеМЛМ АСТРОФ113ИКИ еет "г РВ фу Рг Гг л=— Г T г Рвс. 135. Распределение скоростей в поле вовмущеииого двияеения газа. Около центра образуется пустая сфера с растущим радиусом га = Хе (д)ге. Г ,ее /Р уг еее И г ег Ряс.

136. Распределение плотности в поле воамущенного движения газа, г|а внутренней границе плотность равна нулю. в Й ~к ТВОРии Вспышнк нОВых и сБВРхнОВых звиад /Р Р Р„ ЦУ Рнс. 137. Распределение давления в поле возмущенного давя~ения таза. На внутренней границе давление равно нулю. Iу ьЮ '~г дт Рис. ЯЗВ. Масса газа наи фуннцяя расстоянвя цо центра свииетрии. При г = г* нисон М =- О. 1гл. Уг 418 ПРИЛОЖЕНГ!Я К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ Рве. 139. Распределение скоростей в поле возлгущеииого движения газа, Движение продолжается до центра симметрии.

Рис, 140. Распределеиие плотности в поле возмущенного движения газа. В центре симметрии плотность боскоиечпа яри е ) 1/36. 5 Е~ К ТЕОРИИ ВСПЬППГП НОВЫХ 11 СВЕРХ11ОВЫХ ЗВЕЗД уг Р гг гг гг Л=— T Рнс. 141. Распределение давления в поле возмущенного двнзкения гана В цеатре симметрии давленне бесконечно при д ) 1И6. пг г 4~г ба Л= -С г Рис. 142. Масса как функция расстояния до центра симметрии. (гл.

ш пРП:1ожкния к пРовлвмАм АстРОФИЗ!1ки 420 Согласно формулам (6.9) соответствующее точное решение уравнений с частными производными (6.1) имеет вид 2 г гг„, г' 4л !!! " /1! (6.24) В соответствующем движении плотность зависит только от времени и не зависит от радиуса. Рен!еиие (6.24) является частпь!м случаем решения (15.24) главы 1Ч прн у = 4/3 и () = 0; величины к и Я, связаны соотношением 2я Зу~'„3 При у —.- 4/3 и гз =- 2,5 формулы (6.20) дают 24 (гз = —..

(1 — г/), 2 Я 21 д ьеп — Рд 3 16 (8 — д) (! + 1Н1) 23 4В (6.25) 36 3/з = —.;. ((, Из условий на ударной волне (6.25) следует, что при г/ =. 1/36 имеем )г, — — - 2/3. Коли теперь положить д == 1/36 и приравнять произвольную постоянную Я, значению Я„равному, согласно 3 (6.25), „, то найдем, что 4 8к 4к'д, з= — — — Яз=хз и . =Л/м 27 В 3 Следовательно, при у .=- 4/3, ге =- 2,5 и д = 1/36 формулы (6.24) в простом виде дают точное решение рассматриваемой задачи о вспышке. В этом случае решение (6.24) можно написать в следу- ющей простой форме — = 2!1, Х = — ". (6.26) — =-А, Р =-1, Р =-Х', гз Рз Р! Полученное решение разде,!яет решения для двих1ений с образующейся пустотой при !/ ( 1/36 и движений, продолжимых до центра симметрии при !/) 1/36.

На графиках рис. 134 — 142 нанесены также кривые для ре1пения (6.26). С помощью точного решения (15.24) главы 1Ч можно найти в простой форме другие точные решения взрывного типа. В самом деле, из реп!ения (15.24) главы )Ч и краевых условий (6.14) па ударной волне для ию р, и, 11, найдем, что эти условия на основании формул (6.2) удовлетворятся, если постоянные 1 В) К ТЕОРИИ ВСПЫШЕК НОВЫХ И СВЕРХНОВЫХ ЗВЕЗД 421 значения д, Я„у, и в связаны соотношениями ') 71воятгч 1 (уг+ 1) в Ч= 6(в — 1) Ч= 6 (6.27) х ( —,) - '( —,'.) —,'. = 2л (3 — в)(6+(Л вЂ” 1)в] 1 9 (в — 1) [6 — (71 + 1) в] г™ ' 2 Я, = . (6.29) Если ю (3, то соотношение (6.29) может быть удовлетворено в двух случаях 2я (3 — а) [6+(л — 1) в] Е (в — 1) [6 — (у, + '!) со] — получается семейство решений, зависящее от у„если у, =- = у = 4/3, то решение, соответствующее соотношениям (6.30), совпадает с решением (6.26) 6 (в — 1) (6 — в) 71 = в(7в 6) 1 7 2'.

х = О, у = 2 [1 — — ), в (6 — в) 6(7а--6) [)г2 ~ 3/Л о ) (6.31) (3 — в) [6+ (7, — 1) <о] (в — 1) [6 — (уг+ 1) в] Если у, = у, то о []гю = (51А(~о) (6 32) 7 у 6 2 16 ' О = 2,4, В случае 2 получилось семейство частных решений для различных ') При выводе (6.27) и (6.28) в условиях на скачке (6.14) постоянная 7 заменена на уп Величину у в уравнениях (6.1) можно рассматривать в некоторых случаях как показатель политропы, а в условиях на скачке полагать 7, = сг/со ~ у.

причем закон движения ударной волны определен формулой (6.28) Условие на ударной волне для рх на основании (15.24) главы ]Ч, (6.2), (6А4) н (6.28) дает равенство пРиложвния к ИРовлкмАм астэофизики [Гл. чг ю, однако для каждого ю получаются неравные значения для 7 и 7, и только при ю = 2,4 имеем у = 7, =. 7/6. В случае 1' распределение характеристик движения га "а внутри ударной волны для всех у, представляется формулами (6.26). В случае 2' получатся формулы — — = 1; — = 1; — ' == 7; Р .

Р . ~~ и е Ре Ре Ме Следовательно, в случае 2' не только плотность, но и давление за фронтом волны получились постоянными. В обоих случаях движение газа продолжается вплоть до центра симметрии, причем в первом случае р == 0 в центре, во втором Р =-- Ре (1) Если у = 7, =- 7/6 — показатель адиабаты, то реше- ние (6.33) соответствует разрушению — динамическому взрыву— неустойчивого равновесия без выделения энергии '). Энергия га- за, находящегося в возмущенном движении внутри взрывной вол- ны, равна начальной энергии в равновесии. Используя формулы (15.24), (6.28), (6.31) и (6.32), запишем решение (6.33) в размерном виде 2 гз 1 2 .М =- — —. р в ==- — —, /1в ' вице ' 3 с К 1 Р = — —,, К .= — (30п/А)", 129я причем радиус ударной волны г, дается формулой г, (1) = (30л/Аг)".