Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике, страница 4

Наибольшие трудности встречаются прн моделировании тех радиосигналов и радиопомех, математические модели которых содержат либо множество случайных параметров, статистически зависимых между собой и заданных многомерным законом распределения вероятностей, либо случайные процессы, не являющиеся непосредственно заданными (случайные процессы "„(1) в выражении (1.1)ь либо то и другое. Дело в том, что получение эффективных алгоритмов для форл~ировання на ЦВМ выборочных значений статистически зависимых между собой случайных параметров, т. е. реализаций случайных векторов, и дискретных реализаций случайных процессов по их многомерным законам распределения является довольно сложной задачей. Дальнейшие же преобразования этих реализаций в соответствии с математическими моделями сигналов и помех, т.

е. согласно общей формуле (1.1), очевидны. Вопросы формирования на ЦВМ случайных векторов и, в частности, реализаций случайных процессов рассмотрены в $ 1.5 и 1.6. Основной материал по вопросам цифрового моделирования случайных процессов помещен во второй главе. 1.4. Моделирование случайных величин с заданным законом распределения Исходным материалом для формирования на ЦВМ случайных .величин с различными законами распределения служат равномерно распределенные в интервале 18 (0,1) случайные числа, которые вырабатываются иа ЦВй1 программным нли же физическим датчиком случайных чисел.

Существуют различные приемы преобразования случайных чисел с равномерным распределением в случайные числа с заданным законом распределения (1О, 231. Так, например, в качестве нормально распределенных случайных чисел можно использовать сумму нескольких независимых случайных чисел с равномерным распределением (приближение основано на цснтральной предельной теореме теории .вероятностей, в силу которой сумма независимых случайных величин прн весьма общих условиях имеет аснмптотичсски нормальное распределение). Рассмотрим сначала общие,прнемы получения случайных чисел с заданным законом распределения нз равномерно распределенных случайных чисел.

1. Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения Пусть гв(у) — - функция плотности, Иг(у) = ~ гв(х) Ж— функция распределения вероятностей случайной величины у, а В' '(х) -- функция, обратная функции %'(у). Тогда случайная величина у= В' †'(х) имеет заданный закон распределения щ(у), если случайная величина х равномерно распределена в интервале (0,1) (10).

Например, случайную величину с релсввски.и законом распределения, у которой функция плотности, функция распределения, среднее значение и дисперсия имеют соответственно вид и в(у).=+с "ч'", у~О; й" (у)=:1- — е, у~О (!.4) у/ 2 ч. о =),2 — 2)ч где о — параметр распределения, можно получить путем следующего преобразования равномерно распределенной в интервале (0,1! случайной величины х: у=с 1/ — 21п(1 — х)=ч ! — 21п х чя (переход от 1п(1 — х) к 1п х в последней формуле оскол' ван иа том, что случайные величины ! — х н х имеют -здесь одинаковые законы распределении). Аналогично случайную величину с показательным законом распределения, у которой 1а(у)=Хе 'и, у = О; (Р'(у)=1 — е "', у~О; 1 Л! ='я= Л ' (1.о) можно сформировать путем преобразования у= — — 1пх.

1 л Путем пр бр ' иии 1 Л Г 1Х у=Ьзшф — — ~+а, у=Ь16я1Лх — — )+а (1.6) можно сформировать сл>чайные числа, распределенные по зак«ну «ркс!ануа« и закону дага«соозвстственно: ш(у) =- «Ь Р'! — (и — «Р Ы (р' (у) = — агсзш:ь + —, 1 . И вЂ” и 1 и Ь 1 т„= а; и~ = Ь'/2; (1.7) 1 ь(1+ (д — иР7Ь1' 1 и — п 1 3 В'(У) = — атеей ь + —,; а!и=-а", и =со и Ь 2 ' ' и Используя свойство симметрии тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что закон распределения случайных величин у, формируемых согласно алгоритмам (1.6), не изменится, сели аргумент л(х — Чт) у тригонометрических функций заиенпть аргументом 2ях. К сожалению, не всегда существуют элементарные преобразования для получения случайных величин с заданным законом распределения из равномерно распределенных случайных чисел. В частности„у случайных величин с нормальным распределением функция, обратная функции распределения, не выражается в замкну- Ю том виде через элементарные функции.

В этих случаях для формирования случайных величйн с заданным распределением используются различные аппроксимации функции В' '(у) (10, 231 ?. Метод Неммана Для моделирования случайных величин, возможные значения которых не выходит за пределы некоторого ограниченного интервала (а, Ь) (случайные величины с усеченными законами распределения), а также случайных величин, законы распределении которых можно аппроксимировать усеченными, достаточно универсальным является метод 1!еймана (103), состоящий и следующем.

а Ф) Ю УУ.ЛР Д У Рис. кх Из датчика равномерно распределенных в интервале (О, 1) случайных чисел независимо выбираются пары чисел "хь "хм из которых формируются преобразованные пары "х*1 — — а+ (Ь вЂ” а) "хь "х*х=-гс„"хм где (а, Ь) — интервал возможных значений случайной величины у с задан' ной функцией плотности га(у); и„ вЂ” максимальное значение функции га(у). В качестве реализации случайной величины беРетса число "х*т нз тех паР хх~ь "х*„ длЯ которых выполняется неравенство "х"', < га ("х,). Пары, не удовлетворяющие неравенству (!.8),,выбрасываются. Нетрудно убедиться в справедливости такого метода моделирования случайных величин.

Действительно, пары случайных чисел х*ь х г можно рассматривать как координаты случайных точек плоскости, равномерно распределенных вдоль осей у и га(у) внутри прямоугольника оа'Ь'Ь (рис. 1.2). Пары х*ь х"'м удовлетворяющие усло- З1 вию (1:8), — это координаты случайных точек плоскости, равномерно распределенных вдоль осей у н ш(у) внутри той части прямоугольника аа'Ь'Ь, которая расположена под кривой ге(у). Вероятность того, что случайная точка плоскости, находящаяся под кривой ш(у), окажется в элементарной полосе с основанием (у, у+Ау), очевидно, пропорциональна гп(у), а вероятность попадания точки под кривую ю(у) по условию равна единице, что н требуется.

3. Метод кусочной аппроксимации Существуют различные приближенные приемы моделирования случайных величии: численное решение уравнения х=й'(у) относительно у при использовании метода нелинейного преобразования, обратного функции распределения; замена непрерывных распределений соответствующими дискретными распределениями, для которых можно указать достаточно простые моделирующие алгоритмы, и другие приемы [10, 23]. Среди них универсальным и наиболее простым является метод кусочной аппроксимации, предложенный Н. П.

Буслснко (11). Сущность этого метода состоит в следующем. Пусть требуется получить случайнучо величину р с функцией плотности ю(у). Предположим, что область возможных значений величины д ограничена интервалом (а, Ь) (неограниченное распределение можно приближенно заменить ограниченным). Разобьем интервал (а, Ь) на и достаточно малых интервалов (а , а +1), щ=О, и — 1, по=а, а„=Л, так, чтобы распределение заданной случайной величины в пределах этих интерва.чов можно было довольно точно аппроксимировать каким-нибудь простым распределенном, например равномерным, трапсцеидальным и т.

д. В дальпе(ппсм рассмотрим кусочную аппроксимации~ равномерным распределением (рпс. !.3). Пусть Р,„— вероятность попадания случайной величины у в каждый из интервалов (а, аиы). Получать реализации величины у с кусочно-равномерным распределением можно, очевидно, в соответствии со следующей схемой преобразования случайных чисел: 1) случайным образом с вероятностью Р выбирается интервал (а, а„гы); 2) формируетсн реализация ьйу,„случайной величины, равномерно распределенной в интерва- тз лс (О, а,„.л — и„,); 3) искомая реализация "у получается по формуле "у=а„, +",Лу„,. Случайный выбор интервала (а„„а„,+,) с вероятностью Р„, означает, по существу, моделирование дискретной случайной величины, принимающей и значений а,„, ш=О, и — 1, с вероятностью Р наждое, что можно сделать достаточно просто (11). Интервал (О, 1) разбивается на и интервалов (х„„х„ы), тп=О, л — 1, х„=О, х„=1, длиной х„,+,— х„,= Р„, каждый.

Из датчика случайных «Ф) аз авнт Рис. кз. равномерно распределенных в интервале (О. 11 чисел выбираетсн некоторая реализация "х. Путем последовательного сравнения "х с х„, определяется тот интервал (х, хе ы) „в котором оказывается "х, В основу этого процесса положен очевидный факт: вероятность попадания равномерно распределенной в интервале (О, 1) случайной величины в некоторый подынтервал (х„;,х .и) равна длине этого подынтервала. Рассмотренный вьппе процесс представлнет интерес не только как составной элемент метода кусочпой аппроксимации, он широко используется в качестве алгоритма длн моделирования дискретных случайных величин и случайных событий 110, Щ. Для моделирования случайных величин методом кусочной аппроксимации наиболее удобно при машинной реализации выбирать вероятности попадания во вес интервалы (а„„и„„,) одинаковыми (Р„,=1/и), а число и ганям, что и=2", где У вЂ” целое число, меньше или рав- яд ное количеству двоичных разрядов чисел, вырабатываемых датчиком случайных чисел (10, ~И1 ~В этом случае величины а», должны быть выбраны такими, чтобы " Ь+! га(д)Ид= — =2 О При равенстве вероятностей Р„, для случайного выбора индекса гл можно использовать первые йГ разрядов числа, извлекаемого из датчика равномерно распределенных случайных чисел.

Используя рассмотренный прием, приходим к слсдуюгдему способу преобразования равномерно распределенных случайных чисел в случайные числа с заданным за- коном распределения. Из датчика равномерно распределенных в интервале (О, 1) случайных чисел извлекается пара реализаций "хь "ха. ~ПеРвые йГ=!ойтл РазРЯдов числа "х, использУ= ются для нахождения адресов ячеек, в которых хранятся величины а,„н а,+н а затем по формуле "д=а„+ "ху(а +1 — и„,) получается реализация "д случайной величины д с заданным законом распределения. Такой алгоритм является довольно экономичным по количеству требуемых операций, которое ие зависит от числа п, т.