Вопросы/задания к экзамену: Вопросы к экзамену по курсу

Вопросы к экзамену по курсу
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, РЯДЫ АКФ, 2 курс, гр. АК3-31
Модуль 1. Краткие сведения о квадрируемой замкнутой области на плоскости, площадь такой области. Критерий квадрируемости плоской области. Множество меры (площади) нуль. Теорема о связи квадрируемости замкнутой области на плоскости с характером ее границы. Примеры вида границ, гарантирующих квадрируемость области.
Определение двойного интеграла. Формулировка критерия существования двойного интеграла. Формулировки теорем: о необходимом и достаточных условиях существования двойного интеграла.
Формулировка и доказательство свойств двойного интеграла: линейность, аддитивность, сохранение знака подынтегральной функции, интегрирование неравенств. Свойства двойного интеграла: сохранение знака подынтегральной функции, интегрирование неравенств, теоремы об оценке двойного интеграла и о среднем значении.
Определение двойного и двукратного повторного интегралов. Формулировка (полная) теоремы о сведении двойного интеграла к повторному для -правильной области. Формулировка (полная) теоремы о сведении двойного интеграла к повторному для -правильной области.
Криволинейные координаты на плоскости. Формула для вычисления площади параллелограмма с малыми сторонами в криволинейных координатах (через , , ). Геометрический смысл модуля якобиана. Формула для элемента площади в криволинейных координатах. Формула для площади плоской области (в криволинейных координатах).
Формулировка (полная) теоремы о замене переменных в двойном интеграле. Вычисление якобиана в полярной системе координат. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
Краткие сведения о кубируемой замкнутой области в пространстве, объем такой области. Критерий квадрируемости плоской области. Множество меры (объема) нуль. Связь кубируемости области в пространстве с характером ее границы. Примеры вида границ, гарантирующих кубируемость замкнутой области.
Определение тройного интеграла. Формулировки теорем: о необходимом и достаточных условиях существования тройного интеграла.