Ильин, Позняк - Линейная алгебра, страница 5

Формулу (1.22) установим по индукции. Прн п = 2 эта формула проверяется элементарно (так как при и = 2 миноры элементов первого столбца имеют вид М, '= сев ~М! = аи, то прн и = 2 правая часть (1.22) совпадает с правой частью (1.10)). Предположим, что формула разложения по первому столбцу (1.22) верна для определителя порядка и — 1 н, опираясь на это, убедимся в справедливости втой формулы для определителя порядка и. С этой целью выделим в правой части формулы (1.12) для опре! делителя п-го порядка Л первое слагаемое апМ!, а в каждом из остальных слагаемых разложим минор (и — 1)-го порядка Мг ! по первому столбцу.

В результате формула (1.12) будет иметь вид 6=а!,М,'+ ~ ~ йоМ!~;', ! 2! т (1.23) М! = ( — 1)!! и+!апМ!!!т+ .. (1.24) ') Прн атон нннор М! Ереанонагаетея исключенным, где Ом — некоторые подлежащие определению коэффициенты. Для вычисления 8!! заметим, что минор М!!,' получается при разложения по первому столбцу только одного йз миноров (п — 1)-го порядка, отвечающих первой строке '), — минора М!, Запишем в разложении минора М,' (прн 1 ~ 2) по первому столбцу только то слагаемое, которое содержит мннор М!! (остальные не интересующие нас слагаемые обозначим многоточием).

Учитывая, что элемент а;! минора М,'- (при 1 ~ 2) стоит на пересечении (! — 1)-й строки и первого столбца этого минора, мы получим, что прн 1» 2 ОПРедвлители Вставляя (1.24) в правую часть (1.12) (из которой исключено первое слагаемое) н собирая коэффициент прн М~~, мы получим, что коэффициент В» в формуле (1.23) имеет вид В» =( — 1)~+/+1аца~ . (1.25) Остается доказать, что н правая часть (1,22) равна сумме, стоящей в правой части (1.23) с теми же самыми значениями (1.25) для В». Для этого в правой части (1.22) выделим первое слагаемое дпМь а в каждом нз остальных слагаемых разложим минор 1 (и — 1)-го порядка М1 по первой строке.

В результате правая часть (1.22) представится в виде суммы — 1 первого слагаемого ппМ~ и линейной комбинации с некоторыми коэффициентами В» миноров (и — 2)-го порядка М~~г, т. е. в виде л л апМ!+ Я ~.', О»М»1 (1,26) г-эг-а и нам остается вычислить множители О» н убедиться в справед- ливости для них формулы (1.25). Для этого заметим, что минор й(» получается в результате н разложения по первой строке только одного из миноров и — 1.го порядка, отвечающих первому столбцу, — минора М» Запишем в разложении минора М1(при 1 ~ 2) по первой строке только то слагаемое, которое содержит минор М» (остальные не интересу— и ющие нас слагаемые обозначим многоточием).

Учитывая, что эле- мент а» минора М(стоит на пересечении первой строки и (1 — 1)-го столбца этого минора, мы получим, что прн 1~2 М1 —— ( — 1)'+" ~ а»Мц'+... (1.27) Вставляя (1.27) в правую часть (1.22), из которой исключено первое слагаемое, и собирая коэффициент при М1,', мы получим, что О» в сумме (1.26) определяется той же самой формулой (1.25), что и в равенстве (1.23). Теорема 1.2 доказана.

2. Выражение определителя непосредственно через его эле- менты. Установим формулу, выражающую определитель и-го по- рядка непосредственно через его элементы (минуя миноры). Пусть каждое из чисел и,, а„..., а„принимает одно нз зна- чений 1, 2, ..., и, причем среди этих чисел нет совпадающих (в таком случае говорят, что числа сс„а„..., а„являются не- которой перестановкой чисел 1, 2, ..., и).

Образуем из чисел а„а„..., а„все возможные пары акх~ и будем говорить, что пара а;а~ образует б е с п о р я д о к, если а; > а~ при 1 < 1. Общее число беспорядков, образованных всеми парами, ко- торые можно составить из чисел а„а„..., а„обозначим сим- волом У (и„ам ..., а„), маТРИЦЫ И опрндеЛИТЕЛИ П'л, 1 С помощью метода индукции установим для определителя и-го порядка (1.11) следующую формулу: 1з = пе1 А = ~' ( — 1)" (сз' ' "' ' 'и) а„,1а,з... а„„„(1.28) аз,оэ, „.,оп (суммирование в этой формуле идет по всем возможным переста- новкам а„а„..., а„чисел 1, 2, ..., и; число этих переста- новок, очевидно, равно п)). В случае и = 2 формула (1.28) элементарно проверяется (в этом случае возможны только две перестановки 1, 2 и 2, 1, и, поскольку У (1, 2) = О, 11' (2, 1) = 1, формула (1.28) переходит в равенство (1.10)).

С целью проведения индукции предположим, что формула (1.28) при л > 2 справедлива для определителя порядка (л — 1). Тогда, записав разложение определителя л-го порядка (1,11) по первому столбцу *): и Ь = де1А= Я ( — 1)"'+'а„,1М1"', (1.29) в, 1 мы можем, в силу предположения индукции, представить каждый минор (л — 1)-го порядка М1"' в виде М1' = Е ( 1) ( з' '''' п)аа,з ° ° ° па и (1.30) аз, ап (суммирование идет по всем возможным перестановкам а„„„а„ (л — 1) чисел, в качестве которых берутся все натуральные числа от 1 до л, за исключением числа а1).

Так как из чисел а„а„„., ап, кроме пар, образованных из чисел а,...„ап, можно образовать еще только следующие пары а,а„а,а„..., а,ап, и поскольку среди чисел а„..., ап найдется ровно (а, — 1) чисел, меньших числа а„то Ф (а,, ам ..., ап) = )т' (а„..„а„) )- аз — 1. л (аэ,ап) аэ+1 м(пэ.о ...„ап) Отсюда вытекает,что( — 1) '"' " ( — 1) =( — 1) и, вставляя (1.30) в (1.29), мы в точности получим формулу (1.28). Тем самым вывод формулы (1.28) завершен. В заключение заметим, что в большинстве курсов линейной алгебры формула (1.28) положена в основу понятия определителя л-го порядка, 3.

Теорема Лапласа по). В этом пункте мы установим заме- чательную формулу, обобщающую формулу разложения определи- теля и-го порядка по какой-либо его строке. С этой целью введем в рассмотрение миноры матрицы и-го порядка (1.8) д в у х т и п о в. ') Индекс, по которому пронзводнтсв суммнровзнне, на этот раз нам удобно обозначить буквой а1. '") и. с лаплас — выдаэощнйсв французский астроном, математнк н фнзнк (1749 †18). ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 25 Пусть й — любой номер, меньший и, а 1м 1„..., 1» и 1„..., 1» — произвольные номера, удовлетворяющие условиям 1~1»<1Е< ° <1»<п 1~Ь<1»<" <1»~п.

с,с, , с» Миноры п е р в о г о типа МД1,... „являются определителями порядка й, соответствующими той матрице, которую образуют элементы матрицы (1.8), стоящие на пересечении й строк с номерами 1„1„..., 1» и й столбцов с номерами 1м 1м ..., 1». 19"' » Миноры в т о р о г о типа М1',1,...!» являются определителями порядка л — я, соответствующими той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания я строк с номерами 1„1„..., 1» и й столбцов с номерами 1„1„..., 1».

Миноры второго типа естественно назвать д о п о л н и т е л ьн ы м и по отношению к минорам первого типа. Теорема 1.3 !теорема Лапласа). При любом номере й, меньшем и, и при любых фиксированных номерах строк 1„1„... „., 1„таких, что 1 ~ 1, < 1, < .. < 1» ~ и, для определителя и-го порядки (1.11) справедлива формула с» = де! А = ~ ( — 1)" + ' "+'»+1'+ " '+'" х ~~ !» ° ° ° l» называемая разложением этого определителя п о я с т р о к а м 1„1м ..., 1». Суммирование в втой формуле идет по всем возможным значениям индексов 1'„1„..., 1ю удовлетворяющим условиям 1 ( 1, ( 1, ( ...

< 1» ~ и. Д о к а з а т е л ь с т в о, Прежде всего заметим, что формула (1,31) является обобщением уже доказанной нами формулы разложения определителя и-го порядка по о д н о й его строке с номером 1„в которую она переходит при я = 1 (при эзом минор Л(~", совпадает с элементом аппо а минор М,", — это введенный выше минор элемента а~о,). Таким образом, при я 1 формула (1.31) доказана.

Доказательство этой формулы для любого я, удовлетворяющего неравенствам 1 < й < и, проведем по индукции, т. е. предположим, что формула (1.31) справедлива для (я — 1) строк, и, опираясь на это, убедимся в справедливости формулы (1.31) для й строк. Итак, пусть 1 < й < и и фиксированы какие угодно я строк матрицы (1,8) с номерами 1„1„..., 1», удовлетворяющими условию 1 ~ 1, < 1, < ...

( 1» ~ и. Тогда по предположению для (я — 1) строк с номерами 1„..„1», справедлива формула !)~~+ ° ° ° +~»„+У~+ ° ° ° +1~„ 11 у» -1 мдтрнцы н опрадклнталн (гл. > С этой целью заметим, что минор (л — Й)-го порядка М;, ... с получается в результате разложения по строке с номером 1» только следующих и миноров (и — й+ 1)-го порядка: >а М>з,',", 1 (б„> ) **) (з = 1, 2..., л), (1. 34) нбо каждый нз остальных содержащих строку >, миноров (л— — А+ 1)-го порядка не содержит всех строк н всех столбцов — гс...га минора М) ..., . В разложении каждого минора (1.34) по строке матрицы (1.8) с номером (а выпишем только то слагаемое, которое содержит — сс ...