И.Е. Иродов 'Волновые процессы. Основные законы', страница 11

О' '<О О Ряс. 3.5 * Зтн свойства, строго говоря, относятся к паракснальным пучкам, т. е. к пучкам лучей, угол которых с главной оптнческой осью достаточно мал. Таким образом, все величины (кроме и), фигурирующие в формуле (3.17), алгебраические. Это во многих случаях очень удобно, поскольку значительно упрощает анализ результатов расчета: если, например, окажется, что з' < О, то это сразу говорит о том, что изображение оказывается слева от линзы, т. е.

мнимое и т. п. Величину 1//' в формуле (3.17) называют опгпической силой линзы Ф, дптр (1 дптр = 1/м). Оптическая сила не зависит от направления хода лучей: слева — направо или наоборот. Линза с Ф > 0 является собирающей, а с Ф < Π— рассеивающей. Глава 3 73 Заметим, что если бы линза находилась в среде, показатель преломления которой был бы разным, например, слева и, а справа п', то переднее и заднее фокусные расстояния были бы не одинаковы. Их отношение определялось бы формулой /'// = — и'/и. (3.

18) Знак минус показывает, что оба фокуса, передний г" и задний е', всегда находятся по разные стороны от линзы. Следует также иметь в виду, что при л' я п центр линзы оказывается не оптическим центром: луч, проходящий через него, будет испытывать преломление. 2. При падении на линзу пучка параллельных лучей под углом к главной оптической оси (на которой находятся центры кривизны поверхностей линзы, а также фокусы г" и г"') изображение — точка Я' — образуется в задней фекальной плоскости линзы (рис. 3.6).

И главное: оптические пути всех лучей от плоскости ТТ', перпендикулярной падающей пучку, до изображения Я' будут одинаковьс в силу таутохронности. Это мы будем использовать в дальнейшем неоднократно. О Рис. 3.6 Рис. 3.7 3. При поступательном смещении параллельного пучка лучей положение точки их схождения Я' в фокальной плоскости не меняется. Т. е.

при смещении, например, отверстия из положения 1 в положение 3 (рис. ЗЛ) изображение — точка Я'— будет оставаться на прежнем месте. Это мы будем учитывать при изучении действия дифракционной решетки (35.7), 4. Линейное или поперечное увеличение линзы () = у/у, где у' и у — поперечные размеры изображения и самого предмета (см. рис. 3.5). Вступлеаие 73 Легко видеть, что 5 = з'/з.

(3.19) На рис. 3.5 величины р' и з отрицательные, следовательно и 5 < О. Это означает, что изображение перевернутое (относительно предмета). И последнее. Рассмотрение многих вопросов значительно упрощается, если вместо пути луча з и длины волны У в данной среде использовать понятие оптической длины Ь пути и длины волны Х в вакууме. Для монохроматической волны на пути У возникает отставание по фазе на 2п, а на пути з — на 5. Отсюда, учитывая, что Е = 3/и и зп = Ь, получим где 5 — отставание по фазе на оптическом пути Ь.

Этими соображениями мы и будем пользоваться в дальнейшем, когда пойдет речь о связи разности фаз с оптической разностью хода Ь. И в етом случае (3. 20) Задачи 3,1. Отражение света. Показать, что при отражении от зеркала выпалняется условие е - е, — 2(е,п)п, где е и е, — орты отраженного и падающего лучей, и — орт нормали к плоскости зеркала. Р е ш е н и е.

Согласно рис. 3.8, можно записать: е-е,+ае. рве. 3.8 Глава 3 Найдем вектор Ле. Его модуль, как видно из рисунка, )5е! = 2)ее~зови = 2 1 ( — соэб) = — 2(е,п). И сам вектор Ле = — 2(е,п)п что и требовалось показать.

3.2. Воспользовавшись формулой из предыдущей задачи, показать, что луч света, последовательно отразившийся от трех взаимно перпендикулярных плоских зеркал, изменит свое направление на прямо противоположное. Это так называемый уголковый отражатель — идеальный объект для радаров. Р е ш е н и е. Согласно формуле из предыдущей задачи можно за- писать е, = е, -2(еэп,)п„ез =е, — 2(е,пз)пз, ез =е, — 2(езп,)пз.

(1) Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим после сокращения: (2) еэ = еа — 2[(е,п,)п, + (егчэ)пэ + (е,пз)пз) . В этом выражении (е,п,) = (е,п ! — это следует из (1), если первое равенство умножить скалярно на и,. Поступая аналогично, найдем: (е,п,) = (е,п,) =(е,п,). После этого (2) можно переписать так: е, = е, — 2 [(е,п,)п, е (е и )и, + (е п,)п ) . (3) Величины в круглых скобках — это направляющие косинусы орта е, относительно координат с ортами и,„ и„ и,.

Значит, величина в квадратных скобках есть просто е, и е, = -е„что и требовалось доказать. 3.3. Свет интенсивности 1,падает нормально'на идеальна прозрачную пластинку. Считая, что коэффициент отражения каждой поверхности ее р = 0,05, найти интенсивность Х прошедшего через пластинку света с учетом: а) только однократных отражений; б) многократных отражений. Р е ш е н и е. а) После первой поверхности интенсивность будет равна 1,(1 — р), после второй поверхности 1 = 1о(1 р) = 1о(1 2р) = 0*91о.

Вступление б) После прохождения двух поверхностей интенсивность равна 1,(1 — р)'. При этом часть 1,(1 — р)р отражается от второй поверх- ности и затем, отразившись от первой поверхности, станет равной 1р(1 — р)р . И световая волна при прохождении второй поверхности будет иметь интенсивность Г,(1 — р) р — это после двукратиог з го отражения.

Следующая волна испытает четырехкратное отражение и выйдет из пластинки с интенсивностью 1,(1 — р)'Р4. За- тем надо учесть вклады от шести-, восьми- и т. д. кратных отражений. В сумме интенсивность проходящего света можно представить как 1 = 1з(1 — Р) (1 е Р + Р + " ) = 1о(1 - Р) / (1 " Р) ч 0,91о где учтено, что сумма геометрической прогрессии 1 + р + р + ...= э з = 1!(1 Р ). Полученный результат практически совпадает с найденным в пре. дыдущем пункте (отличие составляет всего Я~1 = р' = 0,25%). Поэтому, как правило, многократными отражениями пренебрегают. 3 4 Преломление света.

При каком значении угла падения 3, луч, от. раженный от поверхности прозрачного диэлектрика, будет перпендикулярен преломленному лучу, если показатель преломления диэлектрика равен лу Р е ш е н и е. В этом случае должны быть выполнены два условия: э1п 3, = л з1п Э„9', + Э, = в(2. где 3', — угол отражения, равный углу Э,. Поэтому первое равенство запишем так: з(п 9, = и з1п(хУ2 — 3,) = и сов 3,. Отсюда следует, что СбЭ, = и. З.б. Пучок параллельных лучей интенсивности 1, падает на поверхность прозрачного диэлектрика с показателем преломления и. Угол падения 3, таков, что (д Э, = п.

При этом р-часть светового потока отражается. Найти интенсивность преломленного пучка. Глава 3 Рнс. 3.9 Р е ш е н и е. Пусть пучок параллельных лучей падает иа поверхность диэлектрика площади $ (рнс. 3.9). Исходим из того, что для потоков должно выполняться равенство Фо =Ф +Ф (именно для латаное, а не для интенсивностей, поскольку сечения падающего и преломленного пучков прн наклонном падении не одинаковы).

Теперь представим с помощью рис. 3.9 потоки как произведения интенсивностей на сечения пучков. Тогда предыдущее равенства примет вид: 1,$ сов 9, = р!з$ сов 9, + Г'$ сов 9,. Отсюда 1" = (1 — р) 1, соз 9,~газ 9,. Из условия 139, = п имеем з1п 9, = псоэ 9,. Сопоставив последнее равенство с выражением для закона преломления (3.15), видим, что соз 9, = з(п 9,. Отсюда следует, что соз 9, = з(п 9,. И выражение для искомой интенсивности 1" примет вид: 1 = (1 — р)1,/л. 3.6.

Показать, что при преломлении в призме с малым преломляющим углом 9 луч отклоняется от своего первоначального направления на угол а =(л — 1)0 независимо от угла падения, если он также мал. Р е ш е н и е. Вследствие малости углов падения (и преломления) синусы в законе Снелла (3.15) можно опустить. Тогда условин преломления на передней и задней поверхностях призмы (рнс. 3.10) примут вид: 9, г н9,', н9, = 9,', 9,' + 9, = 9. Встувлевие Р с. зло Ряс.

3.11 Искомый угол и, как видно из рисунка, равен а = (9, — 9,' ) + (9з — 9 ). После подстановки углов из (1) в (2) получим а =(и — 1)9. (2) видно из рисунка, 1 = и,з, .~- и,з, = и, ~~ т», + л,~)о,' т (Ь вЂ” х) . Продифференцируем это выражение по х и приравняем производ- ную нулю: дй л х и (Ь вЂ” х) х Ь вЂ” х = О. 1)а, +х уа, +(Ь вЂ” х) ч эз Множители при л, и и, равны соответственно э1п9, и з1п 9,. Таким образом, получаем л, э1п Зз = лз эги 9, что н требовалось.

3,8. Вывести с помощью принципа Ферма формулу преломления параксиальных лучей на сферической поверхности радиуса В, разделяющей среды с показателями преломления л и ит л' л п' — л з' з В 3.?. Принцип Ферма. Вывести с помощью этого принципа закон преломления света на границе раздела двух прозрачных диэлектриков с показателями преломления л, и и,. Р е ш е н и е. Найдем точку С (рис. 3.11), в которой должен преломиться луч, распространяясь от А к В, чтобы оптическая длина пути В была экстремальной. Пусть отрезок А'В' = Ь, тогда, как Глава 3 А О, Рис.