Оглавление

Введение. 3

Глава 1. Теоретическая часть. 5

1.1. Понятие о голоморфной функции одной и нескольких независимых переменных. Голоморфное решение задачи Коши. 5

1.2. Понятие о мажоранте голоморфной функции. Оценка Коши коэффициента сходящегося степенного ряда. Построение элементарной мажоранты голоморфной функции. 8

Глава 2. Формулировки и доказательства. 12

2.1. Формулировка и доказательство теоремы Коши для уравнения первого порядка (общий случай) 12

2.2. Формулировка и доказательство теоремы Коши для линейного уравнения первого порядка. 13

2.3. Построение голоморфного решения задачи Коши для уравнения первого порядка. Вид решения, вычисление коэффициентов методом последовательного дифференцирования данного уравнения. 15

Заключение. 19

Литература. 20

Введение

Актуальность. Дифференциальным уравнением называется равенство, которое содержит независимые переменные, искомую функцию, а так же её производные. При этом независимые переменные всегда предполагаются действительными, а рассматриваемые функции вещественными и однозначными. Порядок старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения. Если существует только одна независимая переменная, то уравнение называется обыкновенным уравнением. В противном случае оно называется дифференциальным уравнением в частных производных. Системы дифференциальных уравнений изучаются также в теории дифференциальных уравнений.

Теоретической основой для нахождения решений дифференциальных уравнений в виде степенных рядов является теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши.

Учитывая большое значение многих линейных дифференциальных уравнений второго порядка для приложений, в тех случаях, когда их интегрирование с элементарными функциями не удается, их решения вводятся в виде новых трансцендентных функций. Таковы, например, функции Бесселя первого и второго рода, два линейно независимых решения уравнения Бесселя. Для определения этих функций часто используют представление решения уравнения в виде степенного ряда по возрастающим степеням, где - начальное значение. В аналитической теории дифференциальных уравнений показано, что если коэффициенты уравнения представляют собой многочлены или степенные ряды целых неотрицательных чисел, не равные нулю, то решения уравнения также выражаются степенными рядами, сходящимися по степеням, не равным нулю. -отрицательные целые числа. Не доказывая здесь этого общего положения, мы сможем в каждом отдельном случае доказать сходимость рядов, представляющих решения данного уравнения.

Целью данной работы является анализ теоремы Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши для уравнения первого порядка.

Исходя из цели, поставлены следующие задачи:

• рассмотреть понятие о голоморфной функции одной и нескольких независимых переменных. Голоморфное решение задачи Коши;
• рассмотреть понятие о мажоранте голоморфной функции. Оценка Коши коэффициента сходящегося степенного ряда. Построение элементарной мажоранты голоморфной функции;
• рассмотреть формулировку и доказательство теоремы Коши для уравнения первого порядка (общий случай);
• рассмотреть формулировку и доказательство теоремы Коши для линейного уравнения первого порядка;
• рассмотреть построение голоморфного решения задачи Коши для уравнения первого порядка. Вид решения, вычисление коэффициентов методом последовательного дифференцирования данного уравнения.