ДЗ 1: Линейная алгебра вариант 12

• Задача 1. В линейном пространстве V₃ свободных векторов выбран правый ортонормированный базис (i, j, k). Этот базис поворачивается вокруг вектора е₁ (это один из базисный векторов) на угол φ (в положительном направлении, если φ>0, т.е. против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора е₁). Затем полученный базис поворачивается вокруг вектора е₂ (это один из базисных векторов нового базиса) на угол ψ. В результате получается новый базис (i`, j', k`). Найти матрицу перехода из старого базиса в новый.
• Задача 2. Векторы p и q евклидова пространства Е₄ представлены своими координатами в базисе a₁, a₂, a₃, a₄, векторы которого в свою очередь представлены своими координатами в некотором ортонормированном базисе.

а) применяя процесс ортогонализации к базису {а_i}, построить ортонормированный базис {b_i}
б) найти матрицу перехода T b_j->a_i из полученного ортонормированного базиса {b_i} в исходном базисе {а_i}
в) найти координаты векторов p и q в ортонормированном базисе {b_i}
г) вычислить скалярное произведение (p,q)
д) вычислить угол между векторами p и q

• Задача 3. Уравнение кривой второго порядка на плоскости Oxy привести к каноническому виду, указав:

а) преобразование перехода из заданной системы координат в каноническую (собственные числа ортогонального преобразования расположить в порядке возрастания)
б) канонический вид уравнения кривой
в) каноническую систему координат и кривую на плоскости Oxy

• Задача 4. Уравнение поверхности второго порядка на плоскости Oxyz привести к каноническому виду, указав:

а) преобразование перехода из заданной системы координат в каноническую (собственные числа ортогонального преобразования расположить в порядке возрастания)
б) канонический вид поверхности
в) в канонической системе координат построить поверхность, используя метод сечений для
исследования формы поверхности