Решение задач по Физике (Кириллов), страница 27

Примеры решения задач 7.4.1. Электрон с кинетической энергией Т=4эВ локализован в области размером 1 =! мкм . Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости. Решение Полагая в формуле (7.4.1), Аки1, Ьр„птЛг, получаем для неопределенности модуля скорости электрона формулу л Лг> —, т1 где т- масса электрона. Учитывая, что по условию задачи Т«тс, находим г= 12Т7т. Таким образом, для относительной неопределенности модуля скорости электрона получаем оценку 12) г 1 12тТ Подставляя численные значения величин, находим Лг/г ге!0 -4 Лг л Ответ: — и — == = 1О г 142тТ 7.4.2.

След пучка электронов на экране электронно-лучевой трубки имеет диаметр д =0,5 мм. Расстояние от электронной пушки до экрана 1 = 20 см, ускоряющее напряжение 17 =10 кВ. Оценить с помощью соотношения (7.4.1) неопределенность координаты электрона на экране. Решение Отметим, прежде всего, что при энергиях электронов — 10 кэВ можно использовать нерелятивистское приближение. В этом случае импульс падающих на экран электронов определяется выражением р= 1'2 в17, (1) 217 Квантовая физика где т, е — масса и модуль заряда электрона, соо~ветственно, Учитывая, что отношение Н/!определяет угловые размеры Л(р пучка падающих на экран электронов, для неопределенности проекции импульса электрона на ось, лежащую в плоскости экрана (обозначим эту ось как ось х), получаем оценку 1щ„и р11(о= р —. (2) Для неопределенности х — координаты электрона ЬХ на экране с помощью формул (1), (2) и (7.4.1) получаем выражение Ьх = — = й л1 (3) Лр, И /2те(1 Подставляя в(3) численные значения величин, находим Ьхи!0 м.

Ответ: ахи -8 =10 м. 2те(1 7.4.3. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее эффективное расстояние его от ядра. Решение Запишем энергию электрона в атоме водорода как сумму его кинетической энергии и потенциальной энергии в поле ядра 2 р е Е= — -к —, 2т неопределенность проекции импульса электрона на некоторую ось (например, на ось х) равняется по порядку величины модулю самого импульса электрона р, т.е Щ н р, а неопределенность соответствующей координаты Ьх по порядку величины равняется г, с помощью формулы (7.4.1) получаем оценку л й р = Фр„и — = —.

Ат г (2) Подставляя (2) в (1), находим где т, е — масса и заряд электрона, соответственно, г — его расстояние от ядра, (г = 1/(4згео ), еа- электрическая постоянная. Предполагая, что 218 Глава 7 оценку 2 4 Еьм и — г — — -13,6 эВ. т/с е 2й~ (5) г 2 4 Ответ: г,)4 н — =0,53 !О м; Е,„и — =-!З,бэВ. ~о ийе т)4е 2й~ 7.5. Квазиклассические модели атома Основные формулы ° Условие квантования Бора: момент импульса электрона на стационарных круговых орбитах определяется выражением Е = ипт„= и!2 (и = 1,2,3,...) (7.5.1) где т — масса электрона, г — его скорость, г„- радиус круговой орбиты в состоянии с главным квантовым числом и. ° Энергия электрона находящегося на и-ой орбите равна 2 И Е и — г и (7.5.2) где )2 4 Е = = 2,07 !Огас ', (7.5.3) 2йз )! — постоянная Ридберга, Š— порядковый номер водородоподобного иона; т, е — масса и заряд электрона соответственно, 14 = 1/(4леа ), ее- электрическая постоянная.

° Радиус и-ой боровской орбиты водородоподобного иона определяется выражением Е н -)4 —. )2 е (3) 2тг г Значение радиуса г,ЕЕ, соответствующее минимуму энергии электрона, получаем путем дифференцирования выражения (3) и приравнивания производной нулю. В результате находим 82 г44 и — =0,53.10 м. (4) т!4е Для энергии Е при г=г,ЕЕ получаем с помощью формул (3), (4) 219 Квантовая физика г (7.5.4) гггнУе ° Частота фотона, испускаемого при переходе электрона с л-го на т-ый уровень определяется обобщенной формулой Бальмера (7.5.5) Примеры решения задач 7.5.1.

Частица массы т движется по круговой орбите в центрально- симметричном поле, где ее потенциальная энергия зависит от расстояния г до центра поля как У =кг~/2, я- положительная постоянная. Найти с помощью боровского условия квантования возможные радиусы орбит и значение полной энергии частицы в данном поле. Решение Сила, действующая на частицу в данном потенциальном поле, определяется выражением р=-с~и(г) =-к, (4) выражается через потенциальную энергию соотношением где г- радиус-вектор частицы. Предположим, что частица движется по круговой орбите. Согласно условию квантования Бора (7.5.!) радиус орбиты г„должен быть связан с модулем скорости г соотношением (2) где н = 1,2,...

— главное квантовое число, принимающее целочисленные значения. С другой стороны, запишем обычное классическое уравнение, связывающее скорость и радиус орбиты при движении частицы в силовое поле (1) (второй закон динамики Ньютона) г — У„. (3) г„ С помощью формул (2), (3) находим где «(, =,~к/е, Из равенства (3) следует, что кинетическая энергия Глава 7 220 Е„= — ' -и(г„)=2и(г„)=кщ, . (6) Ответ: г„= —; Е, = альп, где щ, =,/к/е, л = 1, 2 ... 1 лл )1' л~ез: 7.5.2.

Определить о - круговую частоту обращения электрона на пой круговой орбите водородоподобного иона. Вычислить эту величину для иона Не прил =2. Решение Частоту в обращения электрона на п-ой круговой орбите водородоподобного иона вычислим по формуле 2л лз = —, Т где 2лг„ Т= —" (2) - период обращения электрона. Таким образом, И= —. Радиус л-ой боровской орбиты определяется выражением (7.5.4). Скорость электрона на этой орбите находим с помощью условия квантования Бора (7.5.1) по формуле Ьл Уе'й У= — = —.

(4) юг„нл Подставляя выражения (7.5.4) и (4) в (3), находим ьггг в 2тг в= = — )1. вз 3 3 (5) Для иона Не' следует положить 2=2. Для уровня с п=2 величина 22~/а~=1, поэтому и=)1=207 10 вс '. (3) г — =-кг =и(г ). 2 2 2 и и (5) Поэтому полная энергия частицы в состоянии с главным квантовым числом и равна 221 Квантовая физика Ответ: аз= = — й; аз=)к=2,07 1О с при 2=2, а=2. йгу~е~т 27~ и -~ йзз з 7.5.3. С какой минимальной кинетической энергией должен двигаться атом водорода, чтобы при неупругом лобовом соударении с другим, покоящимся, атомом водорода один из них оказался способным испустить фотон? Предполагается, что до соударения оба атома находятся в основном состоянии. Реигеиие Найдем, прежде всего, скорость движения центра масс двух атомов водорода (2) 1 чд = — ч, (1) 2 где ч — скорость налетающего атома водорода в лабораторной системе отсчета.

Таким образом, модуль скорости каждого из атомов водорода в системе центра масс равен че, а их общая кинетическая энергия в этой системе отсчета вычисляется по формуле г 1 г 1 То =Мое — — — Мч = — Т, 4 2 где М - масса атома водорода, Т- кинетическая энергия налетающего атома в лабораторной системе отсчета. Минимальное значение Те, необходимое для возбуждения одного из атомов из основного состояния (л =1) в первое возбужденное состояние (а = 2), согласно формуле (7.5.5) определяется выражением (при У = 1) 3 То аазг1 (3) С помощью формул (2), (3) находим минимальное значение кинетической энергии налетающего атома водорода Т в лабораторной 3 системе отсчета Т и = — Ж= 20,5 эВ.

Ответ: Т и — — — ай=20,5 эВ. -3 222 Глава 7 7.б. Уравнение Шредингера Основные формулы ° Движение частицы в стационарном силовом поле (т.е. в случае, когда потенциальная знергия не зависит от времени) в состоянии с определенным значением знергии Е описывается волновой функцией вида — Е~ 'тг(г,г)=е " уг(г), (7.6.!) где уг( г ) - координатная часть волновой функции. ° Координатная часть волновой функции удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера гг уг( г ) + — ( Š— И( г ))Я г ) = О, 2ш (7.6.2) )) д' дз где й = †+ †- оператор Лапласа.

В дальнейшем мы будем дх' ду' дз' иметь дело только с координатной частью волновой функции и именовать ее просто волновой функцией. При решении уравнения Шредингера следует учитывать условия, которым должна удовлетворять волновая функция; конечность во всем пространстве, однозначность, а также непрерывность, как самой уг-функции, так и ее (а) = )Ч' (г)аз'(г)а (7.6.5) первых производных по пространственным координатам. з ° Квадрат модуля волновой функции ),уг(г)) определяет плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства.

Например, в одномерном случае вероятность г)Р обнаружить частицу с х - координатой в интервале от х до х+г(х выражается формулой г)Р = ~ Ч ( х ) ~ )х. (7.6.3) ° Оператор импульса частицы имеет вид р=-(л1в. (7.6.4) ° Среднее значение физической величины (г, которой соответствует в оператор Д, вычисляется по формуле 223 Квантовая физика Примеры решения задач 7.6.1. Частица массы т находится в одномерной потенциальной яме (рис. 7.3) в основном состоянии.

Найти энергию основного состояния, если на краях ямы (и- функция вдвое меньше, чем в середине ямы. Решение Запишем уравнение Шредингера (7.6.2) в одномерном случае в области — а < х < а, в которой потенциал равен нулю 2 +)г~з)г( )=О, (1) Ых' О 2н1Е где й = —. Решение згого уравнения 12 можно записать в вид з(г(х) = Аз1л1х+ Ввоз)сх, (2) где А и  — некоторые константы. Поскольку по условию задачи 1)г(-а)=1)з(а), причем 1)з(а)ЕО, приходим к выводу, что А=О. Учитывая требование уг(а)=(1/2)тт(0), -и О а (4) 6212 йг 1 1 2 2т 18та (4) йг 2 Ответ; Е, = 18та 7.6.2. Частица находится в потенциальной яме с абсолютно двумерной прямоугольной непроницаемыми стенками получаем уравнение Рис.7 3 соз( йа ) = — .

1 2 Решение этого уравнения, соответствующее минимальному значению энергии (т.к. нас интересует основное состояние), имеет внд зг 3 В результате для энергии частицы в основном состоянии получаем выражение 224 Глава 7 (0<х<а, 0<у<Ь). Определи~ь вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в области 0 < х < а/3. Г2 . (ггх') уг~ ( х ) = ( — в(ив 'я а (, а 7' Г2, (лу) г'г( у) ~ вш( (2) (3) Вероятность 6Р обнаружить частицу с координатой х на интервале от х до х+ 6х дается выражением ь 6Р = 6х К х, у )бу . (4) о В силу условия нормировки для функции г)гг( у): )'втг(у)6у=! о выражение (4) принимает вид 6Р = уг, ( х)6х. г Таким образом, для вероятности нахождения частицы в области 0 < х< а/3, получаем формулу вгз Р = ) уг, ( х )6х.

о в эту формулу и выполняя интегрирование, Подставляя функцию (2) ,)'3 находим Р = — — —. 3 4л ,Iз Ответ: Р= — — —. 3 4гг Решение Решение уравнения Шредингера (7.б.2) для двумерной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками имеет вид Ч/( х у ) = г6( х ) г'г( у ) (1) где функции )к(х), г)гг(у) являются решениями уравнения Шредингера для одномерных потенциальных ям с бесконечно высокими стенками по осям х и у соответственно. Для частицы с наименьшей энергией эти функции определяются выражениями 225 Квантовая физика 7.6.3. Частица в момент г =0 находится в состоянии уг= Аехр(-х ~/а +((гх), где А, а - некоторые постоянные.