Основы теплопередачи Михеев М.А, Михеева И.М., страница 60

При стационарном режиме изменение количества теплоты, проходящего череа сечения х и х + с!х, определяевся теплоотдачей с боковой поверхности рассматриваемого элемента, поэтому — (Л1 — ) = а11Э. с! ! с!Э'д (а) б~ б) Имея в виду, что 1 = б! и б = 2х !й ф, и произведя дифференцирование, получим: с!оЭ 1 с!Э 1 а — + — — — — — Э = О. с!хз х с!х х Л!иф (б) Если ввести новую переменную г=- х, то уравнение (б) принимает вид: Л!и ~р ндЭ 1 с!Э 1 4=0. с)га г с)г г Общее решение уравнения (в) имеет вид: Э = Сд1о(2)' г) + СдКо(2)с г), (10-41) где 1, и Ко — иодифицированные функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка. Значения этих функций приведены в табл.

П.14, Окончательные интересующие нас расчетные формулы для Э, и сс очень сложны. Но если теплоотдачей с торца пренебречь, они несколько упрощаются. Приведением этик упрощенных формул здесь мы и ограни. чимся: (10-43) где 1, (2 рсг,) Кд (2 ) 'г,) — 1, (2 )с г,) К, (2 )с г,) 1о (2 ) гд) Кд (2 Угд) + 1д (2 Уго) Ко (2 Р'гд) При пользовании этими формулами теплоотдача с торца учитываетск увеличением высоты ребра иа половину толщины его торца.

Если ребро имеет не трапециевидное, а треугольное сечение, то расчетные формулы принимают вид: 1о (2 т' г) (10-45) ' 1.(2 )",)' 308 1о(2 Эгг) Кд (2 Уго) + 1д (2 У~и) Ко (2 Гсг) 1о (2 )' г,) Кд (2 )' г,) + 1д (2 ) 'г,) Ко ( р' г,) (10.42) где 1, и Кд — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода первого порядка; 1о (2)"го) Кд(2) го)+1д(2 т'го)Ко(2)' го).

1о (2)'гд) Кд(2)' г,)+1д (2)с го) Ко(Угд) 1бЭ д ссб,!Э, сс' = — Л1д ( ) (!0-44). (,с!х 1х х и' гд 12 ср 1 1е (2 Угг) (!0-46) аб,Э,! 1, (2 Угг) (10-47) )' г, 1Я <р 1, (2 Угг) 12 1П П П,2 ПД ПП ДП 1П Рис. 10-12. г' = 1(Эя(ЭП бг(бт)— вспомогательный график для расчета ребер трапециевидного н треугольного сечений. Рис. 10-13. Круглое ребро постоянного сечения. рактеристики относительной высоты ребра следует брать величину (т! )Гб, где Ь вЂ” высота, а 6 — средняя толщина ребра. В таком именно соотношении геометрические размеры входят в уравнения (10-39) и (10-40). Лля практических расчетов формулы (10-43) — (10-47) слишком сложны. Но при помощи вспомогательных кривых рис. 10-12 расчет передачи теплоты через прямые ребра и трапециевидного и треугольного сечений может быть значительно упрощен и сведен к расчету по формулам (10-39) и (10-40) для ребра прямоугольного сечения постоянной толщины.

В этом случае (1' = е'Р'д, (10-48) где (,)' — количество передаваемой теплоты в единицу времени; г' — поверхность охлаждения трапециевидного или треугольного ребра; д = Я)г' — плотность теплового потока для прямоугольного ребра, длина, высота и толп(ина которого равны длине, высоте и 309 Теоретически сужение ребра должно сопровождаться увеличением количества снимаемой теплоты. Однако, как показывают сравнительные расчеты, это справедливо лишь для относительно высоких ребер, когда определяющим является термическое сопротивление самого ребра. Для относительно низких ребер термическое сопротивление ребра невелико и определяющим является термическое сопротивление теплоотдачи.

В этом случае суженное сечение ребра оказывается хуже прямоугольного. При этом в качестве ха- Р 0 — 0„„-ла; (а) 0г = — 2пИг —; г)Э. (б) бг ЖЬ г(Э Л г,В Е =Е + — 'Лг= — 2пьйг — 2пдб ' — г) гч яг— бг /)Э ба бз = — 2пИ( — г+ — кйг+ — Лг); дг огз Иг 1г)зЭ ЫЭ Ог — фгч иг = б0 = 2плб 11 — гбг + — бг) . (г) ~б ° Но Ля можно выразить и чеРез коэффициент теплоотдачи, а именно: г(Ц = иэ 4цгбг.

00 Приравнивая друг другу правые части уравнений (г) и (д), произведя сокращение на 2пХбг Ыг, получаем: г)зЭ 1 ИЭ 2а — + — — — — э=о. ,(гз г бг та Если положить 2и/М = лг', тг = з и 1/г = т/з, тэ г(Э дЭ бзЭ г)зЭ вЂ” =гл — и — = шз — . дг Лз г)гз г)зз Подставляя эти значения в уравнение (е), окончательно имеем: бза 1 бз — + — — — э = о. (ж) г(зз г г)з Общее решение этого уравнения имеет вид: Э = Сд/е(з) +СзКе(з), (ю.4Э) где ге(з) и Кз(з) — модифицированные функции Бессели первого в второго рода нулевого порядка; С, и Сз — потоянные интегрирования, определяемые из граничных условий.

310 (в) (е) средней толщине суженного ребра; е' — поправочный коэффициент на суженность ребра; е' = / (бз/6„6,/6,), его значение определяется по кривым рис. 10-12. Здесь по оси абсцисс нанесено отношение температурных напоров б з/б „по оси ординат — значение и' = г/'/и = Я'/г': (',)/Р, а отношение 6,/6, выбрано в качестве параметра. Нижняя кривая на рисунке соответствует ребру постоянной толщины, 6,/6т = 1; верхняя — треугольному ребру, 6,/6, = О. Отношение да/ба определяется по формуле (10-39); теплоотдача с торца при этом учитывается путем увеличения высоты ребра й на половину толщины торца. 3.

Круглое ребро постоянной толщины. Круглые ребра применяются при оребрении труб. Уравнение передачи теплоты через такое ребро выводится следующим образом, Пусть имеется труба с круглым ребром постоянной толщины. Внутренний радиус ребра гт и внешний г„толщина 6 и коэффициент теплопроводности Х (рис. 10-13). Температуру окружающей среды условно принимаем равной нулю.

Температура ребра изменяется лишь в направлении радиуса 0 = / (г); заданы коэффициент теплоотдачи а н температуры 0, и 0 з в основании и на конце ребра соответственно. для элементарного кольца с радиусами г н г+з)г при стационарном ежиме можно написать: Если теплоотдачей с торца пренебречь, то расчетные формулы для Э, Э, и Я приобретают следующий вид: Э Ь, /о(тг) Кд (тг,) + 1д (тго) Ко (тг) д/о (тгй К, (гаго) + 1д (тго) Ко (тгд) ' (10-50) /о(тг,) К,(тго)+1,(тго) Ко(тг,) д/о (тгд) К, (тго) + 1, (тго) Ко (тг,) * Я = 2пгдМтздф (10-51) (10-52) где Е"=е-р-,, (10-53) где Я" — количество снимаемой теплоты; Р" — поверхность охлаждения круглого ребра; д) = (1/Р— количество теплоты, передаваемое в единицу времени единицей поверхности прямого ребра, толщина которого равна толщине круглого, а длина равна 1 м; з" — поправочный коэффициент, з" = /(бх/дд, »,/г,), и его значение находится по кривым на рис.

10-14. Здесь по оси абсцисс нанесено отношение температурных напоров б з/4) д для прямого ребра постоянной толщины, определяемое по уравнению (10-44), а по оси ординат — значение е" = д/" /д/ = Д"/Р": Я/Р. Отношение г,/г, выбрано в качестве параметра, верхняя предельная кривая соответствует прямому ребру»,/», = 1. Влияние сужения круглого ребра приближенно может быть оценено при помощи кривых на рис. 10-12.

Пример 10-3. Какое количество теплоты передается через железное ребро толщиной б = 5 мм, высотой й = 50 мм и длиной 1 = 1 м и каков температурный напор Ь, на конце ребра, если коэффициент теплопроводности железа Х = 50 Вт/(м 'С), коэффициент теплооодачи а, = ао = 10 Вт/(м'.'С) и избыточная температура в основании ребра Э, = 80'С.

Сначала произведем расчет по упрощенным формулам, пренебрегая теплоотдачей с торца. В этом случае т/д = 8,95 0,05 = 0,447. Из табл. П-13 находим: зь (0,447) = 0,461 с1д (0,447) = 1,10 и Ш (0,447) = 0,42. Далее согласно формуле (10-39) имеем: Эо = = 72,7'С 80 1,10 31! 1, (тго) К, (тгй — 1, (тгд) К, (тг,) 1о(тг,) Кд (тго) + 1, (тго) Ко (тгй ' При пользовании этими формулами теплоотдача с торца может быть учтена условным увеличением высоты ребра, т.

е. гз, на половину толщины торпа. Для относительно невысоких ребер теплоотдача торца имеет весьма существенное значение. Для технических целей методика расчета круглых ребер может быть значительно упрощена и при помощи кривых иа рис. 10-14 сводится к расчету прямого ребра постоянной толщины. В этом случае и согласно формуле (10-40): !е = 50 8,95 0,005 80 0,42 = 75,5 Вт.

Если расчет произвести по точным формулам (10-37) и (!0-38), то получим: 1 80 71,5'С; 1 !О ! .0,46 8,95.50 + 0,42 50 8 95 0 005 80 8,95 50 ! О 0,442 79 В ! + 10 .0,42 1 0095 8,95 50 Если же расчет произвести по формулам (10-39) и (10-40), а теплоотдачу с торца учесть путем условного увеличения высоты ребра на половину его толщины, то получим: /з=0,0525 м; т=8,95 м тИ = 8,95. 0,0525 = 0,47; сй (0,47) = 1,12; !Ь (0,47) = 0,44; 78 йу йд 80 Ээ = — = 1,12 07 гО/гЭ р иг иэ йд иб /а = 71,5'С н !) =!80 0,44 = 79 Вт.

Рис. 10-14. е" = э (Э,/Эд, .г,/г,)— вспомогательный график для расчета круглых ребер постоянного сечения. В последнем случае результаты расчета получаются такими же, как и при расчете по точным формулам (10-37) и (10-38). Пример10-4. Определить количество теплоты, снимаемое с прямого ребра трапециевидного сечения длиной 1 = 1 м, высотой П = 50 мм, 6 = 0,7 мм и бэ = 0,3 мм при коэффициенте теплоотдачи а = 20 Вт/(м' С)„ коэффициент теплопроводности материала ребра ь = 40 Вт/(м 'С) и Эх = = 80 С.

При расчете па формулам (10-43) и (10-44) получим: Э, = 18,0'С; Я' = 76,5 Вт и Я'/Р' = 763 Вт/м' (Р' = О,!003 мэ). При расчете по упрощенному методу соответствующее ребро прямоуголь- ного сечения должно иметь толщину 6 = 0,5 мм. Производя расчет для этого ребра по формулам (10-39) н (10-40), получаем: Ээ= 16,73'С; Я =70 Вт и д=Я/Р= 698 Вт/мз (Р= 0,1005 мэ).

Далее определяются Ээ !6,73 бз 0,3 — = — =- 0,21; — з = — ' = О, 43 Э, 80 бт 0,7 и из рис. 10-!2 значение поправочного коэффициента е' = 1,10. Используя формулу (10-48), имеем: Я' = а'Р'и = 1, 10 0,1003 698 = 76,5 Вт, т. е. в точности такое же количество теплоты, как и при расчете по формуле (! 0-44). 312 Прнмер 10-5. Рассчитать теплоотдачу круглого чугунного ребра постоянной толщины б = 3,6 мм; внутренний радиус ребра г! = 60 мм и наружный г, = 120 мм, коэффициент теплоотдачи а .= 30 Вт/(ма.'С), коэффициент теплопроводности чугуна Х = 30 Вт/(м 'С), Эз = 80'С. При расчете по формулам (10-51) н (10-52) с учетом теплоотдачи с торца имеем." Эз = 30,4'С и !'.!а = 89,5 Вт. При расчете по упрощенному методу получим: условная высота прямого ребра й = (га — г,)+б/2 = 0,0618 и; па = 23,6; пай = 1,46, сй (1,46) = = 2,269; 15 (1,46) = 0,8977.

Далее, по формулам (10-39) и (10-40) Э /Э! = = 0,44 и !7 = 183,4 Вт. Поверхность прямого ребра прн 1 = 1 м равна Р = 0,1236 ма. Следовательно, д = !3/Р = 1480 Вт/м'. Иэ рис. 10-14 при Эа/Э, = 0,44 и га/г! — — 2 находим е" = 0,855, и так как Р" = 0,0706 и', то, йодставляя полученные значения в формулу (10-53), окончательно имеем: 1)" = а"Р"д = 0,855Х Х0,0706.1480 = 89,5 Вт, г.

е. то же значение, что н по формуле (10-52). 11 Заказ № ! !77 ПРИЛОЖЕН ИЯ Ниже приведены материалы справочного характера — таблицы физических свойств, значения некоторых функций и расчетных величин, необходимых для расчета теплообмена. Перевод физических величин из одних единиц измерения в другие Сила Давление Работа Энергия 1 ккал/(кг 'С) = 4,1868 кДж/(кг.'С) 1 кгс с/мз = 9,81 Н с/мз 1 икал/(м.ч.'С) = 1,163 Вт/(м 'С) ! ккал/(мз.ч 'С) = 1,163 Вт/(мз С) 1 ккал/(м ч Кч) = 1,163 Вт/(мз.Кч) Перевод некоторых физических величин из британской системы единиц измерения в другие Длина Площадь Объем Масса 314 Количество теплоты Тепловой поток Плотность теплового потока Энтальпия, теплота фазового перехода Теплоемкость Динамический коэффициент вязкости Коэффициент теплопроводности Коэффициент теплоотдачи (теплопередачи) Коэффициент излучения 1 кгс = 9,80665 Н; 1 Н=10ьдин 1 кгсlсмз = 98066,5 Н/мз; 1 кгс/см' = 736,5 мм рт.