Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко., страница 137

Отражение ударных волн от твердой стенки. Используя приведенную в и. 1 систему соотношений на поверхности сильного разрыва, можно гюлучить явные выражения для параметров смеси за ударной волной, а также решить задачу об отражении ударной волны от твердой стенки в трехфазной гетерогенной среде типа 'горячие частицы -паровые оболочки †жидкос". Пусть в рассматриваемой области течения выполнены условия о о огрг . 1 озрз . дрд ' дрд 1б.2) Ударноге волны в аеидности с наеретыми твердыми насгттами 729 Перейдя к безразмерным параметрам Тзг'г Тзг'г 3 .1 Рг = —, Аг = —, В = —, Ф(Рг) = —— р~ аг Ь 2 Лго ро' ао' ао' з л ,/Т,,о (т„— Т„) ' рг ог В Рг = — )' = — д= —: Ро ' с. ' с.

' преобразуем систему (2.1) к виду с. Мо = — *, со 2 ро Ро с( = рг(с( — )гг), Р, — 1 = с(,, 1 /Рг 11 1 — оп з Рг — 1= — г ( — — — ), =ргАг, Мог ( огг ага) ' 1 — от В(1+ Ф(Р,)), Т, ) Топ Аг —— В, Т <Теп Из (2.2) следуют расчетныс формулы для параметров за скачком: ~2 — Р! 1 2 (Р 1) Р. Рг/ (2. 2) (2.3) В(1+ Ф(Рз)), Тз ) Т,з, Аз = В, Тз<Т,, ого ого + (1 — ого)А" (Мо'(Рг — Цого + 1) 1 ого + (1 — ош)Аз, з Р, Мо (Рг — 1)сего + 1 Устремив Рг к 1, найдем выражение для изотермической скорости звука 1, з Т, — Т ~~о сг',„М,'(Т о — Тго) + ЗС~(1 — ~т)(1 — В + Лг~ВггЛ~)Т,о ' о= —, где 1 теплота парообразования.

В качестве примера использования полученных соотношений на поверхности разрыва рассмотрим задачу об отражении ударной вол- ны от твердой стенки в жидкости с горячими твердыми частицами и паровыми оболочками. В рамках плоского одномерного движения ударная волна распро- страняется по невозмущенной среде со скоростью Р и отражается от абсолютно твердой стенки. За отраженной волной, распространяю- щейся со скоростью В, среда, как и перед падающей ударной волной, находится в состоянии покоя. Индексами О., 1, 2 обозначим параметры невозмущенного потока, среды за падающей и за отраженной удар- ными волнами. Тогда для отраженной волны получим следующую систему соотношений Рг(с(+ ('г) = Рос); Рз — Рг = Р,(с(+ Ю)сг, / Рг Рг Л 1 — сгп — з Рз Рг г ( / Р2А2 Мо спг сгп ' 1 — ого 1Гл.

С. И. Зоненко 730 В результате расчетные формулы для параметров смеси за отраженной волной примут вид Рг Р Рг Рг Рг аго а~о + (1 — аго) А~г(Мд (Рг — 1)аго + 1) + (1 — сгго)Аз. Рг Мо Ю вЂ” 1)аго + 1 В частности, из (2.3) можно определить скорость )гг, для которой уже было получено выражение из системы (2.2), Приравняв указанные выражения, придем к трансцендентному урав- нению для определения Рг = Рг(Рг) Это уравнение при заданных Рг решалось численно методом Нькгтона относительно неизвестного РгР . Проведено численное исследо— 1 ванне решений этого уравнения для разных исходных данных в широком диапазоне интенсивности падающей волны.

Установлены зависимости РгР, = /(Р„аго, В, Тш, Тз), свидетельствующие об относительном усилении ударных волн при их отражении от твердой стенки в жидкости с нагретыми твердыми частицами, и исследовано влияние определяющих параметров задачи на коэффициент отражения д = РгР, '. При исследовании влияния параметров смеси будем исходить из некоторого среднего состояния, относительно которого варьировались значения аго, В, Тш и Тз. В качестве такого состояния примем; ро = 1.0 бор, ргго = 960 ко/м, аш = 0.95, Тго=90 С 363 К, В=05, Тз=374 С 647К при следующих теплофизических параметрах воды и водяного пара: Лг = 0.68 Вт/(м.К), Лго = 0.0248 Вт/(м К), и = 0.0589 кг/с, Т„о —— 373 К, со — — 1550 м/с. На рис.

3 представлены ударные адиабаты для разных объемных содержаний жидкости аго. .0.8 (кривая 1), 0.9 (2), 0.95 (3), 0.99 (4) и 0.995 (5). Видно, что с уменьшением объемного содержания жидкости и, соответственно, с увеличением объемного содержания включений сжимаемость среды резко увеличивается. 10.2~ Ударные волны в жидкости с наеретыми твердыми частицами 731 1О' 10в О.ЗО ОЛ 0.90 0.9517-, 1.О Рис. 3 !0' Р, 1О' 10а 0.94 0.96 0.92 1/р~ 1.0 Рис. 4 Ре е Р~ 10' 1О' 10' Рис.

5 [Гл. 732 С. И. Зоненко На рис. 4 и 5 для фиксированных аш —— 0.95 и В = 0.5 приведены розультаты расчета при разных Тзо и Тз. на рис. 4 ударные адиабаты, на рис. 5 решения задачи об отражении ударной волны от твердой стенки. Прямая линия на рис. 5 изображает аналитическое решение задачи об отражении ударной волны от стенки для несжимаемой жидкости.

Кривые 1 — 6 отвечают таким значениям температур Тьз и Тз. 374К - 101'С, 405 К - 132' С, = 373К -100'С, = 371К -98'С, = 368К 95'С. Т Т 1 -- Т, 2 Тзо 3 — Тзо 4--- Тш о Тзо 6 Тзо Тз = 510 К 237' С, = 363К -90'С 647К - 374'С, 1058 К вЂ” 785' С, 1469К - 1196'С. Т = Т Т = 348К вЂ” 75'С, = 333К вЂ” 60'С, 3. Динамика отдельного включения в жидкости.

В п. 1 получены основные уравнения стационарного одномерного движения жидкости с твердыми частицами, окруженными паровыми оболочками и имеющими температуру, которая превышает температуру насьпцения пара несущей жидкости. Для замыкания системы (1.12) необходимо задать уравнения состояния фазы и определить интенсивности фазовых превращений, т.е, изучить процессы силового, массового и энергетического взаимодействия отдельного включения и жидкости. В этой связи рассмотрим задачу о динамике паровой оболочки около нагретой твердой частицы, помещенной в жидкость (полная постановка задачи н ее обсуждение приведены в [8]). Сравнение с результатами [1 Ц показывает, что при Тш - Т,о смесь рассматриваемого типа ведет себя как парожидкостная среда с пузырьками без твердых ядер, а при Тш — 30' С - . как жидкость с пузырьками нерастворимого газа [12).

Это проявляется в большом усилении ударных волн при малых Р, в случае Т,о - Т,о и в малом усилении в случае холодной жидкости. Такое поведение среды объясняется тем, что при Тзо Тзе влияние твердой частицы внутри паровой оболочки незначительно из-за малого относительного радиуса частицы или из-за се сравнительно низкой температуры.

В этом случае падающая волна столь сильно сжимает паровые прослойки, что отраженная волна распространяется с большой скоростью по среде с малым объемным содержанием паровой фазы. В случае холодной жидкости среда ведет себя при отражении как газожидкостная, потому что либо В - 1, либо частица нагрета настолько, что сжатие паровой фазы не может быть сильным. Согласно рис. 4 и 5, при больших интенсивностях падающей волны независимо от параметров Тш и Тз при выбранных значениях газо и В имеют место практически одинаковое сжатие смеси и отражение ударной волны. 1б.2) Ударнвге волны в аеидностаи с наеретлыми твердыми иасгаггиами 733 Основные уравнения этой задачи в сферической эйлеровой систе- ме координат т, Ь с началом в центре неподвижной твердой частицы имеют вид — + —, = О, рг11) = Крг1т, 1)Тг/т, 1), дрг 1 д(тгргог) дз тг дт ГдТг дТ,Л 1 д 7 гдТ,1 дрг сгрг ) — + иг — ) = —, — (Лгт — ) + =, Ь < т < аЯ, ) дс дт) тгдтз дт) Ж' г г т иг — — а юг, рг = сопз1, сзРг( +из ) = —,— (Лзт )., а1г) <т<ос, дТз 3Лгв /дТг1 31 сзрзЬ 1, дт /в' Здесь интексы 1, 2 и 3, как и в и.

1, относятся соответственно к пара- метрам жидкости, пара и твердых частиц. Приняв квазнравновесную схему фазового перехода на границе па- ровой оболочки с жидкостью, придем к соотношениям дТ~ дТг г' = а(1): Тг = Тг = Тмн 21 = Лг — — Лг —, дт дт' да — = юг + —, Ж рг' в которых / -- скорость фазового перехода, отнесенная к единице по- верхности 0 > О соответствует испарению). Уравнение Рэлея — Ламба для пульсаций пузырька в безграничной массе вязкой несжимаемой жидкости при наличии фазовых превраще- ний имеет вид ~7] аигг 3 г 2/ыг рг — рг — 2о/а 4 о а +гигг+ 4 — гог, сМ 2 рз рг а где о " коэффициент кинематической вязкости жидкости.

Уравнение для определения давления пара и соотношение, задаю- щее профиль скорости в паровом слое, следующие; е1рг 37югрга 3(у — 1)а ~/ дТг1 Ь / дТгЛ Я аз — Ьз аз Ьз ~( дт /„аг 1 дт /ь| ' сг . арг 7 =, Рг ", игг иг1а 1). сг — Л' е11 ' Начальные условия находятся из решения задачи о квазистацио- нарном распределении температуры около нагретого до температуры Тз > Т,о твердого шара, помещенного в жидкость: Т' = 1Тво — Тзе) — +Тго, из = О, т > а; (Гл. 734 С. И. Зоненко Рз = Ро, Рг = Ро+ 2ог«ао Здесь Тш и Т,.

- - температура жидкости вдали от твердого шара и температура насыщения при заданном давлении, ао и ро начальные значения радиуса паровой оболочки и давления жидкости. Начальные параметры связаны соотношением Т; — Т,о 3 Лз ао — Ь зтг зтг ;/Т.о (Т;о — Тзо) 2 Лго Ь Получающаяся в итоге замкнутая система уравнений имеет вид — — + сМ аз — Ьз аз — Ьз ~(, дт!и аг (, дт г«з дТг дТг (т — 1)7'„рг Ег + + дз дт ург дT« Ыа — = юз +— 42 Эта система должна решаться при граничных условиях т=Ь; Т2 =Уз, 52 =О; с=а(1); Тг =Тз =Тзг~ т — «оо: Тз =Тпь оз =О.

(3.2) Решение задачи (3.1) + (3.2) моделирует поведение системы нагретые «частицы — паровые оболочки — жидкость» за фронтом ударной волны. С использованием етого решения можно найти структуру ударной волны. Решение задачи о структуре стационарной ударной волны в жидкости с нагретыми твердыми частицами получено в следующем пункте. 4. Структура стационарных ударных волн в жидкости с нагретыми твердыми частицами. Если известно давление в несущей жидкости, то из системы уравнений (3.1) определяются распределения термодинамических параметров около отдельного включения в жидкости и значение скорости фазового перехода у в зависимости от времени й Так как система координат т, .1 микрозадачи движется относительно неподвижной эйлеровой системы координат стационарного одномерного движения рассматриваемой среды со скоростью о(т), 1 (т 3, 2уиз дт Л = — пз + дт е«рз 22 = л, (~~') (т — Цт, 1 д 7 2дтл (лгт — ), трг т" дт дт ) Тг «/ Т о + рг рз — 2ога 4 о (3 1) рз а 1 д / 2 дТ«'«юза тг дт дт ' тг ( дТг) ЙТз 3 ( дТг) 13.2) Ударные еолны е жидкости с наеретыми твердыми частмиами 735 то связь между временем 1 и координатой и имеет вид о Следовательно, каждому состоянии> среды в точке т соответствует определенное состояние изолированного включения в момент времени б Считая 2(1) представительной величиной в смысле [7) для скорости фазового перехода всех включений из элементарного объема с координатой т, примем для скорости фазового перехода стационарной задачи о структуре следующее соотношение: 20(в) = 2(1), где я и 1 координаты, связанные предыдущей формулой.

Лля замыкания системы 11.12) осредненных уравнений стационарного одномерного движения трехфазной гетерогенной среды с фазовыми превращениями необходимо задать условие совместного деформирования фаз,которым в данном случае является уравнение РэлеяЛамба. В отличие от п. 2 предположим, что несущая жидкость несжимаемая. Тогда осредненные характеристики одномерного движения рассматриваемой среды должны удовлетворять соотношениям (сззрз + Огзза)ю = (сззрз + сзгрг)000, пю = геоио, о о о о Р+ (сззР7 + огРа + сззрз)и = Ро + (озРз + сзгРг + сезРз)оио, 4 з 4 з сез + сег + сез = 1, Ог + сзз = — Япа, сзз = — ггпЬ 3 ' 3 дз аз Ьз с да ~з + о~ дх Р~ дип 3 г 27зоз рг — рз — 20)а и аи + — в+ — 4 — иы дз 2 1 Рз Ре а Ли) =2(1), .~ иЫ) Имея точное решение микрозадачи, значение истинной плотности пара Рг можно определять не из осредненного уравнения (1.11), а с помощью осреднения распределения плотности пара в паровой прослойке мо о 3ргрг(а,"Ь Тг) г Ь 1 гг ь Предположим, что вычисленная таким способом средняя плотность пара рог является представительной величиной так же, как скорость фазовых превращений 71 Уравнение (1.1Ц использовалось для контроля вычислений при расчете структуры ударной волны.