Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н., страница 108

При более углубленном исследовании проблемы необходимо проводить более содержательную обработку результатов. Это касается, в частности, анализа напряжений. Это предполагает вычисление компонент тензора напряжений, которые (см. п.2.6) имеют следующий безразмерный вид до (1+ 2к) — + — — Ои, дх! дх2 до~ дог — + (1 + к) — — 6и.

дх~ дхг оп = о22— а также расчет по ним некоторых обобщенных характеристик (например, интенсивности деформаций сдвигов). как и при расчете температуры, лля обращения сеточных самосопряженных эллиптических операторов используется подпрограмма ЯОЕТЕ1, описанная в п. 13.1. 13.5. Термоупругие напряясения в теле прямоуюльною сечения 739 1.0 хз 0.5 0.5 0.5 1.0 О. 00 Х~ а 0.0 О.

.5 1.0 Ь и (х) 0.0 0.0 0.5 1.0 я~ с Рис. 13.21 Исследовалась зависимость скорости сходимости итерационного процесса от параметров задачи. Для основного варианта, текст программы лля которого приведен, большой интерес представляет оптимальный выбор итерационного параметра т. Прн т = 0,5 для достижения искомой точности требуется 374 итерации, при т = 0,65 — 287, при т = 0,7 — уже 266, а при т = 0,75 наш метод простой итерации не сходится. На рис. 13.2! представлены результаты решения задачи на сетке 51 х 51 для основного варианта с В1 = 1О, к = О,бб и С = 1.

На рис. 13.21а изображены изотермы и(я,г) = сопзг через равные интервалы би = сопя! (пипи = 1,2519 р3 з). Здесь графически отображены соответствующие смещения точек границы области за счет термоупругих деформаций. Изолинии смещений по отдельным координатам 740 Глава 13. Примеры численного моделирования 1.0 1.0 "з 0.5 0.0 0.0 0000 0.5 я Ь о 1к) 1.0 0.5 000 0 х, с Рис. 13.22 (бо~ — — сопзГ, гпахо~ = 7,5934 10 ~, бог — — сопзг, шах из = 1>9296 1О ') имею'ся на рис. 13.21Ь и рис.

13.21с соответственно. Влияние внешнего охлаждения иллюстрируется данными рис. 13.22 ирис.13.23.Длярис.13.22 В1=1,инва=29694.10 ', шахи=1,8618 1О ', шах оз = 1,6368 . 1О ', а для рис. 13.23 В1 = 1,ш1о и = 1,5174 10 ', шах о, = 6,2832 . 10 ', шах оз — — 1,9767 10 '. 18.5.6. Задачи Задача 1. Проведите исследование термоупругих деформаций при изменении следуюгцих вычислительных параметров: (а) числа узлов по пространственным переменным; (б) относительной точности итерационного процесса е.

741 13.6. Расчет териостата о, (х) 1.0 1.0 хг 0.5 0.5 0.0 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 Х~ х, в ь 1.0 0.5 0.0 0.0 0.5 1.0 х) с Рис. 13.23 Задача 2. Исследуйте влияние на процесс деформациис (а) высоты 1з, (б) коэффициента Пуассона и (безразмерного параметра н); (в) внешнего охлалсденин (числа Био).

13.6. Расчет термостата 13.6.1. Постановка задачи Рассматривается задача расчета величин точечных источников тепла в стационарном режиме для поддержания заданной номинальной температуры в объекте термостатирования. Это модельная задача управления 742 йзава 13. Примеры численного моделирования м Ьиж~ о„б(х — я«), хбй, «=! где б(х) — двумерная б-функция, а д У' дв~ Ьи = — ~~~ — ~Ф(х) — ) дх. '1, дх«,7' «=1 с кусочно постоянным коэффициентом теплопроводности й(х). С учетом симметрии на левой границе расчетной области имеем дв ге — =О, хЕГ, дх~ где Г = (х ! х б дй, х~ = О). С окружаюгцей средой осуществляется конвективный теплообмен, который моделируется граничным условием третьего рода (3) ди + о(и ие) дп (4) х Е дй~Г, источниками в стационарных задачах теплопроводности, общему рассмотрению вычислительных алгоритмов решения которой посвящен п.

11.2. х Общая компоновочная схема тер- 5 мостата изображена на рис. 13.24, где показана половина сечения термостата. Объект термостатирования 2 помещен в камеру 3. В корпусе термостата 2 1 расположены источники телла 4, сам термастат находится в среде 5 с некото- 1 рой заданной температурой.

Требуется О рассчитать мощность тепловых источ- ников, которые обеспечивают с необхоРие. 13.24 димой точностью номинальную температуру внутри объекта термостатирования. Для простоты считаем корпус термостата, объект термостатирования однородными, а источники телла точечными. Обозначим через й прямоугольник й=(х)х=(хлхз), О<х <1«, а=!,2).

Через йр,,д = 1, 2, 3 обозначим часть й, которая соответствует корпусу термостата, объекту термостатирования и части камеры термостата соответственно, так что й = й~ ц йз 0 йз. Теплофизические характеристики в этих частях расчетной области предполагаются постоянными.

Обозначим через я„, а = 1, 2,..., М заданные точки расположения источников тепла, а через ч — вектор управления с компонентами о„ а = 1,2,...,М (локальные тепловые источники). Стационарное поле термостата (состояние системы) определяется уравнением теллолровод- ности 24З 13,6. Расчел! вермастяагяа где и, = сопаà — температура окружающей среды, п — внешняя нормаль, а а — коэффициент конвективного теплообмена. Между термостатируемым телом, камерой и корпусом предполагается идеальный контакт, и поэтому соответствуюшие однородные условия сопряжения специально не формулируются.

Наблюдение ведется за температурой в подобласти Пз, где она должна быть близка к некоторой постоянной номинальной температуре зз > и,. Функционал качества возьмем (более подробно см. и. 11.2) в виде (5) В (5) е — фиксированный параметр штрафа, который позволяет, в частности, ограничить величину управляюших источников тепла. Под решением задачи расчета термостата понимается вектор и, который доставляет минимум функционалу (5), т.е. (6) Прн необходимости накладываются необходимые дополнительные ограничения на допустимые управления типа е > О, а = 1, 2,..., Ы, При обезраэмеривании задачи (1) — (6) в качестве линейного размера возьмем 1м теплофизические свойства будем соотносить со свойствами корпуса термостата, а безразмерную температуру определим отношением (и — в,)/(р — в,).

Уравнение теплопроводности сохранит свой внд (1), (2), где хай„ хбг2м х Е Пь Граничное условие (4) в безразмерных переменных принимает вид ди гс — +В!и=О, хбдй~Г, (7) ди где В! — число Био. Аналогично переписывается функционал качества: Тем самым, поставленная задача оптимизации (1)-(3), (6)-(8) характеризуется размерами термостата, его камеры и объекта термостатирования, а также теплофизическими безразмерными параметрами йм йз и В1.

744 1!гала 13. Лримеры численного моделирования м Лу Л~~ оабг(х ~а)г (9) х Е иг, а=! где, например, для внутренних узлов сетки 2 Лу = — ~(аруя ),, р=! Через бь(х — Я,) обозначена сеточная б-функция! 1 б (х — яа) = !гг!г! О, х = 3„ хэе3.. Обозначим через аг! множество узлов сетки аг, лежащих внутри йз, и определим разностный функционал качества в виде и Хг(о) = ~~' (у(х;о) — 1) !!!о!+ —, ~~' о„. аеаг а=! (!0) Приходим к задаче конечномерной оптимизации (6), (! О) на решениях разностной задачи (9).

13.6.3. Алгоритм решения задачи Для решения полученной задачи (6), (9), (10) используем простейший подход с представлением состояния системы как линейной суперпозиции функций влияния отдельных источников (см. п. 11.2). Представим решение сеточной задачи (6) в виде м у(х) = ~~г вара(х) х Е йгг «=! а функции р,(х) определим из уравнений хЕй, а=1,2,,М, (12) Лра = Оь(х — х ), Ниже приведен текст подпрограммы Р11306, в которой формируются коэффициенты разностных уравнений функций ра(х). 13.6.2.

Равиоетиая задача В й вводится обычным образом прямоугольная равномерная сетка й с шагами Л! и Ь! по переменным х, и х! соответственно. Обозначим через Я ближайший к точке яа узел сетки, а = 1,2,...,М. Уравнению(1), (2) с учетом однородных граничных условий (3), (7) ставится в соответствие разностное уравнение 745 13,6. Расчет термастата ЯРВКОХХТ1Р!Е РРБ06 ( АО, А1, А2, Р ) 1МРЬ1С1Т КЕАЬеЗ ( А — Н, Π— У, ) КЕА1еЗ К! К2 Р1МЕЯБ10Н АО(Н1,Х2), А1(!т1,Х2), А2(Х!,М2), Р(Х1,Н2) СОММОг! / ТОб / Х11., Х12К, Х13К, Х!й„ Х2Ь, Х22Ь, Х22К, Х23К, Х2К, С2, СЗ, В1, Ф М1, Х2, Н1, Н2 СОММОг! / БО!ХКСЕ / Х1Б, Х2Б Н1 = (Х1К вЂ” Х1Ь) / (Х! — 1) Н2 = (Х2К вЂ” Х2Ь) / (Н2 — 1) Н12 = Н! / Н2 Н21 = Н2 / Н! Внутренние узлы РО 20 1 = 2, Х2-! Х2 = Х2Ь + (Х-1)'Н2 РО 10 1 = 2, Х1 — 1 Х! = Х11.

+ (1 — 1)'Н1 А1(1-1,Х) = Н21'К1(Х1-0.500'Н1,Х2) А1(1Х) = Н21'К1(Х1+0.5РО'Н1,Х2) А2(1,1-1) = Н12'К2(Х1,Х2 — 0.5130'Н2) А2(1„1) = Н!2'К2(Х1,Х2+0.5РО'Н2) АО(1,Х) = А1(1-1,Х) + А1(!,Х) + А2(1,Х вЂ” 1) + А2(1,Х) Р(1,Х) = О.РО 10 СОРУПХХХЕ 20 СОгХПг!ЦЕ ХБ = ! + ПЧТ ( (Х!Б — ХЬЬ)/Н1 ) ХБ = 1 +'!ХТ ( (Х2Б — Х21.)/Н2 ) Р(1Б,ХБ) = !РО Левая граница: краевое уеловие второго рода РО 30 Х = 2, М2-1 Х2 = Х2Ь .!" (Х 1)сН2 А2(1,Х вЂ” 1) = 0.5!30'Н12'К2(Х1Ь,Х2-0.500'Н2) А2(1,Х) = 0.500'Н12'К2(Х1Ь,Х2+0.5РО'Н2) АО(1,Х) = А1(1,Х) + А2(1,Х вЂ” 1) + А2(1,Х) Р(1,Х) = О.РО 30 СОгХП1Ч1!Е Ригвя 13.