Filtri1 (Методы с сайта), страница 5

4.1. Лучу Ы ш ~д, сь) ооответствует отрезок Он~О,Ж~т1. При таком преобразовании частотной оси справедливо неравенство я ~й)н- ~ь, где я„и аь — зал ьнп я, ' данные граничные частоты полосы пропускания и полосы заперживання. Очевидно при атом, что частотная характеристика аналогового прототипа оказывается более раотннутой, чем у дискретного фильтра, и к прототипу предъявляются менее жесткие требования. Перед тем как проводить расчеты, убедимся, 'что для частоты диокретизапни ) = ~/Т выполнено уолаеие ) >ЛД, где )' — граничнан частота полооы заде)вснвания, поскольку если оно не выполняетая, фильтр с заданными парамет1вмн построить нельзя.

Заметим также, что при проведении раочетов удобнее пользоватьоя не значенлями частот, а угловыми величинами: ~Юп Т гнп Т, ф= ЯяД Т п~~ Т Константа у" находится из условия получения требуемой полосы пропускания по формуле у" = сф"-а, а граничная частота полооы задер- 'Р 3 ' Я живания аналогового ФНЧ-прототйка рассчитывается как Я - ~"ф я . В результате получаем след)пнщие требования к ФНЧ-прототипу: ~„ь 1, йьн, а„л~(две последние величины берутся из исходных данных) . 36 О Й! С$ »' » % ъ е Ь !! Ф '» »Ит Ь' » ЮИ И! э И и ! и ИЙ И л »» ч '» :1 Ц И ! » И » 4„» ж! ° У ° » !и = »! Ч Й И -»!" И '» » » » й '+» Я ! Ю » » 9. ! м ЗИ иээ .и И» Ъ»И Э.

! 3 + » н » И! ! ИИ,„ ИИ Ъ» Я' ММ »! » » ИИ! эт з и у И ч! -!4 Е И И ° ' !! Ъ И »И » $~ь» $ й ь" » И 3» и 'й » » » ) а Зй 3 Л И И И ° ц и и! 4 М И ,» Ъ, е !г„ ,.!» П е 2. Полезно-п с й льт . Связь между частотами аналогового ФНЧ-прототипа и дискретного ППФ определяем в гра$е 3 табл. 4.1: ф -сэта!T !»»»в и! Т Гра!рэи, построенный на основе этой зависимости, приведен в табл. 4.1. Как и ранее, расчет начинаем с проверка величины частоты дискретизации! она должна удовлетворять условию ~ > ИДИ; затем переходим к угловым иеличинам: 'Р„и = а~„т, !р - И т, Ил,» - и!л, т, где пнз, и!„„,а~и,а4„заданы.

По Формулам табл. 4.1 гычиоляем конотанты у" и у . Палее раоочитызаем граничные частоты полосы задеркннанин аналоголого ФНЧ-прототипа; 7 - имя Ьи» Н ссзтэи Я ~" з»Йи Цэ» з У»м Ц„ Нз дэух полученных значений иыбираем соответатвулицее более жестким требозаниям 4Р = и»»и!и ! Йи', ! Я, ! ) ° н результате найдены параметри ФНЧ-прототипа: я, ил„, а, (две последние величины заданы). Сонерленно аналогично определяются требования к прототипу и при синтезе ФВЧ и )ИоФ. Выбор порядка прототипа и определение координат нулей и полюсов его передаточной Функсли производится точно так же, как и при синтезе анэлогоного !)лИльтра.

Руководствуясь оправочником ~Ц, определяем минимальный порядок, а затем ныпиоыиыем иэ нужной таблины спралочника нули и полюоы ФНЧ-прототипа (см. разд. 2.4). 4.1.3. Оп еле е кос ат ле и полысел системной нк ак тного ьт Для получения координат нулей и полюсов системной $ункпии дискретного Фильтра используютоя Формулы обобщенного билинейного преобразования, прнзеденные э гра4е 4 табл. 4.1.

Рассмотрим ос нотные особенности этого этапа на примере расчета ФВЧ н ППФ. П име 3. " ск тный ФВЧ. Для расчета координат нулей и полюсов заменяем )с на его выражение'чйрез х ! .х+~ ~ (Р (4.1) сР ду где Р = а<+Д) Предстания ьычиалвнные значения полосок ь показательной форне: Х„- У'„Е ~ ", 0<Г <У', -Дяа(п < Я' Поскольку нули аналагоього прототипа лежат на оаи у', нх надули в х-плоскости разны единице, цоэтоиу достаточно определить только углоные координати нулей: Ра- ~~"Ф вЂ”,". Полученние нули предатазии ь 4юрие ту'у(ь х, - е, -х < (Р, < л . Наличие знаиевателя»-у в 4юриуле (4.1) цриьодит к появлению дополнительных нулей Х= 1, количватьо затор(х равно разности между чиалои паласов и нулей в аналогоьои Ф((Ч-прототипе.

П иие 4. ск т й ППФ. Для нахождения полюсов дискретного ППФ ьоапользуеиая фориулой билинейного преобразоьзнияс х"- Рйх+М (4.3) Х вЂ” а где ~".и е — константы, определенные на предыдущеи этапе синтеза. Используя зту формулу, получим нолюаы диакретного ППФ: уг ((а.'-у'(а-у'а и /"- Рп где Р„= 6+ур ° Выражение (4.3) дает сразу дье пары полааоь, образующихая из одной пари подщаон анеяогОЬОГО ФНЧ-прототипа.

При иапользоьанзи этого ьырэження кажет ьозникнуть затруднение ь вичналенни корня из коиплеканого числа. Иэьеатно, что ~а уу -у а' у'(а (а ау<а уа (т~ ° Й<Д, где (Р = аУУ'(ж+/У) — Угол иеждУ ьектоРои а кооРцинатч(ии(ж,<УУ) и положятельныи направлением действительной оси, (й = 0,1. Так как перед корнея ь фар(ухе (4.3) уже атоят дьа знака (т), кожно положить Й= О, Рааачитанные значения полюаоь запишем в показательной форме: х - г„е, 0<гп<ха -д<()~„и й т/Суп Подули нулей ь х-плоскости рыены единице, а нх угловые коордилаты кожно определить как (д- агсц() х сьгеьф'( Таким, образом, каждый нуль ФВЧ-прототипа будет порождать дьа нуля дискретного ППФ. Коиплеканые значения нулей записываем ь показательной форме: м,- е, -Хщ Ж яХ. Обратим ьнииание на то, что ь фор<уле преобразоьания переменных (4.3) ь знаиенателе атоит выражение х~-т .

В результате этого на диаграиие нулей и полюаоь будут пояьлятьая дополнительные нули ь точках Х= 1 и х= -1. Количество таких пар равно разноати иежду числои полюсоь и нулей ь аналогоьои ФНЧ-прототипе. 4.1.4. Запись слатанной нк и ск т ого т Рааполагая координатаии нулей и полюаоь, запизщи сиатеиную функцию диакретного фильтоа: Л ( х - ха< ) л7~а-~ ) (4.4) Л сх Хпу) <*у где ууу и на- аоотьетатненно количеатьо нулей и полюаов (уж=уз ). Обычно формулу для К(») записывают ь виде, не содержащем коиплеканых ьеличин.

Пля этого попарно раскрывают акобки, аоответатьухщие комплексно-сопряжениям полюааи и пуляя: ( х-ха)(»-хр) хз — Яхеаг((У +1 хп)(х-хп) - х - 2г хесиц)п + 40 41 Рис. 4,1 Т) -б., Риа. 4.2 4.1Л. Ст т а тных льт оя Т) Задача построения структуры Фильтра по его системной пункции не имеет однозначного решения.

Можно постооить 4ильтр в ниде последояательного или параллельного соединения зяеньея первого и яторого порядка, можно использояать каноническую или прямую атрукту(и. Кроме того, возможны различные комбинации зтих яариантоя. Покажем некаторые из споаобоя построения структурной схемы на примере фильтра'пятого порядка. Запишем снстемную функцию я ниде произяедения трех дробей щ л 4'„фу 1 +Ф~Ф г г Х(») г »+Ак «+бг»+ Ам» +бщ»+ бгл и Рис. 4.3 - К (») Кг (») К~ (») (4.6) Произяедению анстемных шункций соотяетатяует последояательное яключение зяеньея, как наказано на рис. 4.1. Каждое зявно может быть реализояано я ниде прямой или канонической структуры. Дяа яарианта поатроения елена пеояого порядка ярияедены на рна.

4.2, а на рис. 4.3 показаны яарванты схем зяеньея второго порядка, 42 Риа. 4.4 В результате подучаетая яырежение следующего типа: П ( -«) )) («'-й«еи®е + т') П (»-»„г) П (»'-г.„л»ешЮ „",) г-у л у Здеаь я пвряые произяедвния числителя и знаменателя яключены нули и полюсы, лежащие на дейатянтельной оси. В частном случае они могут отаутатяояать, тогда тгг или п равны нулю. Вторые произяедения содержат сомножители, соотяетатяуюшие комплекано-сопряженным нулям и полюсам. Отметим, что ж+Ъмг=та и тт,,+угли= и, По найденной системной Функции КЪ) находится амплитудно-частотная характернатика, Лля зтого достаточно я 4ормулу (4.4) или (4.5) ямеато » подставить е и найти модуль полученного яыреже- УЮТ ния.

Если необходимо записать лЧХ я нормирояанном липе, полученное яыражение следует умножить на козф4ициент из траты 5 табл.4.1. Чиаленный раачет чаатотной характериатики аледует яыполнять а помощью имехщейая программы, исходными данными длн которой служат координаты нулей и полюсоя системной функции, записанные я полярной системе координат. По результатам расчетов следует прояерить яыполневие исходных требояаний и построить гра(ик )К()гс)!. Разбиение Жв) на сомножнтели можно провести несколькими опособвыи.

Полезное практическое правило заключается в объединении в одном звене наиболее близко расположенных нулей и полюсов, кек показано яа рва. 4.4. Если (4.6) представить в виде одной дроби, раскрыв все скобки, то можно прийти к выражению ах», +а,х +а х +а,в +а,я+а, з 4 л з я(х) хл «Ь,х'+Ю,» +6,в +6»+й, э 8 э Реализация такой системной функции показана на рис. 4.5. Она представляет собой каноническую отруктуру фильтра 5-го порядка, которая вклляает два сумматора и число элементов задержки, равное порядку фильтра. Л)це один возможный способ реелизации - параллельный. Чтобы получить зту структуру, нужно разложить системную функцию на оумму дробей, каждой из которых соответствует звено первого или второго порядка. В нашем примере вх будет три: Х(х) = )(., ~м) + Дл (л) + К'(х) .