(Фейнман) Лекции по гравитации, страница 58

Орбиты частиц в доие Швардшнльда х = Вз -+ (Ыз) = В (41)* — (4ш) (НВ), с использованием этого соотношения метрика легко может быть преобра- зована в метрику Минковского путем подстановки Эти результаты показывают, что пространство вблизи сингулярной точки ведет себя совершенно хорошо, так что сингулярность Шварцшильда есть особенность координат, которые мы определили. Пля того, чтобы свюать геодезические, проходюдие через точку т = 2гв, уравнение (15.1.4) подсказывает подстановку 2ю1 (из — ез) в / 1 х= (1 — — ~ = —, — =1апЬ| — ), (15.1.5) (4оз)з ' е ~, 4тл ) ' на языке хоординат и н о пространство и метрика являются глалкнмн с обеих сторон г = 2т.

Подобное преобразование использовалось Фуллером и Унлером (ги%Ъ 62] для того, чтобы получить пересечение промежутка, где имелась координатная особенность. Геодезические, правнлъно соепнняшиеся через значение г = 2тл, показывают, что частицы, падающие по направлению к гравитирующей массе, прн значениях координаты г меньлгвх, чем ее критическое значение 2ш, не отражаются в какое бы то нн было "новое" пространство ва другой стороне любой горловины, а сохраюпот свое падение по направлению к началу координат, Здесь нет противоречия с рвссмотревиями, которые привели к цредположеникм о кротовых норах.

Топология типа горловины получается путем разрезания пространства неким особым способом, если положим ог = О. Тем не менее, движение реальных частиц не происходит в пространстве, в котором й = О, н вет основания тому, почему топология надпространства ~Й = О должна бы соответствовать общему свойству четырехмерного пространства.

Тороидальный покчнк может быть вырезан из целого куска даже тогда, когда нет ничего тороидалъного у этого целого куска. Пля физических задач топология, которой мы интересуемся, касается геодезическюс, и здесь не существует времениподобных геодезических, которые бы проходили через кротовую нору. 16.2. Орбиты частиц в поле Шварцшильда Поучительно получить описание радиального движения частиц как функции собственного времени з. Как обычно для задач описания движения в поле дентралъных снл, движение цроисхолит в одной плоскости (мы выбираем ее таким образом, что д = к/2), н радиальное лвнжевие определяется двумя параметрами К и Х, связанными с полной энергией н угловым моментом, которые есть первые интегралы уравнения для времени 15.2. Орбиты частиц в попе Л)вврдппптъдв 267 и уравнения для угла„как слелует из слелуюшвх уравнений: уравнения геолезических с1 / сЬ"'1 1 дд я бхь АСС сиз ~ "" сЬ) 2 дх" сЬ бз ' (15.2.1) может быть тривиальным образом проинтегрирована, когда и = 3, 4 (ко- ординаты ~6, с), посколысу метрический танзер ке ззвйсит ат ф и 1, н, сле- довательно, правая часть уравнения (15.2.1) равна нулю.

Из этого условия определюотся следующие интегралы: К = (1 — 2тп/т) — ъ = т —. 44 ж эбф сЬ' сЬ' (15.2.2) Уравнение для описашш изменения радиальной координаты может быть получено, если мы положим сс = 1 в уравкешэи (15.2.1), ио это требует больше работы, чем это необходимо. Легче получить уравнение лля опи- сания изменения радиальной координаты из условия с(х" с(х" д„— — =1 "" сЬ сЬ (15.2.3) которое мозсет быть явным образом записано через велвчины 5 н К сле- дующвм абраэомс К ( ~)з — — ~ 1. (1 — 2т/т) (1 — 2ш/т) с1з/ тэ (15.2.4) Собственное время, соответствующее пролету частицы ат значения радсь- уса та до значения радиуса т ъ задается следующим соотношением: сЬ = / с1т (К вЂ” (1 — 2тп/г)(1+Х /т )) ..

(15.2.5) ~ -/"' сто Необходимо заметить, что более ие происхолит ничего ужасного при т = 2пс, подынтегральное выражекве ведет себя хорошо, нет никакой зацачи соединения траектории, проходящей через какой-либо промежуток (содержасций координатную особенность т = 2пз), Если бы мы сначала изучали орбитальные двюкення и не беспоковлись по поводу метрики, мы могла бы не заметить сивгулярности в координатах Шварцшильда и могли бы получить правильные ответы, просто исполъзуя соотношение (15.2.5).

Появление квадратного корня являетея повально обычным при рассмотрении орбитальных движений, в анализ поведения выразсения, стоящего под квадратным корнем, является вееъма важным. Интегрирование прекращается в том случае, если выражение, стоящее под квадратным корнем, становится отрицательным, мевъшие значения радиуса никогда не могут быть достигнуты частицами (движущимися по этим геодезическим).

Если угловой момент 1 достаточно велик, то квадратный корень становится мнимым прп значенни радвуеа большем, чем 2тп, и орбиты имеют такое же качественное поведение, что и в ньютоновском случае.' С другой стороны, если энергия и угловой момент являются такими, чта частица должна пересечь значение радиуса 2тц, то выражение, стоящее пад знаком квадратного корня, не должно стать отршштельвым при значениях радиальной координаты менъшвх, чем т = 2ш, и это означает то, что все частицы продолзсают свое падение к началу координат.

Фактически, как только частица оказалась внутри области т = 2тп, частицы с большим угловым моментом 5 падают быстрее, "центробежная сила" очевидно действует скорее как притяжение, чем как отталкивание. В этом месте я хочу упомянуть некоторые своеобразные результаты, которые получшотся, когда делается предположение, что поле Шварцшилъда соответствует эарязсенному объекту, на который смотрят с расстояния. Легко может быть показано, чта единственное изменение в метрике заключено в следующей замене (1 — 2пэ/т) -+ (1 — 2тп/т+9 /тз), (15.2.8) где д — всщвмый заряд. Когда такое вьсражевие подставлено в соответствующей ввтервал собственного времеви (15.2.5), квадратный корень неизбежно является манным для достаточно малых значений радиуса, так что частица никогда ве попадает в начало ююрдинат, а всегда отражается назад, Это отталкивание не обусловлено действием электрической силы между частицами, она является присушим этой метрике свойством, если мы настаиваем на том, что паля должны бы соответствовать таким полям, которые образует при болыпвх значениях радиуса т заряженная частвца, находящаяся в начале ююрдвнат.

Таким образом, зто отталкивание должны были бы чувствовать лаже нейтральные частицы, цэдаюшие в эарюкевный центр. Метрика, соответствующая заряженной массе и определяемая соотношением (15.2.б), очевидна имеет дее сингулярные точки. Представляет некоторый интерес изучить продолжение геодезическвх падающей частицы через эти две еингулярнаетв; не представляется немыслимым, что частица может вылететь наружу так, что отразсеннэя частица выходит нарузсу ранъше, чем она начала двигаться по направлению к такому объекту! Я предполагаю такую возможность, потому что очевидно, что падающей частице требуется бесконечное время для того, чтобы достичь первую особенность (с точюэ зрения внешнего наблюдателя), хотя целая траектория, входящая в данный объект и выходящая пз пего с точки зрения самой частицы, может занимать конечное время. сВ метрике Шварцпспльяэ полное решекяе задачи а сечения захвата частицы, обладающей прояэзаяънай скоростью на бесковечвастя, приведено в рабате (Зэка 88') (а абабшеяке этях соотношений на случай эарязсеяной черной дыры получена в рабате [ЕаЫс 94")).

(Прчса. пеуее.) Лекдня Ы 268 269 еская падающей 2 Масса внутри = (Константа) — —. 2г' Действительный мир содержится здесь (15.3.1) 15.3. О будупзем геометродииаыики Ллительвые обсуждения, которые мы проводили по исследоваввю решений Шваршпнльда, являются симптомом того, что мы имеем теорвю, которая не исследована полностью. Настало время переходить к изучению других тем, однако, я хочу представить вам мои соображения, каковы зюгут быть ответы, как только теория будет более полно исследована. Оригинальные размьпплевия Лж.А.

Унлера о кротовых норах были основаны на нлее, что возможно построить решения уравнений Эйнштейна, для которьпс С" „= О всюду, и которые, тем не менее, действовашз бы или чувствовалн бы (граввтапионное ноле), как будто ови явлюотся настоюцвми массами. Топологвя кротовых нор такова, что было витуитивно ясно, что линни электрического поля, вхолюпве в кротовую нору и выходящие где-то нз кротовой норы, должны были бы очень хорошо соответствовать существованию положительных и отрнпательвых зарядов в точности одной н той же величины.

Лаже хотя мы продемонстрировали то, что топология геодезического пространства является не такой как топология кротовой норы, идея того, что вещество н заряд есть проявление топологии пространства, очень красивая н заманчивая, н никак не лискрепитируется тем, что она не приносит юпсакого количественного результата, выраженного на языке решения Шварпшильда. На самом деле было бы очень замечательно иметь С" = О есюду, так чтобы, говоря словамн, используемыми недавно для описания геометродииамикн, материя возникла из того, что не есть материя, и заряд возник вз того, что не есть заряд. В ближайшем будущем можно исследовать свойства решения Шварцшнльда в начале коорлинат г = О. Я полагаю, что невозможно продемонстрировать то, что Гд" = О всюду, ко предпочтительнее С"„= д(х) нли что-либо такого рода. Объяснение поведения зарююв будет требовать дальнейшего детального изучения; я уверен в том, что такое "отталкивание" в начале координат будет являться неверным заключением, в общем 15.3.

О будугдем геометродидамдки обусловленным имеющейся противоречввостью в предположении точечного заряда; плотность заряда в окрестности точечного заряда растет как 2 4 Е или Ъ(г, что означает, что масса, находяп2аяся внутри шара любого конечного радиуса, должна быть бесконечной. Если масса не является бесконечной, то мы должны записать нечто вроде Если нет Ьтрипательной массы внутри шара любого радиуса, то тогда нам яе разрешается двигаться внутрь шара радиуса а, где а опрелеляется условием (Константа) = 22/2а.