(Фейнман) Лекции по гравитации, страница 56

Если мы сжимаем вещество внутри ашика, все частоты вырастают на один и тот же множитель, обратно пропорциональный длине япюика. Так как энтропия является постоянной для аднабатического процесса, то температура должна увелнчвватъся таким же образом. Таким образом, плотность нуклонов пропорциональна кубу температуры, и плотность энергии излучения пропорлионалъна Т4. На языке температуры, измеренной в единицах 10 градусов, и энергии, в единицах массы покоя пуклона, имеем 9 Вместе с дифференциальным уравнением для М(г) и с уревнышем состояния, связывающим величины р и р, мы имеем систему связанных уравненвй, которые могут быть в прившше разрешены длв функций М(г), р и рз с подходящими граничными условиями они могли бы описывать сверхзвезду в приближении статического решешш.

Какого рода уравнение состояния мы возъмем7 Масса„образованная из 10э солнечных масс, являетск очень сильно разреженной, будучи размазанной по области с галактическими размерами; даже при температуре несколько едиюзц 10 градусов Кельввна, газовое давление является ловольно низким. Тем не менее, оказывается, что плотность излучения, которая пропорционально Т, лает существенную часть энергии массы покоя нуклонной плотности. Мы получаем осмысленное приближение, пренебрегая газовым давлением по сравнению с давлением зсшучевия; в том же з 4з(е/э)  — =р= —, Иэ 3' (14.1.9) р=ат [Ф +Ф], (14.1.10а) (14.1.10б) р=аг -1 Эти соотношения между давлением, плотностью и адиабатическими процессамн получены в связи со звездными задачами в классическом случае.

Звезды, в которых и давление, и плотность следуют степенным зависимостям от температуры всюду, известны как политропы. На языке новой температуры й = Т/т и новых елнниц таких, что 8лСтп„от = 1, система урввневвй принимает слелуюший внл: 4 Лекция 14 258 259 — = — (З +1)г, 2ЬВ 1 2 з з Йг 2 (14.1.10в) (14.1.10г) тй т 3 114+ Ер тп(г) р бг гз (14.2.2) (14.2.4) гто Ф = 4к/ юг вт (1 — 2тп/г) о ('.) Г 22 =4 2 р 22 — 2 — А 2-2 т, (14.2.6) В 2в Радиус звезды ж (8 х 10'з) го/тт, (14.2.16) Какие же услошвт мы выбираем в качестве граничных? Мы предаола; гаем определенную температуру в центре и то, что поверхность является много холоднее, по сушеству температура равна нулю по сравнеаню с температурой в центре звезды.

Входные величавы для нахождения решений $(г) и тп(т ) попросту являются следуютцвми: тп = О, $ = 122 прн г = О. (14.1.11) Эта задача сформулирована таким способом, что численное решение такой задачи получается очень легко. Мы начинаем решение от центра, где мы знаем, что тп(т) = 0 н 2(т) = Сп; мы вычисляем (отп/ог) аз соотношения (14.1.10в), а вычисляем (2й/4г) вз соотношения (14.1.10г), и затем прыгаем вперед и назад между этими уравнениями для того, чтобы получить функции тп(т) и т(г).

Так как производная (2й/2(г) будет всегда отрицательна при положительном т, то в некоторой точке го, $ обраптается в нуль. Мы останавливаем решение в этой точке и предполагаем, что более физическое решение изменило бы только наиболее внешние слои звезды для того, чтобы сделать его убывающем более гладко по направлению к нудевой плотности, без изменения решения во внутреаней части области какого угодно большого размера. Таким образом, предполагается, что радаус го — есть радиус звезды, а величина тпо = тп(го) — полная масса звезды. 14.2.

Значение решений и ах параметры Решение, которое мы описали, оказывается справедливым дде многих талон звезд, таким образом, звезды описывах2тся всевозмоивыми значевиямв параметра г. Пля того, чтобы дать вдею определения величин пто и го для интересуюпшх нас случаев, мы даем коэффвпиенты перевода к более обычным едввнцам2 М и Масса звезды = (27 х 10 солнечнаа масса) 2тпо/гз, (14.2.1а) Т, ш Температура в центре звезды = Ъ г (10 гракусов), (14.2.1в) М,, ш Масса вуклонов звезды = (27 х 10 солнечная масса) 2И/т . (14.2.1г) 14,2.

Значение ретешпти дх параметры Существуют различные способы, пользуясь которыми мы можем увидеть, что ваши уравнения описывают то, что наша нктундия одобряет. Например, для случая, когда масса тп(т) никогда не становится слиптком больпюй, давление меняется в зависимости от радиуса в соответствии с иьютоновсквм правилом: Интересный момент связан с полным числом нуклонов. Хотя мы могли бы иметь искушение ззлисать попросту 422 /' Йгвг~, нам бы следовало вспо- мнить и надисать соответствующие пввариантвые выражения.

Правиль- ное выразсение есть Г2о М = / в ~/-д ег тат 2тф, ~/ — у = е ~~ еътз гз зш Е, (14,2,2) о где з есть временной компонент четыре-вектора в". Мы можем вычислить эту велачиау и провести интегрировавие в системе, в которой вуклоны на- ходятся в покое, в этой системе только временной компонент оказывается не равным нулю, так что мы приходим к выводу о том, что в~в„тз(з) =рыз в, з =зе Итак, имеем следующей результат для полного числа нуклонов Лазайте вновь посмотрим на выраэсение для массы звезды в попытаемся понять его более полвьтм образом. Плотность р есть сумма двух членов, энергии, соответствующей массе покоя з, и энергии излучения с. Когда мы выписываем явно массу как интеграл по правилъвым образом выбранным инварнавтпым элементам, мы видам, что щютность р умножается на некоторую величину, нз которой вычисляется квадратный корень, Это в точности тот результат, который мы моглн бы ожидать нз релятивистской теории, мноткнтель с квадратным корнем вносит поправку, учитывающую изменение плотности энергии, обусловленное влиянием гравитационной энергии.

Когда мы берем температуру выше, чем 10 градусов„мы должны остерегаться попыток использования тактпс решений, поскольку новые физические процессы, которые имеют место при столь высоквх температурах, могут сделать наше уравнение состояввя полностъю неадекватным.

Например, если нейтринные пары могут рождаться при электрон-злектровных 14.3. Некоторые численные результаты 261 260 Лвщня 14 аблица 14.1. Т столкновениях, онн могут уносить болъшое количество энергии, так что каши приближения могут быть полностью несправедливыми. Может оказаться, что такие процессы будут важны при температуре 10 грапусов, температуре, которая достаточно велика для того, чтобы существенная часть частиц имела достаточную кинетическую энергию для того, чтобы образовать электрокные пары. Возможность образования таких пар будет изменять соотношения, связывающие величины в н е н величины а и р.

Тем не менее, в этом адиабатнческом приближенки эти свюи полностью определюотся величиной ? (давление р процорционельно э~), и обнаружено, что величина ? не очень сильно менкется при изменении температуры. Она имеет одну н ту же величину для обоих экстремальных предельных случаев; для обоих случаев Т -+ О и Т -+ оо имеем у = 1.333. Имеется минимальное значение ? между этими предельными случаями температур, которое соответствует величине у = 1.270.

Это иаводнт на мысль о том, что поправки, обусловленные влиянием электровнъпс пар, не булут менять качественные аспекты наших ответов. 14.3. Некоторые численные результаты Предварительные вычисления лали резулътаты, првведевные в таблице 14.1, для заданной величины г при изменении только тюшературы в центре. В таблице приводятся значения температуры в пектре 1„радиуса га, массы звезды гле и "число нуклонов Х".

Что же интересного можно сказать об этих величинах? Зля того, чтобы понять, что происходит с заданной звездой, мы могли бы спросить, какал последователъвость значений радиуса в центральной температуры соответствует одному н тому же числу вуклонов, если полная энергия на один нуклон падает. Мы ожидаем, что это может молелировать ситуацию в звезде, в которой излучение медленно уносит энергию. Числа в таблице не дают в достаточной степени полное представление, так чтобы мы могли быть в этом уверены, тем не менее, мы внцнм, что энергия на нуклон уменьшается при умевъшевин температуры в центре; это есть действительно описание того, что звезда охлаждается, если она излучает энергию.

Будут ли такие звезды самопронвюлъно "размазыватъся" по пространству? Устойчивость нашей звезды еще не научена. В рамках того же самого решения вычисления, которые приводят к одному и тому же числу нуклонов н одному и тому же значеншо г, могут сравниватъся как по значениям радиуса, так и по значениям температуры в центре. Факт, что очевидно имеется мявимум значения ге при значениях температуры в центре где-то между 0.4 и 1.0, заставляет задуматъся; звезда может иметь устойчивое решение. Лругой способ изучения устойчивости состоит в том, чтобы рассмотреть "взрывы".

Предположим, что мы вычисляем полную энергшо числа Ж нухлонов с определенной энтропией на нуклон, т,е. определенным значением т, и затем разламываем зги нуклоны на две звезды с одним и тем же значением г, сохраняя сумму й? постоянной.