Вибрационное горение Раушенбах Б.В., страница 82

Получив по формулам (52.20) и (52.21) пары значений г н ти, нанесем их на график, приведенный на рпс. 112. Кривая 1 соответствует расчету по точной, а кривая 2 — расчету по приближенной методике. Как видно пз графика, обе границы устойчивости (штриховкой показана область неустойчивости) идут достаточно близко и поэтому допускаемое обычно упрощение надо считать вполне оправданным. В дальнейшем все результаты будут получаться по приближенной методике. Если вернуться к диаграмме на рис.

112 для того, чтобы понять основные свойства жидкостного реактивного двигателя как колебательной системы, в которой могут развиваться продольные акустические колебания, то 484 члстнывслгчлислмовозвгждкния ( .. х можно утверяздать, что при малых ~ (г < 0,5) самовозбуждение акустических колебаний вообще невозможно. Это связано с тем, что при малых г период индукции слабо зависит от давления. Наименьшим значением г, прн котором еще возможно самовозбуждение, является ~ =0,5. Проще всего в этом убедиться следующим образом. Воспользовавшись равенствами (52.23), найдем выражение для потока акустической энергии, излучаемой областью теплоподвода. При этом учтем, что и„=О по краевому условию, а температуры и давления газов по обе стороны фронта горения одинаковы.

Тогда, следуя формуле (19.7), можно написать Ах = 2 1э,эпю = ЛХ ((г — 1) — г сов юти) .Р,'о. (52. 25) Поскольку рассматривается самовозбуждение системы, пе имеющей потерь акустической энергии на концах трубы, границе устойчивости будет соответствовать А з —— О, самовозбуждению Аз > О, а гашению колебаний Аз < О.

Легко видеть, что стоящее в прямых скобках выражение отрицательно прн малых гз Чтобы сделать его прн заданном г наибольшим, надо взять такое т„, при котором соз юг= — 1. Тогда в прямых скобках будет 2г — 1. Указанное выражение обращается в нуль при г= 0,5. Таким образом, наименьшим значением г, при котором может быть выполнено условие Аз — — О, является г=0,5, пря г < 0,5 Аэ < О, т. е. самовозбуждение невозможно. Этот результат был получен сейчас не на основе численного примера, таким образом, утверждение, что при ~ < 0,5 колебательная система не может возбудиться ни при каких условиях, приобретает характер общей закономерности.

При г > 0,5 появляется область значений (г, т„), при которых колебательная система будет возбуждаться. Интервал значений т„, допускающих самовозбуждение, увеличивается по мере роста г. Таковы общие закономерности, которые следуют из выражения (52.25) и которые отображены на рис. 112. Чтобы сделать эту диаграмму еще более наглядной, приведем порядок величин г и т„, наблюдавшихся в опыте, колввлния в жидкостных двигатвлях 435 1 52! По данным, полученным в эксперименте Нрокко, Греем и Харджеьгх), величина г имеет порядок 1,3 —: ),7 (в зависимости от соотношения между количествами окислителя ~ горючего, поданных в камеру), а размерная величина периода индукции содержится в интервале 0,15 —: 0,22 миллисекунд. Поэтому реально наблгодавшиеся значения г Рис.

112. Область неустойчивости, полученная точным (1) и прнблххженным (2) методом. делают возбуждение продольных акустических колебаний вполне вероятным. Рассгнатриваеьгый тип акустических колебаний в некоторых пунктах принципиально отличается от изучавшегося в предыдущих главах возбуждения колебаний теплоподводом и поэтому представляется целесообразным построить для него диаграмму границ устойчивости наподобие тех, которые строились в гл. 1П и 15Г. Напишеьг равенства (52.23) в форме тг„= о„— М22„+ Мт, .Раа = 1Оха.

') Сгоссо Ь., Огеу 1., Нагг1)е В.Т., уе1Ргорн)- е1оп, 1958, № 12. 32 в. н. Раушенбах 486 ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ САМОВОЗВУЖДЕНИЯ [гл. Х При такой записи возмущение ттз может зависеть не только От Р,е, НО и От ттге. Возьмем скалярное произведение этих равенств друг на дРУга и Учтем. что птеРте=О, ггеРю — — О,потомУчто Рис. 113. Диаграмма границ устойчивости нри сановозбуждении вследствие возмуще- ния газообразоаання. в системе нет потерь акустической энергии.

Тогда величины Рг, и т бУдУт свЯзаны следУющим соотношением: Р1зтге = Р1о~ которое представлено графически на рис. 113 для (р, ~ =1 в виде вертикальной прямой х=1. Как видно из этой диаграммы, возбуждение системы становится возможным только тогда, когда проекция безразмерного возмущения газообразования ттз на ось х (на направление р1е) превышает абсолютнУю величинУ Рнг ПосколькУ пРи сделанных выше предположениях абсолютная величина таз прямо колввьгп!я в жидкостных двпг !Тв.!!!х !Ь'! $5х! пропорциональна абсолютной величине р„ !в = г (1 — е г'в) р„ (52.

26) то условия возбуждения зависят от пх относптольной величины и от фазового сдвига, т. е, в конечном итоге от г и та. Принципиальное отличие рассматриваемого случая от изучавшнхся ранее заключается в том, что вместо возмущения теплоподвода плп скорости распространения пламени здесь появляется возмущение газообразованпя. Поскольку газообразованпе, вообще говоря, не обязательно должно быть связано с теплоподводом (горением), то этот тнп возбуждения акустических колебаний мыслим в устройствах, в которых полностью исключено горение или теплоподвод, но в которых происходит газообразование (например, испарение сильно перегретой жидкости, которая впрыскивается в камеру с пониженным давлением), если, конечно, это газообразование будет тем пли иным образом зависеть от колебаний давления или скорости.

Надо сказать, что вместо построения приближенной границы устойчивости, изображенной на рис. 113 в виде вертикальной прямой, мол<но построить и точную, основываясь на уравнениях (52.10), а не (52.22). В этом случае, как и в гл. П1 и 1У, можно получить семейство окружностей, центры которых движутся [в зависимости от изменения взаимно связанных равенством (19.12) величин р„и в!„) по части дуги эллипса. Соответствующее построение приведено на рис.

113 для уже упоминавшегося численного примера. Все построенные окружности лежат справа от приближенной границы устойчивости и достаточно близко к ней. Таким образом, прямую х=1 на диаграмме рис. 113 можно рассматривать как приближенную конфигурацию границы устойчивости при произвольном положении зоны горения вдоль осп камеры сгорания двигателя. Прн этом расстояние между границей устойчивости и осью х равно коршо пз постояннои в правой части равенства (19.12), который совпадает с ~р, ~ в пучности давления (в построенном примере эта постоянная взята равной единице). 488 частныв слгчаи схмовозвгждкния [гл.

х Из рассмотрения диаграмм устойчивости становится очевидным, что система не может возбудиться, когда фронт горения будет располагаться в узле давления даже в том случае, если (например, под действием колебаний скорости) газообразованне будет иметь отличную от нуля колебательную составляющую. Это видно из того, что область неустойчивости не захватывает ни одного участка оси у; более подробный анализ показывает,что, например, при рш —— 0; из — — 1 окружность, соответствующая изображенной в правой части рис.

28, имеет мнимый радиус. После сделанных замечаний вернемся к обсуждению диаграммы, приведенной на рис. 112. На этой диаграмме даны не все области неустойчивости, а лишь одна из иих, соответствующая колебаниям основного тона и характеризуемая наименьшими значениями тв для этой гармоники. Следует, правда, напомнить, что само понятие гармоники может прилагаться к системе, в которой свойства Х переменны лишь с известными оговорками (подробнее об этом см. $27). Если условиться считать за собственные частоты системы те, которые получились бы при акустических колебаниях в той же камере сгорания и при том же потоке газа, ио без взаимодействия с зоной горения, то они определяются формулой (5.4) ю=(1 — М')Кя (К=1; 2; 3; ...). (52.27) В рассматриваемом случае такие частоты возникают при г =0,5 и сот„=дтп (Я=1, 3, 5, ...).

(52.28) Проще всего убедиться в этом, используя первое равенство (52.23). Вспомнив, что на границе устойчивости р = (ю, легко видеть, что при г = 0,5 и ют„, определяемых по соотношению (52.28), о„=О, так как краевое условие дает оы — — О.

Следовательно, в этом случае краевые условия можно записать в виде о =0 при $=0 и о.=О при $=1, т. е. сформулировать их для концов трубы так, чтобы между концевыми сечениями не было фронта горения (при $ = 0 краевое условие выражается теперь через о„а не о,). Полученная в $5 формула $52] колнвания в жидкостных двигатвлях 489 (52.27) выводилась в таком именно предположении — на концах трубы одинаковые узлы (оба давления или обе скорости), а между ними нет поверхностей разрыва. Впрочем, частоты, даваемые формулой (52.27), можно найти и непосредственно из соотношений, полученных в настоящем параграфе.

При вта, определяемых формулой (52.28) (ее можно рассматривать как следствие равенства (52.21) для 6= — 1 и г=0,5), величина мнимой части равенства (52.19) должна быть равной нулю. Этому соответствует с = О, илн, по формуле (52. 24), г 2 з1п 1 — м~ ю = О, что дает 1 — м~ ю =2Кя, т.

е. форе!улу 2 (52.27) ~ 1, а=Кя не является решением для нечетных Й, так как в этом случае знаменатель в выражении для с (52.24) обращается в нуль и с = со(. Следовательно, те частоты, которые обычно принято называть собственными частотами, возбуждаются лишь при вполне определенных г и т„. На рис. 112 этому соответствует всего одна точка границы устойчивости— та, для которой г= 0,5. Легко убедиться в том, что эта точка получается при К = 1 и М = 1 в формулах (52.