(Фейнман) Лекции по гравитации (555367), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Мы обсудим группу соотношений, которые выполнены между различными индами диаграмм. Эти соотношении не имеют прямых тестов, связанных с экспериментами по гравитация, но некоторые из них оказываются привычными по работе с лругимн полевыми теориями. Я не знаю, возможно ли развить подобное средство лечения лля анализа мулътиколъпевых диаграмм. Я полагаю, что нет; другими словами, я полагаю, что теория кеперенормируема. Является ли это существенным возражением против теории, когда мы утверждаем, что она является неперенормируемой, я не знаю.
Наиболее интересвел иэ тех проблем, с которыми мы будем иметь дело, это, возможно, проблема излучения гравитационных волн. Навейте в качестве исходного прямера рассмотрим излучение одиночного граввтона следующего распаду некоторых подходящих частил. Так как мы будем использовать скалярную теорию вещества, возможно будет наилучшим то, что мы рассматриваем некоторый распад скалярных частиц, таких как К -ь 2т. Испускавие низкочастотных гравитонов необходимо для того, 276 Рис.
16.4. чтобы сказать гравитационным образом внешнему миру, что распад произошел, в основном так же, как фотон низкой энергии должен быть испущен прн аналогичном распаде, когда некоторьгй заряд ускоряется. Вклад многих диаграммы, которые могут быть записаны так, что в вих гранитов выходит из вершины распела, обычно много меньше, так что нам не нувгды рассматрввать этот случай сначала. В качестве упражнения могло бы быть полезным разрешить послелвие три диаграммы, показанные на рис. 16.3. 16.3, Излучение гравитоиов при распаде частиц Свюь гравитонов с материей является настолько слабой, что поиствне нет надежды пронаблюдать квантовые гравитационные эффекты, связанные с событиями, происходюпими с элементарными частюгами.
В этом смысле вычисления, о которых мы говорим, что мы должны их делать, оказываются абсолютно не имеющими никакого отношения к практике. Тем не менее, ьгы предложили определенную теорию, и этн ненаблюлаемые процессы являкгтся простейпозми эффектами, которые наша теория предсказывает; они могут быть наблюдаемыми и ва:квыми в том случае, если взаимодегкствне будет сильнее. Существует много одногравитонных диаграмм при распаде частицы. Лля иллюстрации мм берем в рис.
16.4 а -+ Ь + с. Амплитуда в вершине а-гравнтона задаетск соотношением (16.3,1) где предшествующие верхние индексы 1 и 2 обозначают материальную частицу до и после вершины. После испускания частица а движется с импульсом (ьр-Й) к вершике распада, отсюда р = ("Р-Й) . Если мы положим, что амплитуда распада представляется величиной А, зависящей от импульса трех частиц (а, Ь, с), чьи траекторви пронвкают в черный ящик, выражение для амплитулы есть — 2Ле"" рь( Р— Й) — -гЬ ( Р'( Р— Й) ™ь) [А( Р— й, Р, 'Р)1 . (16.3.2) (Р ) ша 16.3. Излучение гравнтонов прн распаде частиц Лля наших пелей точнак природа аьаглитуды А неважна; она представляет собой все, что здесь происходило бы без гравитона.
Амплитуда, описываемая ссютношением (16.3.2), оказывается большой только в том случае, когда пропагатор имеет очень маленькую величину, т.е. когда Й много меньше, чем 'Р, то движение сгютветствует движению практически свободной частицы. В предельном случае слабых гравнтонов этот процесс идентичен процессу торможенвя излучения, тормозному излучению слабых фотонов; этот процесс те:но связан с классичесюзм пределом, так как он зависит от того, как зарядовые (массовые) токи движутся. Знаменатель есть -2 р й, и в пределе, когда частоты ьг величины Й являются очень малыми, мы можем положить й = 0 в числителе.
Если мы выносим множитель Л/ы, то второй множитель в амплитуде имеет определенвъгй предел, зависящий толъко от направления гравитона, его поляризации и аьггзвигуды 1геспагю ~ЮЗ О Ю Р Рэ ь ар, Й/г г (16.3.3) эм о А(ор ь1, ьр), н ~~,Р г ( ) е (16.3.4) гле г прелстааляет частицу, соединенную с вершиной гравитова, н где ( — ), есть множитель, равный +1 для входяпюй частицы н -1 дгш вьпгодящей частицы. Величина о есть кинематический и геометрический множитель. Лля того, чтобы вычислить вероятность перехода, мы возводим в квадрат амплитуду, подставляем мноягнтель плотности состояния йз ггй оь1/(2я) н множитель нормализации, который есть к/(2Е,), где Ег есть энергия каждой частиды.
Получаем следующий результат з Ж гйи Л 'Р = о 4гг ы 4ггз ' (16.3.5) задающий вероятность испускания гравитона при одном распаде. Множитель Л делает эту вероятность пределъно малой, нестолько малой, что шансы весьма н весьма велики против того, чтобы был зарегистрирован измеряемый отскок в камере Вильсона, в водородной пузырьковой камере нли соответствующее событие в искровой камере. Множитель с обратной зависимостью от знергви 1/м приводит к тому, что зта величина очень велика при экстремально малых значениях энергии гравитона; тем не менее, Имеется три похожих диаграммы, соответствующих испусканию гравитона из любой из этих трех частиц (о, Ь, с).
Лиаграмма, соответствукнцая гравитону, выходящему из черного щгвка, как может быть легко показано, много мевъше по значению; это происходит потому, что почти нет свободной частицы, которая бы двигалесь, отсюда следует, что нет "малого" знаменателя, который бы увеличил этот член.
Если мы пренебрегаем этим членом и более высокими порядками, мы находим, что амплитуда непускания некоторого количества граввтонов есть Лекция 16 278 16 4 Излучение гравнтонов дри рассеянии частиц 279 Рис. 16.5. этот фыст почти не относится к делу, так как величина Л~/ьс становится близкой к 1 толъко при значениях энергии настолысо нивках, что длина волны граввтона должна была бы превосходить рапвус вселенной на некоторый множвтель, такой как 10зэ, Хотя мы разрабатывали теоршо, предполагающую наличие скалярных частиц, в впзкоэиергетическом пределе ответ оказывается тем же самым вне зависимости от того, какой может быть глин частиц.
Это происходит потому, что в низкозпергетическом пределе'к делу относятся только массовые токи и движение масс. В нашем ответе, конечно, имеется инфракрасная расходимость, так что вероятность испускания гравптона (если его энергия не относится к нашему рассмотрению) оказывается бесконечно большой. Это беспокойство является не более серъезвым, чем инфракрасная расходимость для взлученпя нвзкоэнергетнческвх фотонов, и эти проблемы могут быть устранены теми же самыми трюками, как и в низкочастотном "тормозном излучевви." 16.4.
Излучение грпвитопов при рассеянии частиц Мягкий граввтон мовсет быть испупюн, когда две частицы рассеиваются при любом процессе, включакнцпм в себя обмен гравнтоном. Лиаграммы первого порядка, которые описывают такие пропессы, показаны на рис. 16.5. В ннзкоэнергетпческом пределе вазсвы только диаграммы типа (а), которые явлюотся такими диаграммами, где вершина гравнтона соединена со свободной частицей. Процессы, описываемые двумя другими диаграммами, явлюотся много менее вероятными, если импульс гравптона много мевъше, чем перенос импульса е; в диаграмме (б), например, почти нет свободной частицы, которая бы двигалась, отсюда следует, что кет малого знаменателя.
В диаграмме (в) второй пропагатор есть величина порядка 1/(о — к)з ш 1/д~. Насколько мы интересуемся излучением, точная природа процессов общего рассеяния не важна. Я подчеркнваю зто последнее утверждение, потому что всегда найдутск какие-нибудь теоретики, котерые постоянно приволят какие-то мистические аргументы, для того чтобы утверждать, что излучение не происходит, если рассеяние является гравитационным — нет основашсй для таких утверждений; что касается этого вопроса, излучение гравитздионных волн является настолько реальным, насколько это возможно; врелсевие в системе Солнце — Земля может быть источвзсхом гравитационных волн. На самом деле, в этом разделе мы, воз- (а) пе в масштабе) Рнс, 16,6.
можно, должны ограничить ваши размышления рассеяниями частиц; лля двивсеиий таюпс больших объектов, как планеты илн звезды, может быть более последовательно работать в классическом пределе. Гравитация не всегда являетск пренебрежимо слабой, зто происходит толъко в пропессах атомных столкновений. Структура четырех амплнтуд, соответствующих лиаграммам, таким как показанные ва рнс. 16.5(а), является такой же, хак и при распадах частил. Если мы описываем лолярнзапию гранатова тевэором е, то полная амплитуда пропорциональна амплитуде рассеяния в отсутствии гравитона, некоторым энергетическим множитепам и величнне (-)с -Х: ре си 1 — се созб' с (16.4.1) (16.4.2) р е ил 6 2 а,, сс — ш— 1 — осозд 1 — оси 6 д Излучение фотона может быть очень большим для малых углов.
На самом леле взрыва не происхолит, доскольку величина з никогда не бывает в точности равной с. Лиаграмма направленности, соответствующая одиночной Знаменатель представляет собой произведение ср Й = Еы — р Й, когда значенвя энергии Е и ы вынесены в качестве мноксптелей. Так как р = Еи ) верхние индексы 4 относятск к каждой вз четырех частичных ветвей в сголкиовевии.
Числитель содержит свернутое произведение тензора полярнзапии ея с двумя импульсами (до и после) частицы, с которой он связан зто единственньсй физический тензор тензор второго порядка, который может быть построен для скалярной частипы. Ответы, которые мы получили, являются весьма близкими к тем, что имеют место при испускании фотона; суспествепное различие состоит в том, что взаимодействие в злехтромагнетизме осущестюшется вектором, в то время как в гравитации тензором. Лля быстро лвижущейся частицы о ш с, так что знаменатель в оютношевии (16.4.1) может быть очень мал и амплитуда может становптъгя очень болъшой вблизи д О.
С другой стороны, тенэор полярвззлии всегда поперечен к импульсу гравитона. В электромагнетизме вектор поляризации также поперечен импульсу фотона; существует только одно скалярное произведение в числителе, так что когда величина д мала и з яс с, 281 Лекция 16 280 П 'си~ — '1Яи (16.5. 1) А (1) УЛЪ.Ь(2) е Р(й-12) 42тс2 (16.4.4) (16.5.2) А" е — О -+ я Ас ж '7 ..4. (16.5.
3) (16.4.6) (16.4.7) Яьр = 2(е — е)акр. ссю (1) = — — 1 <ХЪ'Ъ Я~ (2) 2 эи г12 (16.5.4) частипе, имеет две полости, как показано на рис. 16.6. В гравитации вза.- имодействие осушвствлвется тензорвым полем н таким образом является влвонне трансиерсальным; в пределе д -+ О н в = 1, о -+ — сс ю2, (16.4.3) 1 1 — есоэб 1 — юсов д так что диаграмма направленности ие направлена строго вперед, но в целом более однородна по сравкенню с электрамагнетнзмом (рис. 16.6 (6)).
Это различие может быть замечено интуитивно, будучи следствием того факта, что прн формировании излучения спин два требует больше "трансверсэльности", чем спин, равный епнюще. Имеется одна амплитуда с угловой структурой такой же, как и на рис. 16.6(б), в окрестности каждого из четырех направлеввй частиц в задаче ассеюпы. Интенсивность испускаспы гравнтона является квадратом сум- Р мы четырех амплитуд, так что в общем случае это выражение выгляди т достаточно симметричным образом. Лля медленна двизсущнхся частиц о ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
