Вопросы/задания к контрольной работе: Решение математической двухпараметрической задачи оптимизации на основе методов линейного программирования (ЛП)

Задача №1

Решение математической двухпараметрической задачи оптимизации на основе методов линейного программирования (ЛП)

Цель – овладеть приемами решения двухпараметрических задач ЛП с использованием графической иллюстрации.

Оптимизационная модель

Q = 4x₁ +x₂ ® max - целевая функция

- 2x₁ +3x₂ = 4 - ограничение (1)

x₁ £ 8 - ограничение (2)

x₁ +x₂ £ 4 - ограничение (3)

Задача №2

Решение одной из производственных задач на основе методов ЛП и проведение дополнительного расчетного анализа в зависимости от накладываемых требований.

Условие задачи в общем виде

Участок механообработки выпускает в числе прочих деталей валы и фланцы. Используется оборудование: заготовительный, токарный, сверлильный, шлифовальный станки. Задача заключается в том, чтобы построить оптимизационную ММ, позволяющую с наибольшим эффектом распределить детали по станкам, и провести необходимое исследование.

Вариант 36

Исходные данные. Пусть фонд времени станков Т_i под обработку валов и фланцев будет соответственно равен: заготовительного станка Т₁ = 160 мин, токарного Т₂ = 250 мин, сверлильного Т₃ = 300 мин, шлифовального Т₄ = =100мин. Время обработки каждой детали на соответствующем станке: t_в1 =4 мин, t_в2 = 5 мин, t_в3 = 4 мин, t_в4 = 8 мин, t_ф1 = 5 мин, t_ф2 = 10 мин, t_ф3 = 7 мин, t_ф4 = 15 мин. Доход от изготовления одного вала D₁ = 3500 руб., одного фланца D₂ = =4500руб. Необходимо определить такое количество валов и фланцев, чтобы прибыль (доход) была максимальной.

Обозначим х₁ - число валов, х₂ - число фланцев. В качестве критерия оптимальности выберем доход. В случае, если на предприятии известен доход от изготовления одной детали, критерий оптимальности (доход) можно будет сформулировать следующим образом:

Q = D₁ x₁ + D₂ x₂ ® max,

где D₁ , D₂ - доход от обработки одного вала и одного фланца соответственно.

Ограничения на управляемые параметры составим из временных возможностей станков, т.е. фонда времени работы станков. Так, если заготовительный станок имеет фонд времени T₁ минут, то время обработки всех валов и фланцев на заготовительном станке не должно превышать эту величину T₁. Тогда, приняв время обработки одного вала на заготовительном станке за t_в1, получим суммарное время обработки всех валов на заготовительном станке t_в1 х₁. Аналогично, если время обработки одного фланца на заготовительном станке – t_ф1, то время обработки всех фланцев на заготовительном станке будет равно t_ф1х₂. В сумме время обработки всех валов и фланцев на заготовительном станке будет равно величине (t_в1 х₁ + t_ф1 х₂ ) и оно не должно превышать фонд времени заготовительного станка, т.е.:

t_в1 х₁ + t_ф1 х₂ £ Т₁ .

Аналогично запишем ограничения по фонду времени работы каждого станка:

токарного: t_в2 х₁ + t_ф2 х₂ £ Т₂ ;

сверлильного: t_в3 х₁ + t_ф3 х₂ £ Т₃ ;

шлифовального: t_в4 х₁ + t_ф4 х₂ £ Т₄,,

где Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ - фонд времени работы соответственно заготовительного, токарного, сверлильного, шлифовального станков, t_в1, t_в2, t_в3, t_в4 – время обработки одного вала на соответственно заготовительном, токарном, сверлильном, шлифовальном станках, t_ф1, t_ф2, t_ф3, t_ф4 – время обработки одного фланца на соответственно заготовительном, токарном, сверлильном, шлифовальном станках.

Оптимизационная модель в общем виде:

Окончательно получаем следующую постановку задачи: необходимо найти такое количество валов х₁ и фланцев х₂, при которых критерий оптимальности – доход Q будет максимальным и будут соблюдаться прямые и функциональные ограничения.

Оптимизационная модель по данным варианта:

Q = 3500 x₁ + 4500 x₂ ® max (целевая функция)

х₁ ³ 0 прямое ограничение (1)

х₂ ³ 0 прямое ограничение (2)

4х₁ +5х₂ £ 160 функциональное ограничение (3)

5х₁ + 10х₂ £ 250 функциональное ограничение (4)

4х₁ +7х₂ £ 300 функциональное ограничение (5)

8х₁ +15х₂ £ 100 функциональное ограничение (6)

Задача №3

В качестве объекта рассматривается процесс одно-инструментальной обработки вала.

Математическая модель описывает основные показатели качества одно-инструментальной обработки гладкого вала на токарном станке и включает в себя зависимости, связывающие показатели качества с параметрами объекта.

Производительность обработки Q:

(шт/час),

где t₀ = (мин), n = (об/мин), Т – стойкость режущего инструмента:

(мин),

L – длина рабочего хода, мм, n – частота вращения детали, об/мин, S – скорость подачи инструмента на один оборот детали, мм/об, V – скорость резания, м/мин, D – диаметр обработки, мм, П - припуск на обработку, мм.

Сила резания P_z:

P_z = 2000 S^0.75 t , Н,

Мощность резания N:

N = 0.0325 V S ^0.75 t, кВт.

Шероховатость обработанной поверхности R_а :

,мкм.

Составим оптимизационную модель.

Необходимо найти такие значения S и V, при которых значение Q будет максимальным.

→max,

В качестве прямых ограничений используются паспортные данные станка по предельным значениям подач и оборотов шпинделя:

12,5 ≤ n ≤ n _max (об/мин),

0.07 ≤ S ≤ 4.16 (мм/об).

В качестве функциональных ограничений выступает стойкость режущего инструмента, сила резания, мощность резания, шероховатость обработанной поверхности:

≤T_доп,

P_z = 2000 S^0.75 t ≤P_{z доп},

N = 0.0325 V S ^0.75 t ≤ N_доп,

≤ R_aдоп.