Вибрационное горение Раушенбах Б.В., страница 81

При дифференцировании по т учтем, что т„ является функцией т и поэтому дифференцирование второго слагаемого следует вести по правилу дифференцирования сложной функции, умножив производную от этого интеграла по выражению, взятому в качестве верхнего предела интегрирования, на производную от этого выражения по т. Итак: — (1+р)" т(т'= [1+ р(т)[" — [1+ р(т — та))" (1 — — "). Поскольку равенство (52.1) имеет в правой части постоянную, нолучепное выражение равно нулю. Отсюда ати легко находится— ат ~ 'т 1 [ 1+р(т) 1)-р(т — т,) л Второе слагаемое полученного равенства можно упростить, так как р « 1, а следовательно, и отклонения периода индукции от некоторого среднего за цикл значения т„ вследствие колебания давления относительно невелики. Это поаволяет написать, что ~ '+ ' 1'=-1+ [р-р(.—.)1.

~ 1+р (т — т„).3 колеБАниЯ в жидкостных двигАтелях 477 Здесь опущено обозначение аависимости р от т, а выражение р(т„) указывает лишь, что величина р берется в некоторый зюмент, предшествующий настоящему на величину среднего периода ш|дукцип т„. Таким образом, ~та —" = — г [р — р(т„)[. Ит (52.5) Найденное соотношение следует использовать при написании уравнений, связывающих возмущенные параметры течения слева и справа от поверхности разрыва Х, являющейся, как известно, идеаливированной неподвижной плоскостью теплоподвода. Чтобы написать свойства поверхности Х, используем зависимости, приведенные в гл.

Я. Из сказанного выше ясно, что в уравнениях, описывающих процесс горения в жидкостных реактивных двигателях, не следует пренебрегать колебанием подачи гааообразной массы в камеру сгорания, поскольку даже при постоянной подаче жидкого топлива сгорание (т. е. превращение в газ) может происходить с переменной скоростью. Пренебрегая объемом, занимаемым каплями топлива, можно считать, что моментом поступления массы в камеру сгорания является ьюмент перехода топлива в гавообразное состояние.

Поэтому напишем уравнения для области горения а в виде (15.5), не пренебрегая членом 6М". В рассматриваемом случае в уравнениях (15.5) можно сделать следующие упрощения. Будем считать, что в установившемся процессе температура газа как слева, так и справа от области а (рис. 111) одинакова, т. е. а, = а . Это связано с тем, что и слева и справа от о пространство камеры сгорания заполнено продуктами сгорания.

Кроме того, слева от а газ можно считать в среднем (в установившемся режиме) неподвижным и изоэнтропичным, т. е. полагать о, = О и',6 г, = О. Если учесть это, то, поделив первое уравнение (15.5) на о,о, второе Сочетание полученного равенства с найденным выра'жением (52.4) дает соотношение, могущее служить основой для формулирования свойств области теплоподвода: т=> [р — р(т )[. (52.6) 478 чАстные случАи сАмовозвуждения Ггл. х 1— 1— — о,+р,— г,= — о, + и, 2о, + ( М+ — ) р. — ЛХг, = у р, + й7 у„' =м( — 1) о'+2МаУз+2ЛХ'Р. (52. 7) Здесь д Г ре,а3Г ') Ео„'7)', У 1 дГ аа з 10 Реал, 'дЗ .1 2 60* Яа4 ' айва (52.8) ла аа Сравнивая систему (52.7) с полученной ранее системой (15.7), можно видеть значительное упрощение соотношений на Х для жидкостного реактивного двигателя по сравнению с соотношениями, справедливыми для горения движущихся газов.

Ряд упрощений связан с тем, что о,=О, другие — с постоянством параметров газа в установившемся режиме для всей камеры сгорания. Последнее, в частности, приводит к тому, что а,=-.ат, р,= — д,,; д Т, = Т„а зто в свою очередь дает — о Л'=- О и дС д д à — ) е(С.Т+7) Л" =О. Всл1ошну 7 можно положить разде ной нулю, так как вся газовая среда в камере состоит из продуктов сгорания (прн такой идеализации не на о,о,', а третье на рао.' и учтя, что оао,=М'", можно получйть следующую систему уравнений, записанных в принятых в настоящей книге безразмерных переменных: гзг колгвлнпя В жидкостных геиг1тв !Ях 429 уЧитывается наличке в камере сгорания газоооразных компонентов тоПлива).

Введем дальнешпее упрощающее допущение. Примем, что пространственное распределение горения не изменяется прп акустических колебаниях. Тогда У,,' = 0 п 7,' = О. Кроме того, учтем, что тепло, подводпмое непосредственно в зону о, однозначно связано с подводом массы (~а = ~м Ма илп (52.9) Тогда, исключая пз системы (52.7) зм можно получить свойства плоскости 2 в виде следующих двух равенств: 1— о 1- — р= — о+ — р — Мпг, 212 2 — 1 2,2 (52.10) Если добавить к нпм соотношение (52.6), причем полагать, что входящее в него р совпадает с р, (зто естественно, так как период индукции должен зависеть от параметров среды, через которую движутся капли топлива к области горения о), то число переменных в системе (52.10) можно буде~ свести к четырем.

Стоящая в правой части равенства (52.6) разность р — р(т„) может быть выражена (см. (4.13)) следующим образом: р — р (те) = р (1 — е "'). Окончательно форма записи свойств поверхности 2 для рассиатриваемого случая будет выглядеть так: 1 — — г 1 — бт!! 3 о + — р = — о + ! — — Мг (1 — е ") ~ р„ 2,Ц 2 1 ~~м (52.11) 480 члстные случли сАмовозвуждения Ол. х йТеперь необходимо задать два краевых условия. Одно из краевых условий получается сразу: у головки не может происходить колебаний скорости, т. е. (взяв начало отчета 4 на плоскости Х) (52.12) прн 5=5, С,=О. Чтобы сформулировать второе краевое условие, обратимся к рассмотрению характера течения у выходного сопла.

Если считать, что у двигателя «короткое» сопло, т. е. расстояние от сечения, соответствующего на рнс. 111 до критического сечения сопла (сечение ее) невелико по сравнению с длиной камеры сгорания ~5,~+$» (точнее, по сравнению с длиной стоячей волны возбужденных в камере сгорания колебаний), то в соответствии с проведенными выше для аналогичного случая рассуждениями (стр.

211) (52. 13) С,=О пр 5=5». Пусть теперь $,=0, а ч»=1, т. е. будем рассматривать горение, происходящее в непосредственной близости от головки. Тогда в равенствах (52.11) можно будет принять о,= 0 и путем несложных преобразований привести их к виду: о»о = (а, + а»»4 + а««ге л) Р»о (52 14) р = (а + аозг+ а»«ге Ь™) Р4« Здесь ૠ— некоторые постоянные, которые определяются в процессе преобразования равенств (52.11) к виду (52.14). Индексы пуль при переменных поставлены для того, чтобы подчеркнуть, что они соответствуют $ =О.

Полученные соотношения почти буквально совпадают с рассматривавшимися ранее равенствами (26.4). Учтя, что краевое условие (52.13) совпадает с краевым условием, использованным в 1 26, можно сразу, по аналогии с уравнением (26.5), написать следующее выражение, которое является характеристическим уравнением 1121 колквания в жидкостных двигатвлях 481 рассматриваемой задачи: (а,и+агат+а„ге ") ( 1+ехР 1 Мз~) + тзи 2 +(а„+а,зг+аззе ахи) (1 — ехр(,р)=0. (52.15) Отсюда следует: ге 'и= 2 г г (а(з+аззт) ( 1+ехр 1 зр )+(азз+амт) ( 1 — ехр 1 Мз р) ам (1+ехР Мз Р )+азз ( 1 — ехр 1 Л з() ) 2 2 =А(г, р)+(В(г, р).

(52.16) Здесь А и  — вещественная н мнимая части дроби, стоящей в средней части равенства. Будем искать границу устойчивости. Как известно, на границе устойчивости р= ие и, следовательно, г сов вти= А(г, ез), г з( и езти = — В (г, ю), (52.17) а„= — а,з, а,з = — азз Но тогда равенству (52 16) (при р=(ю) можно придать такой вид: т ехр ( — (еэт„) = «+ 5 + (с, (52.19) откуда находим т'= А'(т, в)+Вз(т, ез). (52.18) Задаваясь разными в, находим по уравнению (52.18) з, а затем по равенствам (52.17) ти.

Фактическое выполнение указанных олерацнй упрощается тем обстоятельством, что, как видно из системы (52.11), численные коэффициенты прн г и при зе З'и отличаются лишь знаками. Поэтому и относительно коэффициентов соответствующих слагаемых равенств (52.14) можно утверждать то же самое: 482 ЧАСТНЫВ СЛУЧАИ САМОВОЗВУЖДВНИЯ Па Х где азаз — аза4 аз-+ аз с= азаз — а124 аз+ аЗ 2 1 ( 12+ 22)+( 12 22)соз4 Аазв 2 аз=(азз+азз)+(азз а„) соз1 М,в, 2 аз = (а,з — а,з) ззп 1 гз в, — А 2 аз = (ав — а,з) ззп м, в. Переходя затем к уравнению типа (52.18), получим линейное относительно г соотношение Ьз+с' г=— 2Ь (52.20) Определив по формуле (52.20) величину г, сразу находим т„. Из сравнения мнимых н действительных частей равенства (52.19) следует: с Ь з(п вта = — —, соз втв = 1+ — .

(52.21) « ' г Для теоретического анализа высокочастотных колебаний в жидкостных реактивных двигателях систему уравнений (52.7), описывающую свойства области теплоподвода, обычно заменяют приближенной. Написав только первое уравнение, являющееся следствием закона сохранения потока массы, дополняют его двумя равенствами р,=р, и г,=г,=0, которые попользуются вместо второго и третьего уравнений (52.7). Физически зто связано с тем, что продукты сгорания в камере жидкостного реактивного двигателя имеют в основном одинаковую температуру по обе стороны фронта горения.

Это существенно отличает процесс в двигателях рассматриваемого типа от процессов в топках и других устройствах, в которых подвод тепла к потоку холодного газа, пересекающего фронт пламени, обычно происходит без заметного увеличения массы текущего газа. 1 оа1 колеВАния В жидкостных дВиГАтВлях 4ЯЗ Если принять это допущение, то вместо системы (52.7) можно будет написать такую: — О,-1-Р,= — О,+г(1 — е )Р,, (52.

22) Ра = Рг Равенства (52.14) приобретают весьма простой вид: — эаи Оао = оао+ М (и (1 е ) 11 Рао (52 2З) Рао = Рао а коэффициенты уравнения (52.19) можно записать сразу в явном виде: 2 аап 1 Ма оэ (52. 24) Ь= — 1; М(1+сои ~~, оа) Прежде чем идти дальше, оценим допустимость введенного здесь упрощения. С этой целью построим область неустойчивости для основного тона трубы по обеим методикам — точной и приближенноп. Для этого возьмем следующий численный пример: х = 1,2, ЛХ = 0,213, теплоккак творную способность топлива примем равной 2000— ко Следует заметить, что для приближенной методики знание теплотворной способности топлива излишне.