Ответы к контрольной работе: РК №1 Теория

РК №1

_Теория

1. Определение двойного интеграла и теорема о его существовании. Изложите геометрический смысл интегральной суммы и двойного интеграла
2. Сформулируйте свойства двойного интеграла: а) линейности; б) аддитивности. Сформулируйте теоремы об: а) интеграле от константы; б) интегрировании неравенств; в) об оценке; г) о среднем.
3. Дать определение двумерной области, правильной в направлении оси OY ( оси OX ). Привести примеры правильной и неправильной области. Сформулировать теорему о сведении двойного интеграла к повторному в декартовых интегралах.
4. Дать определение полярных координат и написать формулы связи между декартовыми и полярными координатами. Написать уравнения в полярных координатах: а) луча, выходящего из начала координат; б) прямой, не проходящей через начало координат; в) окружности с центром в начале координат; г) окружности не проходящей через начало координат
5. Сформулировать теорему о замене переменных в двойном интеграле. Написать формулу для вычисления двойного интеграла в полярной системе координат.
6. Написать формулы для вычисления с помощью двойного интеграла: а) площади плоской фигуры; б) объема цилиндрического тела ограниченного сверху и снизу поверхностями z=f(x,y) и z=g(x,y); в) площади поверхности.
7. Написать формулы для вычисления с помощью двойного интеграла: а) массы ; б) координат центра масс; в) моментов инерции - неоднородной плоской пластины.
8. Дать определение тройного интеграла и сформулировать теорему о его существовании. Написать формулу для вычисления объема тела с помощью тройного интеграла.
9. Сформулируйте свойства тройного интеграла: а) линейности; б) аддитивности. Сформулируйте теоремы об: а) интеграле от константы; б) интегрировании неравенств; в) об оценке; г) о среднем.
10. Дать определение трехмерной области, правильной в направлении оси OZ. Сформулировать теорему о сведении тройного интеграла к повторному в декартовых интегралах.ъ
11. Дать определение цилиндрических координат и написать формулы связи между декартовыми и цилиндрическими координатами. Написать уравнения в цилиндрических координатах: а) конической поверхности с вершиной в начале координат и осью вращения; б) парабалоида вращения с осью вращения OZ; в) цилиндрической поверхности вращения вокруг оси OZ; г) полуплоскости, ограниченной OZ