rtc_uch_08 (Методы с сайта), страница 2

О l' агКА — 3' агКА (4.8) Рис. 4.2 (4.9) 2 2 Р12= О ~ О О= .я .ао = а О ехр +~ — + агсз1п— ®о =а е~~'Ро. (4.6) Рис. 4.5 Рис. 4.4 1О Рис. 4.3 б) ао < ао. Тогда СЧ образуют комплексно-сопряженную пару Диаграмма СЧ представлена на рис. 4.4. Соотношение между а О и ао количественно характеризуется доброт- О постыл пары полюсов д Π—— 2, а О 2аО цепи с такими СЧ принято называть колебательными. Собственная реакция в данном случае является суммой двух комплексно-сопряженных затухающих экспонент: ' Ь (~) =А е Р1'+А е Р1 (4.7) где А и А — комплексно-сопряжепные амплитуды экспонент, причем Здесь ~ А ~ — модуль комплексной амплитуды А, а аги А — фаза комплексной амплитуды А.

Используя формулу Эйлера для суммы комплексно-сопряженных экспонент, получим 1~,(1)=2!А ) е 'о'сон(~/в~ — ао ~< агдА), откуда видно, что свободная реакция носит колебательный и зату- хающий характер (рис. 4.5). Особый интерес при анализе радиоэлектронных цепей представляет высокодобротный резонансный контур, для которого характерна диаграмма СЧ в виде комплексно-сопряженной пары с добротностью до > 5. В этом случае О1О> $0ао. При таком соотношении между ао и ао можно упростить выражение для координат полю- 11 (4.1 1) Рис. 4.6 Рис. 4.7 Т 3 шо юо Ж= — = — — — д То ао 2х 2ао о (4.

12) Рис. 4.8 сов (4.6), пренебрегая под корнем а по сравнению с а . В рег г о о. зультате получим к 1 Р1 г= — ао*Зшо=шоехр ~1 2+ . (4.10) до Диаграмма СЧ изображена на рис. 4.6, а соответствующая ей свободная реакция в~,(8) =2 ~ А ~ е о соз(шо 8+агдА) для д о — — 5 представлена на рис. 4.7. Из рисунка видно, что свободная реакция также носит затухающий колебательный характер, но интересно отметить, что период 2к этих колебаний То= определяется модулем полюса а, а длишо о тельность затухающего процесса можно условно оценить в 3 lа о — — Т, и значит, количество периодов за время Т равно Т.е.

для добротности до — — 5 мы увидим пять периодов колебаний в свободной реакции цепи. 4.2. Определение параметров реактивных элементов цепи После того как определены собственные частоты цепи р1 и рг и выявлена связь их положения на р-плоскости с параметрами элементов линейной цепи В 1, Л г, Ь, С в общем виде (см. п. 4 1), может возникнуть задача нахождения конкретных значений параметров элементов цепи, обеспечивающих заданное расположение СЧ на р-плоскости. По сути здесь рассматривается задача параметрического синтеза цепи. Поскольку в примере параметров цепи четыре, а полюсов только два, решение этой задачи неоднозначно, но если задаться численными значениями сопротивлений Л1 и Вг, то по известным значениям р ~ и р г можно однозначно найти параметры реактивных элементов Ь и С.

Рассмотрим методику нахождения параметров реактивностей на примере цепи, изображенной на рис. 2 1, при условии, что цепь должна обладать свойствами высокодобротного резонансного контура, имеющего заданную резонансную частоту ~о и добротность д о>5. Сначала определим методику оценки сопротивлений цепи Л1 и Вг. Во-первых, нужно выяснить из физических соображений, каким образом Л 1 и В г качественно влияют на добротность цепи. Для этого в схеме рис. 2.1 обнуляем внешние источники и получим цепь, изображенную на рис.

4.8. Далее начинаем поочередно изменять сопротивления, устремляя их к предельным значениям (к 0 и к ) и анализируя получающу- С вЂ” С 2 1 + 2 О 1 ЯОЛоао иоЛОЛ1 (4.16) 1 1~ 2чОЛОгоО (4. 17) Л1+Лг 2 л ЬСл1 (4. 13) 1, 1 > О, и(8)= О, 8<0, 0,5, 8=0. Л1+Лг г аосл1 (4.18) (4 15) 14 Далее начинаем поочередно изменять сопротивления, устремляя их к предельным значениям (к 0 и к ) и анализируя получающуюся в результате конфигурацию цепи. Так, если Л1~ О, то емкость С зашунтируется коротким замыканием, а контур исчезнет, поскольку останется только индуктивность Ь.

Если же Л1 ~, то схема перейдет в последовательный резонансный контур 1.СЛ2, где Л г характеризует потери в этом контуре. Для минимизации этих потерь, т.е. максимизации добротности, необходимо иметь Лг ~0, тогда цепь превратится в идеальный контур с бесконечной добротностью. Итак, для повышения добротности в данной линейной цепи нужно уменьшать Лг и увеличивать Л1.

Теперь понятно, что если есть некоторые пределы возможного выбора Л1 и Л г, то предпочтительнее взять Л1 как можно больше, а Лг — как можно мень- ше. Теперь составляем два уравнения для заданных ~о и до через Ь и С пРи выбРанных Л1 и Л г. РезонанснаЯ частота Уо свЯзана с гор модулем полюса ао соотношением ~о — — .

Вспоминая, что 2л' 2 1 2 ао — (см. (4.1)), получаем первое уравнение: ~~1 Второе уравнение вытекает иэ определения добротности полюсов го Л +Л Л,Л С+Ь О =2а О ЬСЛ1 ЬСЛ . (4.14) лг Здесь использовано то, что величина 2 а о —, + (см. (4.1)). СЛ 1 Выражая из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение для до, после алгебраических преобразований получим квадратное уравнение относительно С: где через Л О обозначено сопротивление Л1 ~ ~ Л2 Л1Л2 (Л1+Л2)' Решая это уравнение относительно С, получим два возможных значения емкости Отсюда, в частности, видно, что действительные значения С могут удовлетворять заданным ~О и до только при условии положительного числа поД коРнем, т.е.

пРи Л1>4дОЛО. В этом слУчае из г двух возможных значений С выбирают наиболее приемлемое с точки зрения номинала конденсатора, используемого в схеме. Подставляя выбранное значение С в выражение для Ь, получим необходимую величину индуктивности катушки, используемой в контуре. Теперь найденные параметры реактивностей Ь и С, а также выбранные значения Л 1 и Л 2 можно подставлять в ДУ «вход — выход» (2.5) и продолжить его решение, имея уже в нем численные коэффициенты.

4.3. Вынужденное решение ДУ «вход — выход» Наиболее распространенной формой воздействия в радиоэлектронных цепях является экспоненциальное воздействие. Примеры некоторых сигналов, описываемых с помощью экспоненциальных функций, приведены на рис. 4.9. Особенностью всех этих сигналов является то, что они имеют начало при ~=0. Математически это описывается с помощью единичной ступенчатой функции (функции Хэвисайда) То, что в число примеров вошли функции, описывающие затухающие колебания, и гармонические функции объясняется тем, что согласно формуле Эйлера созх=1/2(е~ +е ~ ). В данном посо- Рис. 4.10 ьв®=1 ье ~ и© (421) при этом сг ъ™ (С) = — рс'" е ~ с>0.

Ьв ' > (4.22) Рис. 4.9 (4.23) "2 ~1 2 Ь Р~о ЬСВ ~0' 1 (4.24) с '~ в (с) = 1'~ и (с). (4.19) Отсюда имеем (4. 25) 17 бии мы ограничимся рассмотрением экспоненциальных воздействий. Возвращаясь к нашему примеру (см. рис. 2.1), зададимся следующими воздействиями: е(С)=Е0и(С), с(8)=1 е ~'и(с). Основной принцип при нахождении вынужденной реакции состоит в том, что она ищется в той же форме, что и воздействие. Тогда, воспользовавшись методом наложения, найдем сначала парциальную вынужденную реакцию на е(с) при с(с) юО: "" Ьв(') " ' Ьв® Тогда „=0 и =0 при с > О. Подставляя все эти г данные в ДУ «вход — выход» (2.5), получим для 1>0 Н1+~ г ЬСЛ ~ ь ЬСВ Ео' 1 1 (4.20) Ео т.е.

1'~= . Заметим, что полученный результат совпадает Н1+Л г с реакцией рассматриваемой цепи при воздействии на нее постоянного напряжения Ео, поскольку в этом случае емкость эквива- лентна разрыву цепи, а индуктивность — короткому замыканию (рис. 4.10). Такое .нахождение вынужденной реакции при ступенчатом воздействии непосредственно по схеме можно использовать на практике вместо формального решения ДУ. Определим теперь вторую парциальную реакцию на с(с) при е(1) =0: Св() 2 -рс — ~' — =-Р Ю"„е ', 1>О. Ы1 Учитывая, что =- р10е, 1>0 и подставляя все эти высЕс(с) ас Ыс ражения в ДУ «вход — выход» (2.5), получим для с>0 2 „1 2 „1+Л2 СВ Ь ь ЬСВ 1 1 Нг Н1+сс г Ь ЬСЛ с Ь=~о Л 'Л Л -10Н1(-Р) 2 1 2 1+ 2 СЛ! Ь ЬСЛ1 Физическая трактовка этой довольно сложной формулы следующая.

Амплитуду вынужденной реакции можно найти по схеме цепи, если индуктивность заменить операторным сопротивлением р Ь при р= — р, а емкость — операторным сопротивлением 1/р С также при р= — р (рис. 4.11), считая источник тока с(1) постоянным и равным амплитуде экспоненты 10. Воспользовавшись уравнением сит от искомой реакции, то в данном случае также требуется найти Ы Сл (0) два начальных условия: Сл (0) и 1 1 Из рассмотрения схемы рис. 4.12 видно, что (4.31) где В +10Н1( Р) ЕО 1 2 (4.32) Ые® "~С(С) АСС сЮС . Поскольку е(С)=Е и(С), то =0 при С>0, а значит, и при С=О+. ИсИееЩ Ы Ус(С) пользовав уравнение для емкости С С(С) = С с, получим ЫС где (4.34) Н Ус(0) 1 .

= С С С,(0). Далее из закона Кирхгофа для токов имеем ЫС С С ~(О) = С ~ (0)+ С ~ (0). Отсюда окончательно получим г 1 Л,(0) 10 1 0 ЕО УЛ Л1С Л2С Л2С' 1 1 (4.29) 1 — В !А~= 2соз(агдА) ' (4.35) 4.5. Общая реакция линейной цепи Искомая реакция линейной цепи, называемая общей, находится суммированием ранее определенных свободной реакции С С, (С) (см. (4.11)) и вынужденной реакции С С (С) (см. (4.27)): В - Г+ сс 0 (1 с,Π— В ) 1ц ( агиА )— (4.36) С С (С) = С 1, (С) + С С (С) = 2 ~ А ~ е о ' соз ( оэ 0 С+ аги А ) + К + +10 Н1( — р) е ~', С > О. 1+ 2 (4.30) Недостающие для окончательного решения задачи неизвестные ~ А ~ и агдА находятся путем решения системы из двух уравнений, представляющих собой значения искомой реакции СС (С) и ее пер- 21 20 Ы вл (С) 1 Далее очевидно, что 1 ( ) сю С ь (С) вой производной 1 при С=О+, т.е.

зависимые начальные ус- ЫС ловия, найденные ранее: С~(0) =1СΠ— — 2 ~ А ~ соз(агдА)+В, Ы С (0) ЫС =й= — 2 ~А~ аОсоз(агцА) — 2 ~А~ озОзт(агцА)+Р, (4.33) Решение втой системы уравнений можно провести следующим образом. Сначала из (4.31) выразим Далее полученное выражение для ~ А ~ подставим в (4.33), в результате чего получим Определив агдА по (4.36), затем найдем ~ А ~ из (4.35).

Таким образом, полностью определена искомая реакция линейной цепи. 5. СИСТЕМНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ Частотный метод анализа линейных цепей заключается в том, что сначала в частотную область переводятся все функции времени, которые описывают токи и напряжения, действующие в цепи, в том числе воздействия х (С), т=1 ...,М и искомую реакцию у(С) (см. рис.