rtc_uch_08 (Методы с сайта)

МИЦИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (технический университет) Ю.В. КУЗНЕЦОВ, В.В. ГОЛОВАНОВ ВРЕМЕННОЙ И ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ Учебное пособие Утверждено на заседании редсовета 14 декабря 1998 г. Москва Издательство МАИ 1999 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рис. 1.1 1БВ1Ч 5 — 7035 — 2301 — Х Кузнецов Ю.В., Голованов В.В. Временной и частотный анализ линейных цепей: Учебное пособие.

— М.: Изд-во МАИ, 1999. — 40 с.: ил. Даются основные теоретические соотношения и методика составления и решения динамических уравнений, описывающих линейную цепь, а также рекомендации по использованию преобразования Лапласа для анализа линейных цепей. На примере анализа конкретной цепи показана методика выполнения расчетно-графической работы. Приведены указания по выполнению лабораторных работ в рамках темы «Частотные и временные характеристики линейных цепей». Для студентов радиотехнических специальностей, изучающих дисциплину «Радиотехнические цепи и сигналы».

Р е ц е н з е н т ы: В.Н. Скосырев, В.И. Лобов © Московский авиационный институт, 1999 Под анализом радиоэлектронной цепи понимается определение реакции у (~) цепи при заданном воздейстпвии (х1(~), х 2(1), ..., х~(~)), стпруктпуре цепи и ее начальном состоянии ( Х1(0), А2 (О), 111~(0) 1 (рис. 1.1). Реакция у (~) — это временная функция тока или напряжения на заданном участке цепи, называемом выходом.

Воздействиями являются внешние независимые источники тока и (или) напряжения, генерирующие заданные временные функции и подключаемые к определенным точкам цепи, которые называются входами. Стпруктура линейной цепи представляет собой совокупность соединенных между собой линейных элементов цепи, в качестве которых в данной расчетно-графической работе (РГР) используются сопротивления Л, индуктивности Ь и емкости С. Начальным соппоянием цепи является совокупность значений переменных состояния в нулевой момент времени Х.

(О), которыми в данном случае будут токи через индуктивности и напряжения на емкостях цепи. Решение задачи анализа радиоэлектронной цепи проводится различными методами, которые можно разделить на временные и частотные. Особенностью временных методов является то, что в про- цессе анализа все воздействия и реакции описываются функциями времени, а линейная цепь задается динамическими уравнениями, которые представляют собой математическую модель взаимодействия токов и напряжений в элементах цепи.

Здесь, будут рассмотрены методики составления динамических уравнений, связывающих временные функции воздействий и реакции, а также процедуры их решения, т.е. определения реакции в явном виде. Частотные методы анализа обязательно включают преобразование временных функций в частотную область х,(~) «=»Х,(р), при этом линейная цепь также описывается своим эквивалентом в области частоты, а найденная реакция требует обратного преобразования в функцию времени у(~) «=» У(р). В качестве частотного преобразования в данной РГР используется одностороннее преобразование Лапласа (ОПЛ), а линейная цепь характеризуется системными функциями Л,.(р), связывающими ОПЛ реакции У(р) с ОПЛ воздействий Х (р) и начальных состояний линейной цепи А (О) /р.

l 2. СОСТАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ Пусть задана цепь второго порядка, изображенная на рис. 2.1. Воздействиями являются источник напряжения е(1) и источник тока ~ (~), а искомой реакцией — ток через индуктивность ~ ~(~). Задано также начальное состояние: напряжение на емкости У~ ~ и ток через индуктивность»~(0)=1~0 в нулевой момент времени. Требуется составить дифференциальное уравнение (ДУ) «вход — выход» методом узловых напряжений. ~с(Ю) ~~ ~с(~) 1. Определяем опорный узел.

В принципе можно выбрать любой из четырех узлов схемы в качестве опорного, но для упрощения задачи анализа лучше взять узел, в котором сходится наибольшее число ветвей и (или) источников напряжения. В данном примере это узел О. 2. Выбираем узловые напряжения. Из трех оставшихся узлов только два могут быть выбраны для обозначения узловых напряжений. Это узлы 2 и 8, напряжения на которых относительно опорного узла обозначены 1'с (~) и К~ (~) соответственно. Напряжение узла 1 не обозначается в качестве узлового напряжения, поскольку оно известно и равно е(1). 3.

Записываем узловые уравнения, представляющие собой сумму токов, вытекающих из узлов, выбранных в п. 2, причем токи необходимо выразить через введенные узловые напряжения и внешние источники. Для узла 2 уравнение имеет вид ~с® '® "~с® ~с® ~ь® (2.1) Л1 2 Для узла 3 узловое уравнение запишется в виде ~ь® — ~с® 1 + — ~ К (т) с6 т+ в (О) — в (Х) =О.

2 о (2.2) ~с(') ~ь ® 'ь(') = д +'(') 2 (2.3) 4. Для получения ДУ «вход — выход» можно воспользоваться таким приемом: провести преобразование Лапласа над узловыми уравнениями, проделать алгебраические преобразования, а затем сделать обратное преобразование Лапласа, вернувшись во временную область к исходному ДУ «вход — выход». Но сначала нужно выразять искомую реакцию (выход) через узловые напряжения. В нашем примере Рис.

2.! Поскольку преобразование Лапласа используется в данном случае с целью получения ДУ, начальные условия можно принять равными нулю. В результате преобразования Лапласа получим систему алгебраических уравнений, решая которую с помощью правила Крамера, находим Рс(р) и ~~(р). Подставив их в соотношение для преобра- 5 И1+И2 И2 ЬСИ1 'Р Ь Ф) ~ си + 'Ф) 1 1ь (Р)— (2.4) 2 1 2 1 2 СИ Ь ЬСИ ~с(') ~с® +ю ь(8)-В (1) =О. И2 (3 1) 1 2фс(О И1 И2. ЬСИ Ь Ы1 ЬСИ 1 1 (2.5) (3.3) (3.4) зовапия Лапласа искомой реакции, после алгебраических преобра- зований найдем Умножив 1~ (р) на знаменатель этой функции и проведя обратное преобразование Лапласа, получим искомое ДУ «вход-выход». Ь() 1 2 Ь() 1 2 .

082 СИ1 Ь Ыс ЬСИ1 ЬЩ 3. СОСТАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ Составим ДУ «вход — выход» для цепи, приведенной на рис. 2.1, методом переменных состояния. 1. Вместо емкости вводим источник напряжения Кс(1), а индуктивность заменяем источником тока ~~(~). Эквивалентность такой замены базируется на известной теореме замещения. В результате получим эквивалентную схему, изображенную на рис.

3.1. 2. Любым известным методом находим ток ~с(1) через введенный источник напряжения 1'С(1) и напряжение Р~(1) на введенЙ1 (1) % (2) ном в п. 1 источнике тока ~ ~(1). Направления указанных токов и напряжений необходимо обозначить на схеме (см. рис. 3.1). Например, У (~) можно найти, записав закон Кирхгофа для токов, вытекающих из узла 2. При этом учтем, что напряжение узла 1 относительно опорного узла О равно напряжению источника Уса Теперь искомый ток ~с(~) можно определить как сумму токов, втекающих в узел 1 через И1 и И2. еЯ- 1'СИ) ~С(~)- ~'СИ) еЯ- ~С(1) 'с(1) — И + — +~(ц — а~В (3.2) 1 2 "1 В результате получим систему уравнений, которую принято записывать в упорядоченном виде: (1) =-И2с,(~)+ ~с®+И2~® ' сД=-ъ~(1) - — ъ'сй+ — е (ю)+ '(1).

1 1 И1 3. Учитывая связь между током и напряжением в емкости и индуктивности, заменяем в левой части системы уравнений Н Вь(1) Н Ус(8) У~ — — Ь и ~с(1)=С „. Разделив первое уравнение систеЫ1 мы на Ь, а второй на С, окончательно получим систему дифференциальных уравнений относительно переменных состояния и внешних воздействий в форме Коши: "'Ь® И2.

1 И2. ~ 'с®+Тес(~)+ 1 "~с® 1. 1 1 1. С'с® И С ~с®+ И С ®+ С'®. 1 1 4. Дальнейшее решение системы ДУ возможно в матричной форме. В нашем случае, когда требуется составить ДУ «вход — выход» относительно ~ ~(~), можно воспользоваться методом преобразования Лапласа, рассмотренным в рамках метода узловых напряжений. В результате получим систему алгебраических уравнений, ко- торую решаем по правилу Крамера. После алгебраических преобразований находим выражение 1~(р), которое в точности совпадает с аналогичным выражением (2.4), полученным методом узловых напряжений. Дальнейший переход к ДУ «вход — выход» проводится с помощью обратного преобразования Лапласа и дает идентичное ДУ второго порядка (2.5).

4. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ «ВХОД вЂ” ВЫХОД» ДУ «вход — выход» в неявном виде определяет связь между искомой реакцией и внешними воздействиями. Нахождение решения ДУ заключается в получении явного выражения реакции как функции времени. Для определения реакции необходимо задать внешние воздействия в виде функций времени, имеющих начало. Не ,для всякой функции времени можно найти решение в явном виде, но если воздействие является, например, односторонней экспонентой с началом в нулевой момент времени или суммой таких экспонент, то решение найти можно.

В качестве показателей этих экспонент можно испольэовать любые действительные и комплексные числа. Кроме того, для нахождения решения нужно знать начальное состояние цепи, например, независимые начальные условия, т.е. значения переменных состояния цепи в нулевой момент време- ни. Для конкретности вернемся к цепи, изображенной на рис. 2.1, и приступим к решению ДУ «вход — выход».

4.1. Свободное решение ДУ «вход — выход» Определение свободного решения 1 (1) проводится для однородного ДУ, которое получается из ДУ «вход — выход» путем обнуления внешних воздействий: е(1) =О и 1(1) =О. В результате получим Ы ъ,(1) Ы1,(1) г +2ао ~ +1оо'с~®=О (4.1) Р + 2 а о Р + 1о о = О. 2 г (4.2) Решениями составленного характеристического уравнения являются собственные частоты линейной цепи: Р12 О О ОО' 2 2 (4.3) В зависимости от соотношения между а О и аО получается пара собственных частот (СЧ), характерная для той или иной радиоэлектронной цепи: а) ао~а о. Собственные частоты являются действительными и отрицательными числами р1 и Рг.

Они изображаются крестиками на действительной оси комплексной р-плоскости (рис. 4.1, а). В случае равенства а Π— — а О собственные частоты вырождаются в одну кратную СЧ р= — а О (рис. 4.1, б). Рис. 4.! Цепи с такими СЧ принято называть апериодическими, поскольку свободное решение в этом случае представляет собой сумму двух затухающих экспонент (рис. 4.2) 1 (1) =А ер1 +В е1'л~, (4.4) где А и  — амплитуды экспонент, определяемые в процессе даль- нейшего решения ДУ «вход — выход». В случае кратных СЧ сво- бодное решение имеет вид (рис. 4.3) Решепйе однородного ДУ начинается с составления характеристического уравнения, получаемого из дифференциального заменой Л (4.5) 2. 2 1 2 "д' 2ао — Сд + у, ' гоо — усд 1 1 в 1~ (8) =А е 0 + В1е 0 и также является апериодическим.