tfkpiop (Методические указания)

з 7 к Г9юудерстввиный коиитеж СССР по ивродноиу образованна Э Московское ордена Лениня, ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени высшее техническое Училище им. К.З ~.тяня ! 1 ! 1.1. Т и ы записи комплексных чисел Комплексным числом ~ тельная часть ~Й~'т нозыааот пару чисел: х - аейстем и. лоц. ~УФ еа „„и ~~.кое указания ищаатся В соотиетствии с д~ц~п;~ мст~дичес р~~суотрл~щ и (рцОб~Рны кя'~%джой приклйцнОя ц~ ,, у ц7, ~~тд ~иц-ск- й кг~яссией Факультета ОТ -р,„.„.~ ~но,,юсудг~ицрс~сим уп;3йиленисм 15.

07.87 Г. Г И 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ОПЕРАДТЛ НАД Н;ИЛ / :~т:,~рщ~енис м~, (у. ) — конФормно, так как ~, о, Ф О. ~то~уажение 1 = Ь! с ~ -~ 6, осуществляет параллель ныл пегсн~с всех точек плоскости .с на вектор (это следу- А ет из геометРического смысла операции сложения комплексных чисел). Рассмотрим пчрахение ~ ', = о ~ ~~~~, ~=~сЛ1- ~с ~. ~~ ~ Ы'= /~ Л:~' ~, = А. с~ ~ " ~~~~~ . (12) Оаа ° ~~~НО е В О~Ж1' С.1УЧаЕ ЛИНЮЙЯая фуНКцИя ) к' "' се~ ~ыктор~э ~ме""". ТСЯ на ЯектОР ~~,,; б) и ы~ Гл-~"и~~~ ~я я ' ' Раэ ~ Годарйч' Раются на Угол о., Рис.

5 1 асс'~э. ~'.~".!~' 'ункци'г3 ~'м' = 1 ~ х 1/'" осущеат сражение по И т 338ИМНОО НОЗНвчРМ 'Рис- ') назы=" =-.Сл симметричкцуи от Ы„ э причеи 'Х. $ -~ М д , круга единичного 2 Э ри ЭТОМ в О Уче, прае "снном иэ центра О.— ~ж жреходит В еГО вИ ~1 «ф ) ~ого ю1ъу * ружность единичного р внешность ца и скости ружность (с . 5) радиуса переходит в а ни" О "енто окружности равно в КО п~щ К в ° Докажите, что ска о "' круга единичного ое выше верно Р ',РОЛЬ е .'';":сс".'.'", )'., 'Р л.'".

'ск ~сто ~ д."с Р~'.иисус ~ к ~., ~ис Таким образом, если област .Ь обходящих начало координат не соде т р®и кфи3мж,'- и ка~Ч~ая из них осуществляе ветви А ю 'х. д яются области 'Э вляет взаимно о оз вляе дн зкачное отображение Следовательно, по тео м реме о производной обратной функции (~- 1'- -Ы = — '- =-'. ) . ° Ф ) ) ) л (О) ) ° Э 3.4. Т игон мет ические и г ипе олические По формуле Эйлера 123) имеем ~Ю Е =Са~ж+ 'Ъ ~,Е'- ° ь ° -~ 6~мъХ -) (е — е' '~/-', созе =~е'~~е" а. выражение тригонометрических ф вительного переменного че Функций действ',.",'7-3 С ат начального ре го через показательнув фун.щит ~ ) Фет % , -..у,ест я тачек гл в°, '., -..

-'...т; = .ав~щ~ д ищем по о комплексйого'числа с Р- Ь~. х =[Е' б'ъ // "х эжчечие аргу- ' -а ~~к, ~а~~. ~е' +е' ',~~ -б ~", ~~~2 . к -. ч ..: ~г,и грэхэм,:;.нии к"ивой Определенные функции сд- и (29) комбинациями показательных фун ий и сд ~ и ь; ч. являются линей е ными 1л тт ".е .".о-.~~ те.".ьное число ~ = 2-„, обгастями однолистности сти соот- оба ряда: из действительных Х'. ж и ли% ж„и мнимых 'Я н частей Поэтому исследование а с Ейе ие ряда с комплексными членам исследованию пары ря.~ов с ей енамл сводится к рмулируя критерий Коши для после ова ~, т „1,получки критерий Коли скодииости ряда: ряд сходится тогда и т и только тогда ког суцествует такое и 1 ~ ) , к гда для любого е О , что неравенство 1 6 полняется при любом ~ - И ~Ъ 1<~ Можно сформулировать .

и любом на .. натуральном р . ать критерий сходимости ряда~„= Е- ряда, вводя остаток : ряд сходится тогда и тол только тогда к ~м й. =О тол пд, огда Д ~"',''~ ! -.ся перг'о,ч . Примеры. 1. Ис р,, ИЧЕСКой ПО следовать на сходимо д сть ряд оо ~ ~~ (~ ~2~ ~„,.~л ~ ~г > ':Э ю 4 Ю к...;,, ясного переменного с~ с с "с и Ряд из действительных Р ных частей 2 — —., и мн .:вв1 ~-,.1 о сов-.нвтствуюцими Ф ных —., и мнимых частей ~— л ~ ~1 ° э л: 1 ~, ' ' ~ ' ... ~ ° ункциями абсолютно сходятс л~т4 Ю и мн х дятс , следовательно, исходный Д будт вертикальные полосы , так как, например, ' и ~ ( ы', 2 ) „ичес~уе ф-нкЦии Б КОмПЛЕКСН скости обже Функциями дейстВ тВительного . о- :„", бЕСКОНЕЧНО ВОЗРаСта р стают при ,о|~о-,~:и'.

С..ь ~о ч 2 — Ф о ч '-о~г ~ :,'~ю ОССИ~~~ поп,ла ни одна точка т, .; ~к . По теореме Коши о составном н.уре ,'многосвязной области) можно '.~аписать л ф ~,х~ Ах --.. Ф .Ух~,~х . г ~~нкция ~«~~ — вналитичс.ск".л в кольце ~ ! х-Х ,г,,~оательно, ~на ~..о.,ет быть р~зл'~жена в нем в ряд ращ~омерно сходится нл гр.нице ~~„, так как на твчвк: ~~~Р. слеЛорана, которыми ней нот особы~ ~к1 Ф 1М ФК ~ 1х-~„1-Й„= ~еС = 'Я $ 0 (х-~„~ Йх. фЪ; —.- — ф~ т с ° с~ычислим ~'1' ~- 1х '~ к~ "Г'и целом с~~ . Если ~ю неотриЦатель но, то пацытегрьльтя Функция аналитичг; в круге ~х-Х„~с р оледиеателнно, по ннтегроянной теотеие Козн ф~х х ~~х=О ~~ли 1~~ - - ~, то по следстви из интегральной формулы Коши 1Рлруле для лр:~из~ .айной) получим ~но~ е) ~т- ~' ' ~1 ~-Ю с~х~~ При ~ --1 па интегральной форуле Коци Ф' . Поэтому зная Вычеты ФУнкции В особы интеграл.

со ых точках ле в легко 39числу~т~~ Рассмотрим вычисление вычетоВ плоскости различного типа ОВ В ОСОбых точках юнечнов П сть Х устранимая особая точк ложении ~ ~2 ~ В ряд Лорана отсутс этом случае в $6.3 . сутствует главная ч сто тельно коэФФициемты при всех е следовах оТрицательных степенях т.е. вычет равен нулю. Пусть ях - ~ф~ф~~~ - полюс первого по да разложение в ряд Лорана имеет вид РЙДЮХ. ТогС, ~ (~) = — С'„~с,( у у„~~ (~ умножая на ('х -х ) и переходя к п Де Юлу при Х 11~~~ ('~ ~~~~) С ~ С~ ~~ ~ н~ Ъ«~' «у у ч~Л-'~4 «-,(~-2,)+ ~Д;,„,~рЯр у ~~ р~ ф~ ц ~ц1.

Определим вычет в точке Х„ ~) х = с — устранимая точка. для резенкл ня раэных интеовалах изменения аргумента. Пт)и ис- польэоееник гзкого подхода полеэно помнить следующее: если ~Я .