Курсовая работа: Функции Рикатти–Бесселя

Оглавление

Введение. 5

Глава 1. Теоретические основы функций Рикатти–Бесселя. 7

1.1 Историко-математическая основа и возникновение функций. 7

1.2 Математические свойства и аналитические представления. 8

1.3 Разнообразие видов и сфер применения. 9

Глава 2. Практическая реализация алгоритмов вычисления функций Рикатти–Бесселя 11

2.1 Построение базового алгоритма. 11

2.2 Улучшение алгоритма и оптимизация вычислений. 12

Заключение. 14

Список использованных источников. 17

Приложения. 18

Введение

Современное развитие прикладной математики тесно связано с углублённым исследованием специальных функций, представляющих собой решения дифференциальных уравнений, возникающих в физике, инженерии и других технических науках. Особое место в этом ряду занимают функции Рикатти–Бесселя, которые представляют собой видоизменённые решения уравнения Бесселя и играют ключевую роль в решении задач с радиальной симметрией — таких, как распространение волн в сферических координатах, квантово-механические задачи, акустика и электродинамика.

Функции Рикатти–Бесселя впервые были введены в научный оборот в XIX веке в процессе изучения волновых уравнений, где классические функции Бесселя не обеспечивали удобства интерпретации физических величин. Их основное преимущество заключается в способности выражать радиальные компоненты решений в более наглядной и физически осмысленной форме, особенно при переходе к асимптотическим представлениям. В частности, функции первого рода и второго рода , а также их комплексная комбинация — функция Ганкеля , позволяют компактно и удобно описывать как входящие, так и исходящие сферические волны.

С теоретической точки зрения, функции Рикатти–Бесселя строятся на основе сферических функций Бесселя и обладают рядом полезных аналитических свойств, включая рекуррентные соотношения, асимптотические формы, а также известные производные и интегралы. Однако, несмотря на долгую историю и широкую применимость, эффективные методы их численного вычисления требуют особого внимания. Особенно это касается расчётов при больших порядках nnn и малых или комплексных аргументах x, когда стандартные формулы могут приводить к потерям точности или численной неустойчивости.

Практический интерес к численной реализации функций Рикатти–Бесселя особенно актуален в контексте моделирования волновых процессов, решения радиальных уравнений Шрёдингера, задач рассеяния, акустики и даже астрофизики. В связи с этим задача построения устойчивых и точных алгоритмов расчёта этих функций, а также их программная реализация на современных языках программирования, таких как C++, представляет несомненный интерес.

Целью данной курсовой работы является всестороннее исследование функций Рикатти–Бесселя первого и третьего рода, включая их математические основы, историческую эволюцию, свойства и виды, а также построение и анализ численных алгоритмов для их расчёта с последующей реализацией на языке C++ и предложением методов оптимизации.

В соответствии с поставленной целью, работа состоит из двух основных глав. Первая глава посвящена теоретическим аспектам: рассматриваются история появления и развития этих функций, их связь с уравнениями Бесселя и сферическими волнами, основные формулы и аналитические свойства. Вторая глава носит практический характер: здесь анализируется построение численных алгоритмов, приводится программная реализация вычислений, а также рассматриваются возможные направления улучшения точности и скорости работы этих алгоритмов.

Таким образом, данная работа объединяет как математическую строгость, так и инженерную направленность, что позволяет рассматривать её как полноценный вклад в область прикладного анализа и численных методов в физике.