ДЗ 8: Векторный анализ (Кузнецов Л.А.) вариант 9

Распознанный текст из изображения:

8 01 09

и = Ь~(1+х') — ху ~г, 5: 4х' — у' +г' =16, М(1, -2, 4).

Х'(х,у,~) = 4х' — у'+ ~' — 16

дХ дХ дР

нормаль к поверхности К: Х = цгас1 Г(х, у, ~) =

дх ду ' дг

дХ дХ дХ'

=8х; = — 2у; =2~

дх ' ду ' дг

дХ(М) дХ(М) дХ(М)

дх ду ' дг

Х(М) = (8; 4; 8); М(М) = 12 ~ сок и = 2/3; сок,В = 1/3; сок у = 2/3

1 2

дУ 2х ~ — дГ ~ — ЛУ дх 1+ х' с~ д~ дУ(М) дУ(М) д~У(М)

дх ду ' дг д~У д~У дГ дУ

сока + сок,В + сок дЮ дх ду д~

дУ 2 1 1 2

у» =5 — — 2 — + — — =3

дЛ~ ' 3 3 2 3

Распознанный текст из изображения:

8 10 09 Р = (х+ у)1+ (х — у) д, Л: х'+ — =1(х>О,У>0), г У

9 М(1,0), Л~(О,З).

х=сояр р =г/2 А = |(Г„йх+ Г,, Ду) =

У=Зяпр рл, =0 л!'г | ((сокр к-Зкшр)( — кшр) к-(сокр — Зкшр) (Зсокр))йо = о л!г | ( — сок ряпр — Зкш' рк-3 сок' р — 9к1п рсокр')кр = о "'3 3

— (1+ соя2р) — — (1 — соя 2р) — 10яп рсоа р)сКр =

, 2 2 л!г

= 3 (Зсок2р — 10япрсокр)с~р = — яп2р — 5яп' р 2

о 3 т 3 3 3 — яппи — 5яп' — — — япΠ— 5яп'0 = — 0 — 5 1 — — 0 — 5 0 = — 5 2 2 2 2 2

Распознанный текст из изображения:

8 11 09 а = х1+г 1+у1,

х = сои|, у = 2яп~, Г:

~ = 2сокг — 2яп~ — 1. с1х = — Б1п ~ Й; с1у = 2 сок ~ Й; с1л = ( — 2 яп 1 — 2 со Б г) й Ц = !)3(а„йх+а, йуна, 6х) =

Г 2л

(сов!( — яп1) +(2сов1 — 2вш1 — 1) 2сов1+2вш1( — 2вш! — 2сов1))61 =

о 2г

(2сов! — 8сов'1+8сов'1+Звш1сов! — 16сов'1яп! — 4вш'1+8сов1вш'1)61 =

о 2л

(2 сов! — 2(1 + сов 21) + 8(1 — вш' 1) соЫ + 3 яп1соЫ вЂ” 16 сов'1вш1 — 4 + 8 сов1вш'1) 61 о яп2~ . я'и ~ я'и ~ сои ~ з 2 з яп 1

3 2япг — 2(г+ )+ 8(яиц — )+ 3 +16 4г+ 8 = — 12~

2 3 2 3 3 о

Распознанный текст из изображения:

8 12 09

а = уй + (1 — х) 1 — Л~,

х'+у'+г' =4,

Г: х +у =1(=>0).

Формула Стокса

ц=~а и Ж=Цп го1а Но

7 /

д/дх д/ф

д/д-

го1а =

а, а,,

и = (1;1;1)

и го1а = — 2

х +у =1

— 2 сЫ = — 2Л', = — 2~тА' = — 2~т

Ц=~а и сИ

Г

да да,, - да, да - да да,

— г+ ' — ' /+

ду дг д=: дх дх ду

Распознанный текст из изображения:

8 02 09

г г

1 = З,Г2х' - У - З,Г2 ', и = 'У,, М вЂ” ', 2,

угас1 Г(М) цгас1 Г(М)

8 8

~ и = агссоя(соки) =—

4

= 6~Г2х

дх

дГ Г

= — 6~Г2~

дг

щ~ уг

дх

дГ 2ху

г

2хуг

Щ ~З

дГ дГ дГ дУ дскб' дскб'

угас1Г = 1;; ~;угаИ1 = 1

дх ду д~ дх с~ д~

цгас1 Г(М) = 12~Г2; — 2~Г2; — 4~ГЗ1; цгас1 Г(М) = 8

цгас1У(М) = 16;2; — 2~Г6~;)угас1~У(М)) = 8

рас1Г(М) угас1Г(М) 2,Г2 6+2~Г2 2+2~Г6 4;ГЗ 1

сояи—

,Г

Распознанный текст из изображения:

8 05 09

а = х1+У1+А

Р: х + у/2+ г/3 = 1 ~ г = 3(1 — х — у /2)

7 6

п =11;1/2;1/31; п =

пх 6 п, 3

~ соки = — ' = —;сок,В = — ' = —;соку =

гг 7 п

п, 2 п 7

7

с1х с1у = — с1х с1у

2

с1х с1у =

и = )) апссо = О!а сока со оокВс а соку)асо =

6 3 2 7 1

ах — +ау — +а, — — с1хс1у = — ба, +Зау +2а, с1хс1у =

'7 У7 7 2 2

1

= — Ц 16х с 3 у с 2х) с!х с!у = — П 16 х с 3 у с 2 3 !! — х — у ! 2) ) с!х с!у

1

2 2

1

1 2 — 2х 1 2 — 2х 1

= — !) 6 с)х с)у = — ) с)х ) 6 с)у = 3) с)х ) с)у = 3) с2 — 2х) с)х =

2

О О О О О

1

1

= 6~(! — х)с!х= 6(х — х'!2) = 3

О

О

Распознанный текст из изображения:

8 06 09

З~

а = 21 — у1+ — Ж,

2

Р: х/'3+у+ ~/4 =1.

и = ~1(а п~ж = 0(а, сока к-а, сокВ к-а, соку)ж

4

соки = пх/ и =—

13

12 13

12 13

~ п = 11/3;1;1/41 ~ п =

соя В=пу/п

3

13

сояу=п,/п

к= 1 ° кЛ*.И и,=Л.й~~Р.й~'и,— — "и,

у

3

13 ' 4 12 3 1

П = — с1х ах — +ау — +а, — с1у= — с1х 4а, +12ау+За, с1у

3 , , 13 ' 13 13 3,

3 1 — х13

Зг

= — ~с1х ~ 4 2 — 12у+3 — 4 1 — — — у с1у=

3,' 2 3

1

3 1 — х!3

= — ~йх г (8к-18т — бах — 12у — 18ту)йу=

3,

1

3

1 — х!3

— с1х 8у+18ту — баху — бу' — 9уу'

3,

о

1 г 4х 2х2

— 2+ 9г+ — — бгх — + гх' с1х =

3, 3 3

1 2 2 3 .3

= — 2х+ 9гх+ — Згх' — + = 6+ 9г 3 3 9 3 о

Распознанный текст из изображения:

8 07 09 а = ( Б — х)к+(х — у6+ ~у' — ~М

Зх — 2у+г = 6 К:

Х=О,у=0,~=0 Т.к. поверхность замкнутая, то воспользуемся формулой Остроградского — Гаусса

да о ау да П = а п аЬ = сЬ ас1хс1уй = ' + ' + ' с1хс1уй дх ду дг

2 Зх!2 — 3 6 †-';2у = Щ( — ! — ! — !)!!х!!у!!х = — ЗЩ!!х!!у!!х = — 3) !!х ) !!у ) !!х =

0 0 0 2 Зх/2 — 3 2

Зх!2 — 3 = — 3~!!х ) (6 — Зх!-2у)!!у= — 3) !!х(бу — Зху!-у') 0 0 0

— 9х' = — 3 с1х бу — Зху+у' = — 3 +9х — 9 с1х = 0 0

Зхз 9хг г Зхз 9хг 2 = — 3 + — 9х = — 3 + — 9х = 18

4 2 о 4 2 о

Распознанный текст из изображения:

воспользуемся формулой Остроградского — Гаусса

П= а п сб= сйас1хс1уй= '+ '+ ' с1хс1уй=

дх ду дг

2л 1 1

= — 4 с~р гс1г с1л =

о о

2л 1 1 2

з Г з )'

= — 4 ~ Шр ~ (х — х ) Йг = — 4 2т) (х — х ) й = — 8т ——

о о о

2

8 08 09

а = л — 4у~ + 2х1,

~=х +у,

г =1.

= Щ(0 — 4+ 0)йхйудх = — 4П) Йхйуйх =

х = гсояр у = тяп р

4

— = — 8г.

4 о

1

— = — 2г

4

Распознанный текст из изображения:

Т.к поверхнлст ь замкнутая, то воспользуемся формулой Остроградского

Ох оус12 =

= = гяпд

— соя2д '2 г4 1 1

~ Иу1 яп20 НО1х' й = у ~ — = 2г 1 — =—

о 2 о 4о 4 2

8 09 09

а = (х- + у)~ + (гу — х) у' — (х + у )к

х+у+г =1

Л':

г = 0(г > О)

П = ф(а;п)аО = Щй1чайхйуйх = Щ

дх ду д

х = гсокдсоку

Я(х+ =)йхйуйх = 2Щ.йхйуйх = х = хоохОяпу

2п и 2 1

2 Иу с~д ~" со~д г~1пд сЬ о о о