Ответы: Теория

Интегралы, сессия. Версия по сайту Оглавление Введение. 4 Теория. 5 1 Первообразная. Доказать теоремы о первообразных. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов, ее вывод.+++. 5 2 Определенный интеграл, его механический и геометрический смысл, теорема существования. Доказать линейность и аддитивность определенного интеграла.+?+. 9 3 Доказать теоремы о переходе в неравенстве к интегралам, об оценке и о среднем для определенного интеграла.+++. 12 4 Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Доказать теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом.

Вывести формулу Ньютона-Лейбница.+++. 14 5 Вычисление определенного интеграла подстановкой и по частям (вывод). Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат (вывод).+++. 16 6 Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, доказать их свойства. Признаки сходимости. Доказать предельный признак сходимости для несобственных интегралов 1-го и 2-го рода. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.+++. 19 7.Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах (вывод).+++. 22 8 Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения (вывод).+++  25 9 Вычисление длины дуги кривой и площади поверхности вращения (вывод).+++.

27 10 Дифференциальные уравнения (ДУ_1-го порядка). Частные и общее решения ДУ, интегральные кривые. Задача Коши и теорема существования и единственности ее решения.+++. 32 11 Геометрическая интерпретация ДУ 1-го порядка. Поле направлений. Геометрическое решение ДУ 1-го порядка с помощью изоклин. Примеры.+++. 34 12 Простейшие типы ДУ 1-го порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли) и их решение. Примеры.+++. 36 13 ДУ n-го порядка. Частные и общее решения. Задача Коши, ее геометрическая интерпретация при n = 2 . Теорема существования и единственности решения задачи Коши.+++. 42 14 Понижение порядка некоторых типов ДУ высших порядков.+++.

44 15 Линейные ДУ (ЛДУ) п-го порядка: однородные (ОЛДУ) и неоднородные. Теорема о существовании и единственности решения. Линейный дифференциальный оператор. Доказать свойства линейного дифференциального оператора и линейность пространства решений ОЛДУ.+++. 46 16 Линейная зависимость функций. Определитель Вронского (вронскиан). Доказать теорему о вронскиане системы линейно зависимых функций и теорему о вронскиане системы линейно независимых частных решений ОЛДУ.+++. 48 17 Доказать теорему о размерности пространства решений ОЛДУ n-го порядка. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.+++ . 50 18 Формула Остроградского-Лиувилля для ОЛДУ n-го порядка (вывод для n = 2 ) и ее следствия.+++   51 19 Доказать теорему о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка и теорему о наложении частных решений.+++.

54 20 ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение и построение общего решения по его корням (вывод для n = 2 ).+++. 56 21 Нахождение частных решений неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.+++. 58 22 Метод вариации постоянных решения неоднородных ЛДУ n-го порядка (вывод для n = 2 ).+++. 59 23 Нормальные системы ДУ. Задача Коши и теорема о существовании и единственности ее решения. Сведение ДУ n-го порядка к нормальной системе, примеры. Сведение нормальной системы к одному уравнению n-го порядка (вывод для n = 2 ),  примеры.+++. 61 24 Системы ЛДУ 1-го порядка, однородные и неоднородные.

Матричная запись системы. Доказать линейность пространства решений системы ОЛДУ.+++. 63 25 Вронскиан системы векторных функций и его свойства. Доказать теорему о размерности пространства решений системы ОЛДУ. Структура общего решения. Фундаментальная система решений.+++ . 64 26 Структура общего решения системы неоднородных ЛДУ. Метод вариации произвольных постоянных (вывод).+++. 67 27 Системы ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод для случая вещественных различных корней).+++  68 Теоремы с доказательством.. 69 1 Теоремы об общем виде первообразной данной функции о ее свойствах.+++.

69 2 Основные свойства определенного интеграла: линейность определенного интеграла; аддитивность определенного интеграла.+++. 70 3 Теорема об интегрировании функций, связанных неравенствами.+++. 71 4 Теорема об оценке определенного интеграла.+++. 72 5 Теорему об оценке модуля определенного интеграла.+++. 73 6 Теорема о среднем для определенного интеграла.+++. 74 7 Теорема о производной от интеграла с переменным верхним пределом по его верхнему пределу.+++  75 8 Вывод формулы Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.+++. 76 9 Теорема о замене переменной в определенном интеграле.

Вывод формулы интегрирования по частям для определенного интеграла.+++. 77 10 Признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода, предельный признак. Исследование на сходимость интеграла+++. 79 11 Признаки сходимости несобственных интегралов 2-го рода, предельный признак сходимости.---  81 12 Вывод формулы для вычисления площадей плоских фигур, ограниченных кривыми, заданными в декартовой системе координат.+++. 82 13 Вывод формулы для вычисления площади криволинейного сектора, заданного в полярной системе координат.+++. 83 14 Вывод формулы для вычисления объема тела по известным площадям поперечных сечений.

Вывод формулы для вычисления объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.+++. 85 15 Вывод формулы для вычисления объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОY.+++. 87 16 Вывод формулы для вычисления длины дуги кривой, заданной в декартовой системе координат, параметрически, в полярной системе координат.+++. 88 17 Доказательство свойства линейности дифференциального оператора однородного линейного дифференциального уравнения (ОЛДУ) n-го порядка и линейность пространства решений ОЛДУ+++  91 18 Теорема о вронскиане системы линейно зависимых функций.+++.

92 19 Теорема о вронскиане системы линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения.+++. 93 20 Теорема о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.---. 94 21 Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.+++. 95 22 Вывод формулы Остроградского - Лиувилля. Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка по известному частному решению.+++. 96 23 Вывод формулы общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 2-го порядка в случае простых действительных корней характеристического уравнения.+++  99 24 Вывод формулы общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 2-го порядка в случае комплексных корней характеристического уравнения.+++  100 25 Вывод формулы общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 2-го порядка в случае кратных действительных корней характеристического уравнения.+++  101 26 Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.+++.

102 27 Теорема о наложении частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения.+++   104 28 Обоснование метода вариации произвольной постоянной (метод вариации Лагранжа) для линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка.+++. 105 29 Сведение дифференциального уравнения n-го порядка к нормальной системе.+++. 107 30 Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем линейных дифференциальных уравнений.+++. 108 31 Построение общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по корням характеристического уравнения (для случая действительных и различных корней).+++.

110 32 Метод вариации произвольных постоянных для неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений.+++. 111 Практика. 112 Памятка по формулам.. 112 Площадь криволинейной трапеции. 112 Длина дуги. 112 Площадь криволинейного сектора. 112 Объём тела вращения. 112 Площадь поверхности тела вращения. 112 Формулы общего решения характеристического уравнения. 113 Формула решения системы дифференциальных уравнений. 113 Интегрирование дифференциального уравнения. 114 Однородного. 114 Неоднородного. 114 Решение системы дифференциальных уравнений.

114 Пункт а. 115 Пункт б. 115 Составление дифференциального уравнения по его частным решениям.. 115 Способ 1 (долгий). 116 Способ 2 (быстрый). 116   Введение Здесь разобрана теория к РК 1 по интегралам и дифференциальным уравнениям. Основной источник информации - http://fn.bmstu.ru/educational-work-fs-12/70-lections/241-int , конспекты лекций, интернет. Доказательства из первой части («теория») можете не учить. Достаточно выучить только то, что находится в части «Теоремы с доказательством» Раздел практика – сборниу из пре....