Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике, страница 5

е. не зависит от точности кусочной аппроксимации. Однако с увеличением точности аппроксимации возрастает количество ячеек памяти, требуемое для хранения величии а„, и= =О, а, что является недостатком рассмотренного метода, в особенности прн болыпнх л. 4, Некоторые специальные методы моделирования случайных величин Для моделирования случайных величин с заданным законом распределения можно использовать и другие свойства преобразований случайных чисел.

Известно, например, что распределение произведения двух независимых случайных величин, одна из которых имеет реле. евское распределение (1.4), а другая распределена по закону арксинуса (1.7) с параметрами (О, '/т), т. е. с ну- 24 левым средним значением и дисперсией, равной '/и является нормальным (37, 50). Это позволяет формировать нормальную случайную величину путем следующего преобразования системы двух независимых равномерно распределенных в интервале (О, 1) случайных чисел х, и хел у = в )7 — 21пх, ып2ех,.

(1.9) Параметры получаемой этим способом нормальной случайной величины будут (О, ое). Для моделирования случайных величин с некоторыми. законами распределения иногда удобно использовать преобразования нормально распределенных случайных чисел. Так, например, случайные величины с релеевским н показательным законами распределения (!.4) и (1.5) можно получить путем преобразования системы двух независимых нормальных случайных чисел х, и х, с параметрами (О, от) в виде (!.10) у=у х", +х,, у=х, +х, л 2 (1.11) соответственно.

Прн этом для релссвского распределения (!.4) параметр о будет совпадать с параметром а исходного нормального распределения, а для показательного распределения (1.5) параметр й связан с параметром о исходного нормального распределения соотношением Х= 'г'во~. Алгоритмы (1.10) и ('1.11) основаны на известных свойствах преобразований нормальных случайных величин (50). Немного изменив эти алгоритмы, можно моделировать случайные величины с другими.распространенными законами распределения, а именно, обобщая формулы ('1.10) и (1.11) в виде у=у' (х,+а)*+х',, у= ~ х'„, (1.!2) где хе — нормальные случайные числа с параметрами (О, о2), получим алгоритмы для моделирования случай- ных величин с законом распределения Ройса и законом 26 распределения ув с ш степенямн свободы соответственйо". 1 / в т|лгз — ! т гв(у): —.=, ~ — „) е, у ~ О, 'РЧт1 (еоя) аз ( Ф) где 1„(х) -- модифицированная функция Бесселя нулевого порядка; Г(х) — гамма-функция.

5. Заключительные замечания Существует довольно большое количество методов моделирования случайных величин. В данном параграфе изложены основные из них, при этом преследовалась цель рассмотреть в первую очередь принципиальную сторону вопроса и привести примеры алгоритмов для моделирования случайных вели цш с распространенными законами распределения. Более подробные сведения о цифровом моделировании случайных величин читатель найдет в специальных руководствах (1О, 23].

Ниже дается краткая сравнительная характеристика рассмотренных методов моделирования случайных величин и некоторыс рекомендации для выбора того или иного метода при решении конкретных задач. Если в задаче требуется высокая точность воспронз. ведения законов распределения случайных величин, то целесообразно использовать алгоритмы, не обладающие методической погрешностью. К ним относятся алгоритмы типа (1.4) — (1.7), (1.9) (1.! 1), погрешностью которых обычно можно пренебречь, так как она определяется лишь погрешностью выполнении на ЦВМ необходимых нелинейных преобразований и отклонением закона распределения исходных случайных чисел от равномерного (нормального). Примером систем, при моделировании которых может потребоваться высокая точность воспроизведения законов распределения случайных величин, являются системы обнаружения радиосигнала с низкой вероятностью ложной тревоги (порядка 1О-' †-з) (551.

Другим достоинством указанных алгоритмов является простота подготовительной работьк так как преобразования равномерного закона в требуемый закон распределения дакэтся в вндс готовых аналитических завнсп- кв мостей. Такого вида алгоритмы, кроме того, позволяют легко изменять форму закона распределения в процессе моделирования случайных величин, закон распределения которых зависит от переменных параметров. Например, изменение в процессе моделирования функции плотности случайной величины, распределенной по закону Райса, сводится к изменению по соответствующему закону только параметра а в алгоритме (1.12).

Основным недостатком этих алгоритмов является сравнительно низкое быстродействие, так как осуществление на ЦВй( нелинейных преобразований часто требует довольно большого количества элементарных операций. В задачах„не предъявляюцгих высоких требований к качеству случайных величин, для сокращения количества элементарных операций рекомендуется использовать более экономичные приближенные методы. Из них хорошие результаты дает метод кусочной аппроксимации. 1.5. Моделирование случайных векторов по заданным многомерным распределениям Задачи моделирования на ЦВМ случайных векторов и случайных процессов, заданных на конечном интервале времени (О, Т), в принципе не отличаются, так как дискретные реализапии случайных процессов, ограниченных во времени, можно рассматривать как вьгборочные значения Ф-мерных случайных векторов, где И=Т)Лй Существует два основных метода моделирования на ЦВМ случайных векторов с заданным многомерным распределением.

(Ю е (к,) = ~ ш (хыкх) пкт. (!.!3) (. Метод условных распределений Этот метод дает универсальный влгорнтм 110, 1Ц, позноляшнгнй в прннцнпе моделнроввть многомерные случвйные велнчнны с пронзвольно вахвнной многомерной функцнсй плотностя. Ллгорнтм осканян нн рекуррентном вычислении условных плотностей вероятностей для координат формируемого векторе. Пусть случайный вектор ввдвн своей й(-мерной функпней плотности е(ль .

° ., л1т). Рнссмотрнм сначала двумерный случвй, кйгдв вектор имеет всего лишь хвс коорлнпвты х, н х,. Одномернвя функция плотксстп случайной в~лнчнны .г, кисет внл Используя описанныс нышс способы модслирования случайных величин с задави»и законом распрсдслг»»»»я, сфоринрусм рсалнзацнв 'х» сэучзйной вслнчииы х» с функцией плотности (1.!3). Затаи найдем условное распрсдслснн»" ш»~чайной вгличины хы и (хз('х,) =и('х,,х,).'ш('х,), произвсдсм выборку 'х» случайной всличнны хз с фуикцнсй плотности ш»хз)»х») н т.

д. Полтчснная таким путем последовательность пар чисел зхь "т,, 1=1, 2,..., будст имать сап»сстиув функцию плотности ш(х», хз). А»»алагнч»»ыс соотнашспия ьи»свт чссто и для миогомсрных вскторов. например, если задана совмсстная функция плотности ш(хь хь х,) трехмерного вектора, то выборка троек чисел асушсгтвляигся в соответствии с фуикциямн плотности гс аэ ьт (х,) =- ) ) ш (х„хт.хз) ихм(хз, ш(хз)"х,) =- ~ ш("х,.х„х,)»»х,!ш("х,), (1.14) »и (хз ("х» Рхз) = ш (»'х»,ьхз.хз)~ш ("х,)»и (ьх» ! ьх,).

Описанный присм позволяет в принципа молслироиать многомерные случайпыс исличины с произвольно заданной функцисй плотности. Оливка практнчсскос иснальэоашп»с этого сп»ьсоба связано с иссыка громоздкими иычислспиямн, за искшаш инсм тех, срашпы тсльпо рсдких случасв, когда иитсгралы в яыражениях типа (1.13), Пз!4) бсрттся и ко~счнам вида. В противном слу »аг приходится прибегать к приблнжсипь»ч вычислсииям.

При больших значсниях йг зти вычислсння. как правило, оказывавтсн такжс очень громоздкими и совершенно игпрнгодпы для практического использования (101. Значитесь»»о более прнсчлсмым для прзктичсской рсализаш»и является мотал Неймана (1031 (см. й 1А), обобпшнный на многамср. иый случай (23). 2. Метод Неймана Пустьн»(у», ...,д„) — »и'-мепная функция плотности случайного вектора (1 ув )( Ь = 1,У с областью определения (»зи, Ьз) случайных координат уи, 2=1,Л!. По аналогии с одномерным случаем для „"формирования реализаций вектора 1) уа () 2=1,»тг на ЦВМ вырабатывается»)(+1 случайных чисел х„х„», равномерно распределенных в интервалах (аь Ь,), (а„Ь,), ..., (а„, Ьп), (О, и»„) соответственно, ГдЕ а»м — ЫаКСИМаЛЬНОЕ ЗкаЧЕНИЕ фуиКции Н»(у», ..., уи). 2В В качестве реалнзацнй случайного вектора !(уь!!й=1, )т', распределенного по закону а>(уь ..., ук), берутся реалнзацнн случайного вектора !!хд!!1=1, Ф, удовлетворяющие условию хи+, (ш (хи ..., хк) .

Реализации случайных чисел х„х, не удовзетворяющне этому условию, выбпасываются. Идея метода такая же, как н в одномерном случае (1.4), с той лишь разницей, что здесь нинтнруются случайные точки, равномерно распределенные не на плоскости под кривой ю(у) (см. рнс. 1.2), а в И+1-мерном объеме под !т'-мерной поверхностью та(уь ..., дк). 1.6. Моделирование случайных векторов в рамках корреляционной теории С практической точки зрения способы получения возможных значений составляюшнх случайного вектора в рамках корреляпнонной теории оказываются более приемлемыми, чеи в рамках многомерных распределений. Этн способы (первые) прнмсннмы в тех моделях, в которых достаточно обеспечнть лишь заданную матрнцу корреляцнонных моментов случайных векторов (нлн заданную коррсляцнонную функцню прн моделирования случайных процессов).

Значенне этих способов возрастает в связи со следующими обстоятельствами. Во-первых, нормальные случайные векторы н процессы, играющие очень важную роль в приложениях, однозначно задаются матрнцей корреляпнонных моментов, я„ следоватечьно, моделнрованне нх в рамках корреляцнонной теории равносильно моделированию по заданным многомерным распределениям. Во-вторых, ненормальные случайные векторы часто появляются в результате некоторых преобразованнй нормальных случайных векторов. Назовем такие ненормальные векторы квазинормальными.