1193507387 (Конспект лекций), страница 10

Случайные величины 2.1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины. Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины (сокращенпо: с.в.) обозначаются прописными латинскими буквами Х, У, Я,... (или строчными греческими буквами г, (кои), и (эта), О (тэта), ф (пси) и т. д.), а принимаемые ими значения соответственно малыми буквами хы тз,..., йы уз, уз, Пупмерпми с. в.

могут служить: 1) Х вЂ” число очков, появляющихся при бросании игральной кости; 2) У вЂ” число выстрелов до первого попадания в цель; 3) Я вЂ” время безотказной работы прибора и т.п. (рост человека, курс доллара, количество бракованных деталей в партии, температура воздуха, выигрыш игрока, координата точки при случайном выборе ее на [О; 1], прибыль фирмы,... ). Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений, называется дискретной (сокращенно: д. с.

в.). Если же множество возможных значений с. в. несчетно, то такая величина называется непрерывной (сокращенпо: н.с. в.). То есть д. с. в. принимает отдельные изолированные друг от друга значения, а н.с. в. может принимать любые значения из некоторого промежутка (например, значения на отрезке, на всей числовой прямой и т.д.). Случайные величины Х и У (примеры 1) и 2)) являются дискретными.

С.в. Я (пример 3)) является непрерывной: ее возможньп' значения принадлежат промежутку [0,1), где 1 ) О, правая граница не определена (теоретически 1 = +со). Отметим, что рассматриваются также с. в. смешанного типа. Дадим теперь строгое определение с.в., исходя из теоретико-множественной трактовки основных понятий теории вероятностей. Глава 2.

Случайные величины ' 61 Случайной величиной Х называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий й, которая каждому элементарному собыгию ю ставит в соответствие число Х(иг), т.е. Х = Х(ю), ю Е П (или Х = 1(ш)). Пуилгер. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На ПЭС П = = (юг,игг,юз,иц), где юг = ГГ, юа = ГР, юз = РГ, ю4 = РР, можно рассмотреть с. в. Х вЂ” число появлений герба. С. в. Х является функцией от элементарного события иц: Х(юг) = 2, Х(гоз) = 1, Х(игз) = 1, Х(илг) = О; Х вЂ” д.с. в.

со значениями хг = О, хз = 1, хз = 2. Отметим, что если множество П конечно или счетно, то случайной величиной является любая функция, определенная на П. В общем случае функция Х(ю) должяа быть такова, чтобы для любых х е И событие А = (ю: Х(ю) ( х) принадлежало о-алгебре множеств Я и, значит, для любого такого события была определена вероятность Р(А) = Р(Х ( х). Для полного описания с.

в. недостаточно лишь знания ее возможных значений; необходимо еще знать вероятности этих значений. Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий А С Я (Я вЂ” о-алгебра событий пространства й), в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом расггределенил случайной величины (или просто: уаспределенггелг). Про с.

в. говорят, что «она подчиняется данному закону распределения». 2.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения Пусть Х вЂ” д. с. в., которая принимает значения хг, хз, хз,..., х„,... (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероятностью р„где г = 1,2,3,...,п,.... Закон уаспределенил д.с.в. удобно задавать с помощью формулы р, = Р(Х = х,), г = 1,2,3,...,и,..., определяющей вероятность того, что в результате опыта с. в.

Х примет значение х,. Для д.с.в. Х закон распределения может быть задан в виде таблицы распуеделенил: 62 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей где первая строка содержит все возможные значения (обычно в порядке возрастания) с. в., а вторая — их вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения. Так как события (Х = — х~), (Х = хг) ...

несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице (см. п. 1.12), т. е. 2 р, = 1. Закон распределения д. с. в. можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения с. в., а на оси ординат — вероятности этих значений. Ломаную, соединяющую последовательно точки (хыр~), (хг,рг), ... называют многоугольником (или полигоном) распределен и (см. рис. 17). Рис. 17 Теперь можно дать более точное определение д.

с. в. Случайная величина Х диекретна, если существует конечное или счетное множество чисел хм хг, ...таких, что Р(Х = х,) = р; > 0 (г = 1, 2,...) и р~ + рз + рз +... = 1. Определим математические операции над дискретными с. в. Суммои (разностью, произведением) д.с.в. Х, принимающей значенияхх, с вероятностями р, = Р(Х = х;),1 = 1,2,...,и ид.с.в. У, принимающей значения у с вероятностями р = Р(У = у ), 1' = 1, 2,, т, называется д.с.

в. Я = Х + У (л = Х вЂ” У, Я = Х - У), принимающая значения г, = х, + у. (г,. = х, — у,, г, = х, - у ) с вероятностями р; = Р(Х = х,,У = у.) для всех указанных значений г и 1. В случае совпадения некоторых сумм х; + уз (разностей х, — уз, произведений х;уд) соответствующие вероятности складываются. Произведение д. с. в.

на число с называется д. с. в. сХ, принимающая значения сх, с вероятностями р; = Р(Х = х,). Две д. с. в. Х и У называются независимыми, если события (Х = х;) = А; и (У = у ) = В независимы для любых 1 = 1,2,...,и; Глава 2. Случайные величины ° 63 1' = 1,2,...,т, т.е. Р(Х=х,;У=у)=Р(Х=х,) Р(г'=уз).

В противном случае с. в. называются зависимыми. Несколько с. в. называются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины. Пример 2.1. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные — черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке. Возможные значения с.

в. Х вЂ” числа белых шаров в выборке есть х1 = О, хз = 1, хз = 2, хл = 3. Вероятности их соответственно будут Р1 = Р(Х = О) = з — — 56, Рз = Р(Х = 1) = з 8 СЗ рз = — р~ = — . Закон распределения запишем в виде таблицы. 30 10 56' 56 ' (Контролгн 2;р; = — + — + — + — = 1.) 1 15 30 10 56 56 56 56 Упражнения 1. Монета бросается 4 раза. Построить многоугольник распределения с. в. Х вЂ” числа выпадений герба. 2. Вероятность сдачи экзамена первым студентом равна 0,6, а вторым — 0,9. Составить ряд распределения с. в.

Х вЂ” числа студентов, успешно сдавших экзамен в случае, когда: а) экзамены пересдавать нельзя; б) экзамен можно один раз пересдать. 64 ' Раздел параый. Эпамантарная таория вероятностей 2.3. Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины Очевидно, ряд распределения с. в. может быть построен только для д.

с. в.; для н. с. в. нельзя даже перечислить все ее возможные значения. Кроме того, как увидим позже (п. 2.3, 2.4), вероятность каждого отдельно взятого значения н. с. в. равна нулю! Представим себе вероятность того, что рост мужчины — н,с. в. — точно равен ~/3 = 1,7320508... метров; купленная нами лампа проработает — и. с. в. — ровно 900 часов; .... Удивительно интересный факт: событие возможное, но имеелп нулевую вероятность. Для характеристики поведения н.

с. в. целесообразно использовать вероятность события (Х < х) (а не (Х = х)), где х — некоторое действительное число. С точки зрения практики нас мало интересует событие, состоящее, например, в том, что лампочка проработает ровно 900 часов, т. е. Х = 900. Более важным является событие вида (Х < 900) (или (Х ) 900)).

Такое событие имеет ненулевую вероятность; при изменении х вероятность события (Х < х) в общем случае будет меняться. Следовательно, вероятность Р(Х < х) является функцией от х. Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является ее функция распределения, обозначаемая Рг(х) (или просто Р(х), без индекса, если ясно, о какой с.

в. идет речь). Функцией распределения с. в. Х называется функция г (х), которая для любого числа х Е Л равна вероятности события (Х < х). Таким образом, но определению Р(х) = Р(Х < х) т.е. Р(х) = Р(щ: Х(щ) < и). (2.1) Функцию Р(х) называют также интегральной уункцией распределения. Геометрически равенство (2.1) можно истолковать так: Р(х) есть вероятность того, что с.в. Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т. е. случайная точка Х попадет в интервал ( — оо, х), см. рис. 18. Х<х Рис.

18 Функция распределения обладает следующими свойствами: Глава 2 Случайные величины ° 65 1. Г(х) ограничена, т. е. О<Г(х) <1. 2. Г(х) — неубывающая функция на Л, 1. е. если х2 ) х, то Г(х2) 3 Г(х1) ° 3. Г(х) обращает в ноль на минус бесконечности и равна единице в плюс бесконечности, т. е. Г( — оо) = О, Г(+со) = 1. 4. Вероятность попадания с. в. Х в промежуток (а, 6) равна приращению ее функции распределения на этом промежутке, т. е.

(2.2) Р(а < Х < 6) = Г(Ь) — Г(а). 5. Г(х) непрерывна слева, т. е. 11п1 Г(х) = Г(хв). х — ~ил — 0 1. Первое свойство следует иэ определения (2.1) и свойств вероятности (п. 1.11, 1.12). 2. Пусть А = (Х < х1), В = (Х < х2). Если х1 < х2, то событие А влечет событие В (и. 1.4), т.е. А С В.