Математическая логика. Шапорев С.Д

С. д Швперев млтемлтическдя логика ктас лскции и пакктичкских занятий УДК 681.3.064519.6(075.8) ББК 32.97)к73 Ш24 Шввпрев С. Д. ш24 Мвтематическаа л гика. Курс лекций и пракплсвких занптнй.— СВЗ. БКВ-Петербург, 2005. — 4!б с . ил. )ЗВЯ 5-94!57-702-8 В уч би оабни пр лстевл р юлм, граднпио уме ые в «угн мше агиче й иь»: лшбра логик и нсчислсиис еьнк» иий, пшика и числ вис прел , расом Пмнм в р и мшери тшню » ф рмальи ю риююгоригм а е и иммкфуики й Сарк пер ад лик и нмн шю друг с другом н би большим шм м прн рое р ш мл сап ч, шюпшлу н чьи р нгьиашг нй рию.

Дл.мрн,х Н г Г и пемдьмюю у УДК 681.3.06-г519.6(075 8) ББК 32973в73 р и июпгмг и нп,— д р»мишче сук, рд р, думщб йдлдсм а юа Ь мешмюгссудср снюмс сношу р нпю "дюшес (БЕГУ) 28 Ю В Г вЂ” !МК р ШЕШ и су, рй р,гс дую!ей ф.дг де с блюнщ к«п юбур ге удю ил у ссре уш й бщс (В(УпШ Группа малиновки юдвии»г и а ндн Ош2Р ш.а7.се.пщр ош саад 7 р соса 3 к ш лаос "пхв.п Оси; чешш, О и с4ув, у .

и, аа. шшюшлвДоойш ггш гг.чазим . ю шю ° ш и рню пш а шалве,с .и села,а нс,г2 1ЗВШ 5-94157-7Ы-8 ош сд.мм и оа с, "шш. ью Гл нмй р д кюр Звм р лакшра Эае. рсл «и й Релашор К пьенервю а р ш К гр кпр Лиюйн б кки Звв прошмш гюм Есеш Л ф ю Енй* юЕре г Гр юуедДФ Н ыДюу е Ном К уюа м! В щлюПв р Нг Пру *ю Н брл» Оглавление ЧАСТЬ 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА.... Глава 1. Алгебра легики (алгебра высказываний) ...................................„.„„3 1.1.

Введение. ..3 1.2. Операции нвд высказываниями....,..................................................... 5 1.3. Формулы алгебры логики...............................................................9 1.4. Равносильные группы формул и равносильные прсобразованич...... 11 !.5. Пракпзческое занятие йй ! Алгебра высказываний ....................... 16 1.6. Алгебра Буля 20 1.7. Функции ацсбры логики 23 1.8.

Ршложение булевых функций по переменным............,....,25 1.9. Лизьюнктивная и коиыонктнвиая нормальные формы...............,28 1.10. Закон шюйственности. 32 1.11. Практическое занятие М 2 Функции влгебры логики Закон лвоиственности .................................................

34 1.12. Минимизация булевых функций в классе ДНФ........................,37 Карты Карно... 37 1ДЗ, Проблема разрешимоснз .42 1.!4. Полиномы Жегалкина . .45 1.!5. Полнота и замкнутость функций алгебры логики.....................48 !.!6. Произволные от булевых функций ........,.........,...,......53 1.!7. /г-значныс логики ... 59 !.!8. Практическое занятие йй 3. Минимизация в классе дизьюнктивнык нормальных форм. Замкнутые классы и полнота систем функций влгебры логики й-значньгс логики.....................................68 !.19 Схемы из функцианаяьнь!х элементов.

Релейно-контактные схемы, опенка сложности схем .. ..71 1 20. Решение логических задач ....,.............., . „, „,.............. 83 1 21. Практическое занятие Уй 4 Реализация булевых функций схемами и формулами. Решение логических задач ............................., ...87 Оглеелен|ю Глвва 2. Исчисление высквзмвавий ....,......::------ --- 2.1. Язык, система аксиом и правила вывола ис пгсления ... 93 высказываний .......93 2.2 Некоторыс дополнительные производныс правила вывода................, ...93 2.3. Теорема дедукции и другие законы исчисления высказываний ....,.....106 Теорема дедукции .............

106 Обобшение теоремы делукции .................................................,......103 Закон перестановки п сьыо ...................................,...., ... 103 Закон соединения посылок ...........109 Закон разъединения посылок .............. .. ! 1 О 2 .4 . П ракгическое загля ти е Уй 5 . Исчисление высказываний: правила вы вола и доказуемость формул 2.5. Монотонность и эквивалентношь формул исчисления высказываний.. 2.6.

Связь между формулами атгсбры высказываний и исчисления высказываний..................,.....,................. 2.7. Иекоторые влгоритмы проверки выводимссти формуя в исчислении высказываний...........,................,.....,..... Алгоритм Квайна 129 ...... 1 1 7 ...120 ......122 .....128 Алгоритм метода редуюгий 131 Метод резолюций.. ... ........ 1 3 1 2. 8 .

Проблемы а ксиомати ч еского исчисления высказываний ..... . ....., , . .. 1 34 2.9. Практическое занятие Кй 6. Эквивалентность формул исчисления высказываний и теорема о выводимосги. Алгоритмы Клайна, редукций и резолюций .. 137 Глава 3. Лопша иредикатов ...141 ЗА. Практическое занятие КА 7 Логические и квантсрные операции над предикатами. 3.5.

Равиосильнмс бюрмулы логики предикатов 3.6. Предваренная нормальная форма Обшезначимосгь и выполнимость формул логики предикатов............................. Случай конечных областей, Проблема разрешимости для формул, содержаших в прелваренной нормальной форме кванторы одного типа ............. 3.7. Практическое занятие Уй 8.

Выполнимость формул логики предикатов. 3.8. Применение языка логики предикагов для записи математических прелложеннй .............................. 153 156 !59 163 164 166 168 3.1. Определение предикатов и логические операпии нал ними .....,.......141 3.2. Кюнгорные операции.

146 3.3 Формулы лешки предлкатов ...............................................................!49 3апиеь математических определений.....,.....,... Формулировка математических теорем,....,,...,......,, „, Построение противоположных утверждений и доказательство методом от противного,. Формулировка обратньш и противоположных теорем...,, Формулировка необхолимых и достаточньы условий 3 9 Практическое занятие М 9. Применение языка логики предикатов в математике 168 170 171 173 175 176 Глшл 4.

Исчисление предиаатвв....... .....! 81 183 187 188 193 196 197 200 204 210 з17 212 212 213 214 .. 215 Глава 5. Твори» алгоригмвв..................,.............................- 5.1. Характсрныс черты алгоритма. 5.2. Вычислимые, частична рекурсивные и обшерскурсивныс функции Примитивная рекурсия. Операция минимизации 5.3. Примитивная рскурсивность некоторых арифметических функций 5.4. Практическое занятие М 11.

Рекурсивносгь функций.. 5.5. Свовврныс множества и функции 5.6. Машины Тьюринга . 5.7 Неразрешимые алгоритмические проблемы ....,...,...... 5.8. Практическое занятие М 12. Словарные функции. Построение программ для машин Тьюринга ........... .218 . 219 .. 229 .232 ... 236 239 . 244 ....257 .259 4.1 Синтаксис языка исчисления прсдикатов.................................. 42. Аксиомы и основные правила вывода........,, „.„„.„... 4.3. Производные правила вывела в исчислении предикатов .. 4.4 Некоторые теоремы исчисления прсдикатов 4.5. Эквивалентные фориулы 4.6. Дедуктив ~ая эквивалентность......... 4.7.

Получение тУ-форьгул Скулсмовские функции 4.8 Унификация формул исчисления предикагав 4.9. Метод резолюций в исчислении предикатов.. 4.10. Практическое занятие 10 1О. Унификация формул. Метол резолюций в исчислении прслнкатов.. 4.11. Некоторые проблемы аксиоматического исчисления преликатов . Разрешимгють. Непротиворечивость и независимость Полнота в узком смысле Пшшата в широком смыыге Оглавление ......261 ......367 ,......

367 ....... 383 ....... 38 3 395 Сннсок литературы ... .....405 Предметный указатель. ЧАСТЬ П. ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ ....., Глава б. Алгебра аысказываввй 6.1. Ответы и решения задач......................,............ практического занятия уй 1 6.2. Ответы и решения практического занятая 982 6.3. Ответы и решения практического занятия Р63 .... 6.4. Ответы и решения практического занятия 984 .... Глава 7.

Исчисление высказмваннй ... 7.!. Ответы и решения практического занан!я Уй 5 ... 7.2. Ответы и решения практического занятия Рйб ..... Гвена 8. Лепны ирелнкатов.............................. 8.!. Ответы и решения практического занятия Рйг 7 ... 8.2. Ответы и решения практического зангпня Рб 8 ...

8.3. Ответы и решения практического занятия Уй 9.. Глава 9, Исчисление нредикатоа..................................,. 9.1. Ответы и решения практического занятия Рб 1О..... Глав* 1О. Теория алгоритмоа ... 10 !. Ответы н решения практического занятия Рб 1! ... !0.2. Ответы и решения практического занятия Уй !2 ... .... 263 ....... 2 63 263 27 3 ........

307 .......319 .......3!9 ........329 ........345 ........ 345 ........ 351 357 Глава 1 Алгебра логики (алгебра высказываний) 1.1. Введение Формальная логьнш сунгествуе~ тлм боясс дву тысячелетий За шгкн яо1 или явно прослекиваюгся в рабозат Лристотеля Идеи о построении логики на математической основе, т е па сути математической логики, бьши высказаны Лсйбнинем в начале 18-го века Впервые иден Лсйбнипа реализовал Д. Буль""" в 40-х |т. девятнадлатого столетия Он создал алгебру, в «огорой буквачн обозначены нысказывания, и это привело к появленшо ш~гебры высказываннрг Применение математики к логике позволило представить логические теории в сово13 удобной форьге и примсшпь вьгчггсли~сльный аппарат к решению задан, малодоступных человсчсскочу мышлению нз-зя особенностей человеческой психики. Современная математическая логика определяется как рюдел математики, посвящснньй изучепию математн ~вских локазатшшств н вопргюов основания математики Одна из главных причин широко~о распространения математической логики — применение аксиоматпчсс«ого лютода а построении различных математических теорий В нем шш шла выбираются ~~екоторгчс понятна, которые нс определюотся.

а лишь поясняются. Затем без доказательства принимаешь ся некоторый набор аксиом, а уме потом пз этих аксиом лопзчсски строго выволятся н докшываюгся все оставшиеся положения тсорнн. Оаьгыьз ранним примером аьсноматьшсскай теории являю~ел И!ачала" Ввклила Одна~го сисгема аксиом, пологкенпая Бвклидом в основу теории, не является единственной н солср»снг небесспорпый пятый аосзулвт (аксиоьгу о параллель- Лр я Гзая 322 ьз з) — лр кгр' "« Часть Г. Ыагемвпмеская логик» ных прямык).

Это не означает, что построенная затем теория (классическая геометрия) была неверной, но указывает иа воэможность построения инык геометрий (геометрии Лобачевского*, например). Отличительная черта математической логики — иопользование доки»- те»ест», а ие наблюдений. Однако ясно, что невозможно доказать все математические законы, т.к. самые первые из них не могут быть доказаны: нет более ранних законов, из которых они могут быть выведены.