Вопросы/задания к контрольной работе: Методы линейного программирования

Задание №1

В данном задании требуется решить математическую двухпараметрическую задачу оптимизации на основе методов линейного программирования (ЛП).

Прежде чем решать задачу, необходимо изучить постановку задач линейного программирования (ЛП) [1,2], способы решения двухпараметрических задач ЛП [1, с.49-53], Для решения конкретной задачи студент выбирает самостоятельно способ решения задачи: использование линий уровня или приемы симплекс-метода. Варианты задания приведены в табл. 1.

Таблица 1

Варианты заданий

3. Задание №2

В данном задании требуется правильная постановка и решение задачи ЛП производственного назначения. Рассматривается задача оптимальной загрузки оборудования.

Данная задача является одной из типовых задач, решаемых методами линейного программирования. Прежде чем решать задачу, необходимо изучить постановку задач линейного программирования (ЛП) [1, с.43-48], способы решения двухпараметрических задач ЛП [1, с.49-53], познакомиться с постановкой и особенностями данного типа задач [1, с.60, 2].

Задание на выполнение контрольной работы состоит из двух частей:

• решение задачи оптимальной загрузки оборудования по исходным данным, приведенным в табл. 2,
• анализ задачи и результатов при изменении ее условий (табл.3).

Пример решения задачи.

Участок механообработки выпускает в числе прочих деталей валы и фланцы. Используется оборудование: заготовительный, токарный, сверлильный, шлифовальный станки. Задача заключается в том, чтобы построить оптимизационную ММ, позволяющую с наибольшим эффектом распределить детали по станкам, и провести необходимое исследование.

В качестве управляемых параметров, как видно из сути задачи, можно принять количество валов и фланцев, которое можно обработать на этих станках. В качестве критерия оптимальности – прибыль или доход от обработки всех деталей. Тогда задача будет сформулирована следующим образом: необходимо определить такое количество валов и фланцев, чтобы прибыль (доход) была максимальной.

Обозначим х₁ - число валов, х₂ - число фланцев. В качестве критерия оптимальности выберем доход. В случае, если на предприятии известен доход от изготовления одной детали, критерий оптимальности (доход) можно будет сформулировать следующим образом:

Q = D₁ x₁ + D₂ x₂ ® max,

где D₁ , D₂ - доход от обработки одного вала и одного фланца соответственно.

Ограничения на управляемые параметры можно составить из временных возможностей станков, т.е. фонда времени работы станков. Так, если заготовительный станок имеет фонд времени T₁ минут, то время обработки всех валов и фланцев на заготовительном станке не должно превышать эту величину T₁. Тогда, приняв время обработки одного вала на заготовительном станке за t_в1, получим суммарное время обработки всех валов на заготовительном станке t_в1 х₁. Аналогично, если время обработки одного фланца на заготовительном станке – t_ф1, то время обработки всех фланцев на заготовительном станке будет равно t_ф1х₂. В сумме время обработки всех валов и фланцев на заготовительном станке будет равно величине (t_в1 х₁ + t_ф1 х₂ ) и оно не должно превышать фонд времени заготовительного станка, т.е.:

t_в1 х₁ + t_ф1 х₂ £ Т₁ .

Аналогично можно записать ограничения по фонду времени работы каждого станка:

токарного: t_в2 х₁ + t_ф2 х₂ £ Т₂ ;

сверлильного: t_в3 х₁ + t_ф3 х₂ £ Т₃ ;

шлифовального: t_в4 х₁ + t_ф4 х₂ £ Т₄,,

где Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ - фонд времени работы соответственно заготовительного, токарного, сверлильного, шлифовального станков, t_в1, t_в2, t_в3, t_в4 – время обработки одного вала на соответственно заготовительном, токарном, сверлильном, шлифовальном станках, t_ф1, t_ф2, t_ф3, t_ф4 – время обработки одного фланца на соответственно заготовительном, токарном, сверлильном, шлифовальном станках.

Исходные данные. Пусть фонд времени станков Т_i под обработку валов и фланцев будет соответственно равен: заготовительного станка Т₁ = 120 мин, токарного Т₂ = 240 мин, сверлильного Т₃ = 120 мин, шлифовального Т₄ = =120мин. Время обработки каждой детали на соответствующем станке: t_в1 = =2мин, t_в2 = 6 мин, t_в3 = 0 мин (вал без отверстия и на сверлильном станке не обрабатывается), t_в4 = 4 мин, t_ф1 = 2 мин, t_ф2 = 15 мин, t_ф3 = 10 мин, t_ф4 = 2 мин. Доход от изготовления одного вала D₁ = 5000 руб., одного фланца D₂ = =5500руб.

Окончательно получаем следующую постановку задачи: необходимо найти такое количество валов х₁ и фланцев х₂, при которых критерий оптимальности – доход Q (3.1) будет максимальным и будут соблюдаться прямые (3.2), (3.3) и функциональные (3.4) … (3.7) ограничения:

Q = 5000 x₁ + 5500 x₂ ® max (3.1)

х₁ ³ 0 (3.2)

х₂ ³ 0 (3.3)

2х₁ +2х₂ £ 120 (3.4)

6х₁ + 15х₂ £ 240 (3.5)

0х₁ +10х₂ £ 120 (3.6)

4х₁ +2х₂ £ 120 (3.7)

Решение задачи. Так как задача – двухпараметрическая, то сначала строим область допустимых значений в координатах х₁ – х₂, а затем внутри полученной области ищем оптимальное решение. Решение задачи подробно рассмотрено в пособии [1, с. 60-64]

Исследование задачи. Вторая часть задания включает в себя анализ результата в зависимости от измененных условий. Варианты заданий приведены в табл.3. На вопросы следует отвечать после решенной оптимизационной задачи.

4. Задание № 3

Цель решения задачи по заданию №3 – научиться формулировать математическую постановку задачи оптимизации на основе имеющейся математической модели реального технического объекта и овладеть приемами решения задачи НЛП. В качестве объекта рассматривается процесс одноинструментальной обработки вала.

Математическая модель описывает основные показатели качества одноинструментальной обработки гладкого вала на токарном станке и включает в себя зависимости, связывающие показатели качества с параметрами объекта.

Производительность обработки Q:

(шт/час), (4.1)

где t₀ = (мин), n = (об/мин), Т – стойкость режущего инструмента:

(мин), (4.2)

L – длина рабочего хода, мм, n – частота вращения детали, об/мин, S – скорость подачи инструмента на один оборот детали, мм/об, V – скорость резания, м/мин, D – диаметр обработки, мм, П - припуск на обработку, мм.

Сила резания P_z:

P_z = 2000 S^0.75 t , Н, (4.3)

Мощность резания N:

N = 0.0325 V S ^0.75 t, кВт. (4.4)

Стойкость режущего инструмента - определяется по (4.2).

Шероховатость обработанной поверхности R_а :

,мкм. (4.5)

Таблица 4

Исходные данные для решения задачи

Методические указания.

Чтобы сформулировать оптимизационную постановку задачи, нужно выбрать критерий оптимальности, управляемые параметры, ограничения.

• Управляемые параметры. Данная задача используется при расчетах режима работы оборудования. Поэтому управляемыми параметрами будут элементы режима резания: подача S и скорость резания V.
• Критерий оптимальности и функциональные ограничения. Они могут быть получены из набора показателей качества работы системы (4.1)… (4.5). В соответствии с тем, как сформулированы требования на показатели качества (табл.4), можно понять, какие показатели качества использовать в качестве критерия оптимальности, какие – в виде функциональных ограничений.

Судя по исходным данным, мы имеем информацию по допускаемым значениям силы резания, мощности, шероховатости и стойкости. Так, например, если значение силы резания, полученное при определенных значениях параметров, будет большим, чем допускаемое, то система будет неработоспособна и возможна поломка инструмента. Поэтому, текущее значение силы не должно превышать допускаемого: P _z £ P _{z доп}.

Аналогично можно получить вид всех функциональных ограничений.

Те (или тот) показатели качества, на которые нельзя сформулировать ограничения по типу «не более», можно использовать в качестве критерия оптимальности.

• Прямые ограничения. В качестве прямых ограничений можно использовать паспортные данные станка по предельным значениям подач и оборотов шпинделя. Для всех вариантов :

12,5 ≤ n ≤ n _max (об/мин), (4.6)

0.07 ≤ S ≤ 4.16 (мм/об). (4.7)

При этом следует помнить, что параметры n и V взаимозависимы, поэтому прямое ограничение (4.6) должно быть выражено через V (см. формулу 4.1).

Решение задачи. При поиске оптимального значения рекомендуется использовать один из методов поиска: метод покоординатного спуска, метод конфигураций или их сочетание [1, с.71-72].

5. Задание № 4

5.1. Описание задачи

Цель решения задачи по заданию №4 ­– освоить приемы нахождения оптимальных решений в отсутствие математической модели, связывающей критерий оптимальности с вариантами решений.

Прежде чем выполнять задание №4, необходимо изучить приемы нахождения оптимальных решений на основе балльных методов [1, с.97-103], а также в условиях многокритериальности [1, c. 83-88].

Цель решения задачи - выбрать оптимальную профессию, для которой показатели безопасности будут минимальными или максимальными.

В настоящее время для оценки профессионального риска используются результаты аттестации рабочих мест по условиям труда. Процедура аттестации рабочих мест по условиям труда прописана в литературе [4]. Условия труда оцениваются интегрировано с учетом комплексного воздействия на человека различных опасных и вредных производственных факторов. Суть методики интегральной оценки условий труда заключается в балльной оценке условий труда по гигиеническим показателям производственной среды. Балльные оценки условий труда приведены в Р 2.2.2006-05 «Гигиенические критерии оценки и классификация условий труда по показателям вредности и опасности производственной среды, тяжести и напряженности трудового процесса».

В качестве показателей безопасности для оценки профессионального риска используются три показателя, которые формулируем как критерии оптимальности:

• обобщенный уровень безопасности ; (5.1)
• обобщенный уровень риска ; (5.2)
• годовой профессиональный риск . (5.3)

В зависимостях (5.1) – (5.3):

- уровень безопасности по i-му фактору производственной среды, n - число учитываемых факторов производственной среды, t – трудовой стаж, принимается t=25 лет.

Уровень безопасности по i-му фактору производственной среды определяется:

, (5.4)

где - максимальная балльная оценка, принимается = 6, - балльная оценка по i – му фактору среды; определяется по классу условий труда в соответствии с Р 2.2.2006-05:

5.2. Задания и исходные данные

Исходные данные приведены в табл. 5.

Таблица 5

Классификация условий труда для работников различных профессий

Каждый студент решает задачу для пяти факторов производственной среды и выбирает профессию также из пяти вариантов. Перечень заданий приведен в табл.6.

Таблица 6

Варианты заданий

5.3. Последовательность решения задачи и методические рекомендации

Последовательно для каждого варианта решения (профессии) выполняются следующие шаги.

Шаг 1. Определяется балльная оценка в зависимости от класса условий труда Шаг 2. Рассчитывается уровень безопасности по (5.4).

Шаг 3. Рассчитываются обобщенный уровень безопасности (5.1), обобщенный уровень риска (5.2), годовой профессиональный риск (5.3). Результаты сводятся в таблицу:

Шаг 4. Определяется оптимальный вариант (профессия) по каждому критерию. Далее выбирается единственный вариант по всем критериям одновременно. При этом, если по разным критериям получились разные оптимальные решения (профессии), то необходимо выделить области «согласия» и «компромиссов» [1, c. 83-88]. Для области «согласия» принять оптимальное решение на основе рекомендаций [1, c. 83-88], для области «компромиссов» найти решение, используя один из предлагаемых в [1] подходов - аддитивный или минимаксный (максиминный) критерий.

Литература для подготовки к выполнению работы

1. Каневский Г.Н. Основы математического моделирования и принятия решений в технологических системах. Краткий курс лекций. / Г.Н. Каневский, Нижний Новгород, 2005

2. Вентцель Е.С. Исследование операций. / Е.С. Вентцель, М. Высш. шк., 2001

3. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных странах: учебник. Изд. 2-е, пререраб. и доп. / О.И. Ларичев, М., Логос, 2002

4. Конюхова Н. С. Аттестация рабочих мест. Комплекс учебно-методических материалов для студентов безотрывных форм обучения. / Н.С. Конюхова, Н. Новгород, НГТУ, 2007г.,88 с.

Таблица 2

Исходные данные для решения задачи загрузки оборудования