Ответы: Билеты и готовая теория для РК_модуль 1 (ИУ, РЛ, БМТ)

1) Сформулируйте определение окрестности точки x ∈ R.
Окрестностью U(x) точки x называют любой интервал, содержащий эту точку;
2) Сформулируйте определение ε-окрестности точки x ∈ R.
ε-окрестностью точки x (при ε>0) называют интервал (x - ε, x + ε).
3) Сформулируйте определение окрестности +∞.
4) Сформулируйте определение окрестности -∞.
Окрестностями точек -∞ и +∞ называют соответственно интервалы вида (-∞, a) и (a, +∞),
где a — произвольное действительное число.
5) Сформулируйте определение окрестности ∞.
Бесконечность ∞ «без знака». Окрестностью такой бесконечности называют объединение
двух бесконечных интервалов (-∞, -a) ∪ (a, +∞), где a — произвольное действительное
число.
6) Сформулируйте определение предела последовательности.
Число a называется пределом последовательности {Xn}, если для любого положительного ε существует номер N = N(ε) такой, что для всех номеров n >= N выполняется
неравенство | a-Xn | < ε. При этом пишут lim (n→∞) Хn = a.
7) Сформулируйте определение сходящейся последовательности.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Поскольку неравенство
| a - Хn | < ε эквивалентно неравенству a - ε < Хn < a + ε, то все элементы сходящейся
последовательности за исключением конечного их числа при любом ε > 0 лежат в
ε-окрестности точки a.
8) Сформулируйте определение ограниченной последовательности.
Последовательность {Хn} называется ограниченной снизу, если существует число С1
такое, что Хn >= С1 при всех n = 1, 2, . . . .
Последовательность {Xn} называется ограниченной сверху, если существует число C2
такое, что Xn <= C2 при всех n = 1, 2, . . . .
Последовательность {Xn}, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной,
то есть С1 <= Xn <= C2 при всех n = 1, 2, . . . .
9) Сформулируйте определение монотонной последовательности.
Последовательность называется монотонной, если она убывающая
или возрастающая.