В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (Учебник - Сопротивление материалов - В. И. Феодосьев), страница 70

Рассмотрим вначале простейший случай, когда приближенное выражение для прогиба у имеет вид Приняв бэ1 = О, получаем БД Е,уе~1' сЬ вЂ” Р ю1 Нг = О. (13.39) Е,ус~~' Их — Р е~~ Иг = О, или Е1ю~' дх о Р„Р-- Нг о (13.40) Например, для шарнирно закрепленного стержня (см. их рис.

13.9, а), полагал у = а1 з1п —, из уравнения (13.39) по! ' лучаем уже известное выражение для критической силы: я2Е1 Р аР 2 1 Слепует подчеркнуть, что выражение (13.40) получено для стержня с переменным сечением. Приближенное значение критической силы (13АО) можно уточнить, взяв двучленное приближение для прогиба у: у = а1е1 + а2ез ~ где функция о2, так же как и функция о1, должна удовлетворять граничным условиям.

В этом случае аэ аэ еэ = — 3Д + — Юаз = О. дд1 дД2 В результате имеем Ц1А1 + ЩА2 = О. о о Так как вариация параметра Д ф О, то из уравнения (13.39) следует ( Так как вариации Ь~уу независимы, то линейное ссютношение может выполняться только тогда, когда (13.41) А1=0, Аз=0. Здесь Из условий (13.41) получаем систему, состоящую из двух ал- гебраических однородных уравнений относительно 131 и )32: (аы — Ьы Р) Д~ + (агв — Ь12Р) Д2 = О; (13.42) (а21 — Ь21Р) Д + (а22 — Ь22 Р) 132 = О; где а11 — Е101 ~Ь; Ьы = у и1 Из; а12 = у Е30201 Нх; а2 1 ~2 I ил 0 Приравняв определитель системы (13.42) к нулю (чтобы получить нетривиальное решение), получим уравнение относительно Р. Наименьший корень Р1 этого квадратного уравнения есть уточненное значение критической силы.

Можно получить и более точное решение, представив в виде ряда (13.43) 1 У Ь12 = ( и102Нз; а21 0 1 ~2 1 из ах. и2 = а12~ Ь21 = Ь12; а22 = Е 102 ая; Ь22 = 0 В этом случае бЭ = ~~ — о1з = О. дЭ 1=1 д,о; (13.44) Е.ууп Ыг | п2 о Ркр = ( я 1/2 Примем, что р =,91 ьйп —. Тогда после интегрирования нахо- 1' 2п2Е7 18, 7Е,7 дим Ркр — —.

Точное решение равно Ркр —— — ' 12 кР 12 Рассмотренные примеры убеждают нас в том, что приближенным методом' можно без особого труда получить достаточно точное значение критической силы. Рассмотрим в заключение еше один пример. П р и м е р 13.б. Определить критичесхуяз силу для защемленного стержня, находяшегося под действием собственного веса е (рис. 13.21). Задаемся уравнением упругой линии изогнутого стержня и виде у=С 1 — соя— Легка уоедиться в том, что это выражение удовлетворяет граничным условиям.

Из соотношения (13.44) получаем а однородных алгебраических уравнений относительно Ду, анвлогичных системе (13.42), а из условия равенства нулю определителя находим Р (у = = 1,2,..., н). Наименьший корень Р1 есть критическвл сила, т.е. Р,р — Р1. Определим энергетическим методом критическую силу для случал, рассмотренного в примере 13.2. Поскольку сила приложена посередине длины стержня (см. рис. 13.15), интегрирование в знаменателе формулы (13.40) следует вести от 1/2 до 1, т.е.

1 рис. зз.зг ных сил. Такой вид нагружения принято называть продольно- поперечным изгибом. При составлении дифференциального уравнения упругой линии изгибающий момент можно рассматривать как сумму момента поперечных сил М„и момента продольной силы Ру. При этом, поскольку прогибы считаются малыми, момент М„ зависит в явном виде только от г и не зависит нн от у, нн от продольной силы Р: Е1у" = — Ру+ М„. (13.45) Лифференциальное уравнение упругой линии имеет вид у +" у= Е1' (13.46) откуда у = С1з1пйя+Сзсозкя+у', где у' — частное решение уравнения (13.46), зависящее от функции М„, т. е.

от вида поперечной нагрузки. Например, для двухопорного равномерно загруженного стержня (см. рис. 13,22) имеем я Ф Чя г Еду = — я — — — Ру. 2 2 Тогда 2Е,Д,2 ь2 н, следовательно, у = С1 з1п и» + С2 соз кя -~ — ~ — + Ь вЂ” я ~. 2Е ~1д2 ~ й2 ввт Постоянные С1 и Сз подбирают с таким расчетом, чтобы прогиб у прк» = 0 и» = 1 обращался в нуль. В итоге д Б1п й» у = ~ — (1 — СОБИ) . + 1 совй»+ (1» — » )~. ЕУй4 ~ Б1п И 2 Изгибающий момент Б1п й» М = ЕУу = — ~(1 — сов И) —, + сов Й» — 1 . йз~ в!п И При отсутствии продольной силы оно принимает внд Е./ув = М„ где индекс "и" соответствует нагружению стержня только по- перечными силами.

Исключал М„, получаем Е1ун = Е./у,", — Ру. (13.48) взв Наибольший изгибающий момент имеет место при» = 1/2: у 1 — сов(И/2) йз сов(И/2) При малых значениях сжимающей силы Р (при малом й) это выражение после раскрытия неопределенности, квк к следовало ожидать, пРинимает вид Мшв„= д!З/8, т.е. максимальный момент совпадает с тем, который дает поперечная распределениях скла д. По мере роста силы Р максимальный изгибающий момент резко возрастает. Прн более сложных видах поперечной нагрузки, например при нескольких поперечных силах, определение изгибающих моментов описанным выше способом становится затруднительным, поскольку изгибающий момент на различных участках описывается различными функциями.

В талих случаях удобнее применять приближенные, менее точные, но более простые приемы расчета. Один из таких весьма распространенных способов мы сейчас и рассмотрим. Обратимся к выражению (13.45) ЕУуп = Мп — Ру. Теперь примем, что форма упругой линии как цри нали- чии продольных сил, так и без них близка к синусоиде: я'* .

из у = Уз1п ~ уп = Упгйп 1' !' Подставляем у и у„в уравнение (13.48). Тогда я2 из Е.// — = Е,//д — + Р/, 1з и 1з откуда (13А9) 1- Р/Р В случае других способов закрепления стержня часто пользуются той же формулой (13.39), но подставляют другое значение критической силы. Предполагая изгибающие моменты пропорциональными прогибам, можно написать Мп 1 — Р/Р„,' (13.50) 639 Проверим полученную формулу на примере рассмотренного выше стержня с равномерно распределенной нагрузкой д. Пусть Р = Р„ /2.

Тогда, согласно формуле (13.50), М = = 2М„. Но поперечная нагрузка дает изгибающий момент М„= 41з/8. Таким образом, в этом случае имеем М~зя = = 0,2591'. Теперь посмотрим, что дает точная формула (13.47). Выражение для Й, входящего в эту формулу, принимает при заданном значении Р следующий вид: Ж.— Тогпа, согласно выражению (13.47), Ф 2з/2 з з 1 — соз— Мю,„= —,, ~ 0,25291 . соз— 2зГ2 Сопоставляя полученные значения Ммях, видим, что они практически совпадают. Хуже обстокт дело при явно несимметричных вилах распределения поперечных сил.

Но в подобных случаях основное внимание следует уделять не уточнению расчетных формул, а поиску средств, с помощью которых можно было бы вообще избавиться от подобных видов нагружения. Глава 14 МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДЕФОРМИРОВАННОГО И НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЙ 14.1.Испытание материалов и конструкций Говоря об экспериментальных методах замера деформаций и напряжений, необходимо делать различие между механическими испытаниями материалов и испытаниями конструкций. Испытания материалов проводят с целью определения механических характеристик, таких, как предел текучести, временное сопротивление, модуль упругости и т.д.

Кроме того, их можно проводить в исследовательских целях, например для изучения условий прочности в сложных напряженных состояниях или выявления механических свойств материала. Для испытания материалов используют образцы, размеры и форму которых варьируют в зависимости от имеющейся измерительной аппаратуры и самих условий испытания. Для получения объективных характеристик материала необходимо соблюдать условие одиородиоспзи иапрялсенноео бе1 состояния, т.е.

необходимо обеспечить постоянство напряженного состояния для всех точек испытуемого образца. Это условие соблюдается, например, при растяжении, частично при сжатии короткого образца и при кручении тонкостенной трубки. Изменение свойств материала в этих испытаниях происходит одновременно во всем объеме образца и легко поддается количественной оценке. При кручении сплошных образцов, а также и при изгибе напряженное состояние является неоднородным.

Качественные изменения свойств материала в отдельных точках не влекут за собой заметных изменений в характеристиках образца. Требование однородности напряженного состояния накладывает серьезные ограничения на результаты многих видов испытаний. В частности, до сих пор не удается провести объективные испытания в условиях однородного всестороннего растяжения. Это напряженное состояние можно создать пока только в отдельных точках образца, например в центре сплошного шара, быстро нагреваемого извне.

Одним из видов механических испытаний являются юеякологические пробы, лающие не объективные, а только сравнительные характеристики свойств материала при строго регламентированных условиях испытания. Сюда относятся испытания на твердость, на ударную вязкость и некоторые другие. В некоторой мере к технологическим пробам могут быть отнесены также испытания на усталостную прочность. Когда говорят об испытании конструкции, то имеется в виду испытание на прочность целой машины, ее отдельных узлов или их моделей. Такое испытание имеет целью, с одной стороны, проверку точности проведенных расчетов, а с другой — проверку правильности выбранных технологических процессов изготовления узлов и ведения сборкк, поскольку при непостаточно правильных технологических приемах возможно местное ослабление конструкции.

Наиболее широко развито испытание конструкции в таких отраслях техники, как самолетостроение и ракетостроение, где в силу необходимой экономии веса вопросы прочности являются наиболее ответственными. При создании новой машины отдельные ее узлы, уже выполненные в металле, подвергают статическим испытаниям до полного разрушения с целью опрелеления так называемой разрушающей нагрузки. Эту нагрузку сопоставляют затем с расчетной. Характер приложения сил при статических испытаниях устанавливают таккм, чтобы имитировались рабочие нагрузки для определенного, выбранного заранее расчетного случал, например: для шасси самолета — случай посадки, для крыльев — выход из пике и т.д. Кроме статических кспытаний часто возникает необходимость проведения и динамических испытаний. Например, весьма распространены испытания приборов, работающих в условиях вибраций.

Эти испытания проводят на специальных вибрационных столах дри различных значениях частот и амплитуд. При таких испытаниях деформации и напряжения в вибрирующих деталях прибора обычно не замеряют. 0 прочности отдельных узлов судят только в случае их разрушения. В ряде случаев динамические испытания ведут с осциллографнрованием (записью) быстро изменяющихся деформацкй, возникающих в наиболее опасных узлах.

Существующие в настоящее время способы экспериментального исследования напряженных конструкций сводятся, так илн иначе, к прямому определению деформаций, возникающих в испытуемом объекте. Напряжения определяют косвенно через деформации на основе закона Гука.