Механика жидкости и газа. Избранное. Под общей ред. А.Н. Крайко., страница 136

Существует два подхода к математическому описанию ударных волн в многофазных дисперсных средах. С одной стороны, предположив, что размеры включений и неоднородностей в смеси намного меньше расстояний, на которых микроскопические параметры смеси меняются существенно, можно искать функциональные зависимости для этих параметров в классе непрерывных решений системы дифференциальных уравнений, построенной в рамках представлений механики гетерогенных сред [7~.

Исследование микрополей физических параметров служит для определения межфазного взаимодействия и замыкания системы уравнений для осредненных характеристик. С помощью осредненных дифференциальных уравнений движения совокупности трех взаимопроникающих и взаимодействующих континуумов, заполняющих один и тот же объем, можно найти тонкую структуру ударной волны. Полная система уравнений, описывающая распространение одномерной стационарной ударной волны умеренной интенсивности в трехфазной гетерогенной среде типа "твердые частицы— паровые оболочки — жидкость', и результаты численного решения изложены в и.

4. С другой стороны, в ряде случаев нет необходимости определять структуру ударной волны. Если характерный линейный размер задачи намного превышает толщину самой ударной волны, то можно описывать ударную волну в многофазной смеси в рамках представлений механики сплошной среды как поверхность сильного разрыва параметров, разделяющую области непрерывного движения. Если пренебречь узкой по сравнению с характерным размером задачи зоной резкого изменения параметров, то значения параметров, характеризующих потоки перед и за поверхностью сильного разрыва, можно 724 С.

И. Зоненко (1.2) (1.4) Здесь р и р давление и плотность смеси, причем о о о Р = азрз + азрз + азрз' з аз+аз+аз = 1, аз+аз = — япа; 3 11.6) (1. 7) аз = — япЬ, Ь = сопз1. з 3 (1.8) Радиальная скорость движения границы паровой оболочки определяется соотношением аа — Юз + о. е2х ро (1.9) связать алгебраическими соотношениями. Эти соотношения позволят рассчитать параметры за ударной волной в зависимости от параметров перед ней и, например, интенсивности волны. Парожидкостнзя смесь с нагретыми частицами рассматривается как трехфазная гетерогенная среда с объемными содержания фаз аы аз, аз, ИСТИННЫМИ ПЛОТНОСТЯМИ Ры Рз, Рз, И ПРИВЕДЕННЫМИ ПЛОТНОС- о о о тями а2ры азро, аэро. Индексы 1, 2, 3 относятся к параметрам жидкой, паровой и твердой фаз, соответственно.

Отдельные включения в элементарной объеме смеси представляют собой сферические твердые частицы с радиусом Ь и окружающие их паровые оболочки с радиусом а. Паровые оболочки образуются на границе контакта горячих частиц и жидкости. Предполагается, что включения увлекаются несущим потоком и движутся со скоростью, .равной скорости движения несущей фазы о. Кроме радиусов а и Ь в каждом элементарной объеме смеси, а при осредненном описании для каждого значения продольной координаты одномерного движения, вводятся; удельное количество и, дисперсных частиц, радиальная скорость юз жидкости на границе с паровой оболочкой, скорость парообразования 2 на единице плошади межфазной поверхности. Основные уравнения, описывающие стационарное одномерное движение такой среды, следующие: уравнения неразрывности — (азр"о) = — 4япа у', (1.1) — (азрзп) = 4япа 7', о 2.

е1х о о Нх ~азрзо) О Рз сопе1 (1.3) уравнение сохранения числа частиц е1 — (по) = О дх и уравнение сохранения импульса смеси — (р+ ро ) = О. (1.О) 4х 1б.2) Удврные волны в лсиднвсти с нверетвсми твердыми частп1твми 725 Уравнение (1.3) с учетом (1.8) эквивалентно уравнению (1.4), которое можно записать в форме интеграла (1.11) Родд = Р1(дд — и ), р — ро = Роддог, 11ОТд = 111Я вЂ” ). Согласно (1.8) — (1.8) справедливы соотношения , о Рг = о1ер11+ сеггрг;+ сезерзо се11+ сег1+ озг = 1~ пи = сопзг.

(1.10) Еще два интеграла следуют из уравнений из (1.1), (1.2) и (1.5): (сегр +агр )о = сопз1, р+ ро = сопз1. о о ,г Из уравнений (1.2), (1.7) — (1.10) можно вывести закон, по которому должна изменяться плотность пара: дрг 3о . Рг о (2 о д Ргтг)' дя оз Ьз Ро Таким образом, осредненные уравнения стационарного одномерного движения рассматриваемой среды имеют вид (с11Р1 + огрг)и = (121Р1 + огрг)ООО, '11о = 21000, о о о о Р+ (о1Р1 + о2рг + слзрз)о — ро + (о1Р1 + с12рг + озрз)оно~ О О О 2 о о о г 4 з 4 з 111+ 112+ сез = 1, сея+ оз = — рпи сез = — раб 3 ' 3 (1.12) Р ди и — = и11 + дв, ро = сопзс, Ь = сопзФ, рв где индексом 0 отмечены параметры в начальном состоянии.

Для замыкания системы уравнений (1.12) необходимы уравнения состояния фаз и соотношения., определякгщие интенсивность фазовых переходов 1 на основе изучения микропроцессов динамического вза- имодействия фаз и тепломассообмена вокруг отдельного включения в жидкости. В этой связи в и. 3 рассматривается задача о динами- ке паровой оболочки около помещенной в жидкость нагретой твердой частицы.

В и. 4 с использованием результатов исследования микроза- дачи выведена полная система уравнений стационарного одномерного движения смеси и решена задача о структуре ударной волны в рас- сматриваемой среде. Исследуем распространение ударной волны по трехфазной среде в рамках описания алгебраическими соотношениями на поверхности сильного разрыва, не определяя структуру ударной волны. Рассмот- рим плоское одномерное течение и ударную волну, распространяющу- юся по невозмущенной среде со скоростью дд.

Законы сохранения массы, импульса и количества частиц имеют вид; 726 С. И. Зоненко з о з азх+гхз, = — оп,а., оз = — яп,Ь, 2 = О, 1 з *' з где индексами 0 и 1 отмечены параметры соответственно перед и за ударной волной. Уравнение состояния жидкости примем в виде; 2 О О Рх — Ро = согРхх Рхо) где со - скорость звука в жидкости.

Квазистационарное распределение температуры около нагретой до температуры Тз > Т„сферической частицы, помещенной в жидкость, в сферической системе координат с началом в центре частицы описывается соотношениями, которые получаются в результате интегрирования стационарного уравнения теплопроводности. Приняв, что Л, хгтТп пРидем к фоРмУлам Тг,хгт) = ~~~То — Т„) ( — — 1) + Тгн ~, Ь < т < а„ Тх (т) = 1Т,г — Тхо) — + Тхо, т > а,. т Здесь Тз и Тю — температуры твердых частиц и жидкости (предполагается, что они постоянны в рассматриваемой области течения), Тгн температура насыщения пара при давлении в паровой оболочке р; + 2аггап гт "- коэффициент поверхностного натяжения, а Тз;Ьх) и Т2,12) распределения температур в паровой оболочке и жидкости около отдельной частицы.

В квазистационарном состоянии должно выполняться соотношение 322 322 Тз — Т;, 3 Л а,— Ь .. Лм ~Тл отТ„(҄— Тго) 2 Лъ Ь ' ' Лзо Ц Т,о ' где Лх и Лз, коэффициенты теплопроводности жидкости и пара. Если предположить, что термодинамические параметры пара при Ь < т < а; связаны уравнением состояния совершенного газа, то по распределениям температуры и давление в паровой оболочке можно найти среднюю плотность пара О Зхр, + 2ага,)хе ха,~ЬгТ„, Тз) ох Ь Т Т х где Л ---.

газовая постоянная пара несущей жидкости. Формула для относительного радиуса Ах — — ах /ац паровых оболочек за ударной волной имеет вид: 1 ( 2 Лзо Тою — Тм ~В, Тз <Т„;. Ь Гт„ В= —, Л21 =Л20Ч о ' \/ Т.о' 16.2~ Ударные волны в ысидности с наеретвгыи твердвнни настилами 727 1.0 А, 0.75 0.50 0 1 2 Рис. 1 3 Лр, бар 900 750 500 250 0 70 80 90 Т, С 100 Рис. 2 На рис. 1 показаны зависимости относительного радиуса паровых оболочек А~ за ударной волной в воде с твердыми частицами радиуса Ь = 0.1 ылс от скачка давления слр = рз — ра при рв = 1 бар, начальном радиусе оа = 0.2 мы и разных температурах Тт и Тз.

Кривая 1 построена при Тза = 30' С, Тз — — 2000' С, 2 —. Тт — — 60' С, Тз = 12000'С, 3 Тзо = 96'С, Тз = 200'С и 4 -" Тзо = 995'С, Тз = 1200' С. Согласно ~3~, критическое давление -- это минимальное давление за ударной волной, при котором происходит схлопывание паровых оболочек около нагретых твердых частиц. В рамках модели, постро- 728 С. И. Зоненко енной в этом разделе, критическое давление удовлетворяет условию г з Т.

(Рд + 2 †) = Тз = (- †, дггТзо Яо — Тдо) + Тдо ) На рис. 2, представлены зависимости разности критического и на- чального давлений дзр = р, — ро для воды при ро = 1 бор и радиу- се частиц 0.1 мм от температуры воды Тдо для нескольких радиусов паровых оболочек в невозмущенном течении перед волной; 0.125 мм 1кривая 1), 0.15 мм окривел 2), 0.175 мм (кривая 3) и 0.2 мм (кривая 4). Заканчивая данный пункт, соберем необходимые для дальнейше- го соотношения, выполняюшиеся на поверхности сильного разрыва в течении трехфазной среды рассматриваемого типа, ро11 =М11 — е ), р -ро =ро11ед: р — ро=со1Р— р ), о о о о о о Рд = опрп + агдрю + агдргд + аздрзд ап + аю + азд = 1, ал + азд рд од з ) аго+азо ро (оо) ддзд рд азо Ро ( (' 2 Л, Тз1г Тзгг ад = 'д, 3 Лд,ддТ,д (Т,д — Тдо),l Ь, Тз <Тип рогд ярд -Ь 2а/од)1оо оЬ~)Е(Т д Тз од Ь) ргоо 1ро -Ь 2а/оо)(од — Ьз)И(Тдо, Тз, оо, Ь) Тогда, если известно давление за ударной волной рд, то из уравне- ний 11.14) получается замкнутая относительно ап, рд, род, ад, ед и Ю система соотношений Ро11 = Рд(11 - 'д), рд - ро = Рдв „ Рд Ро = со1рдд Рдо) о о о Рд = аддрдд 12.1) 2 Лго Тд~ — Т„д — — од = д, з Лд дУТ.о1Тд — Тдо)У 1 — адо ро оо Ь, Т <Тзп 2.