Ответы к экзамену: Ответ на Теории по курсу "Интегралы и дифференциальные уравнения"

1 . Дайте определение первообразной функции на интервале. Докажите теоремы о первообразных и приведите примеры 2 . Дайте определение неопределенного интеграла. Сформулируйте и докажите его свойства. Приведите примеры. Таблица неопределенных интегралов. 3 . Сформулируйте и докажите теоремы об интегрировании подстановкой и заменой переменной для неопределенного интеграла. Приведите примеры. 4 . Сформулируйте и докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла. Приведите примеры 5) Интегрирование простейших дробей. Приведите примеры 6. Интегрирование произвольной дробно рациональной функции (опишите алгоритм и приведите примеры) бходимое и достаточное условия 7.

Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Его геометрический и механический смысл. Необходимое и достаточное условия интегрируемости. Сформулируйте определение интегрируемости на отрезке функции (без доказательства) 8. Определенный интеграл и его свойства. Докажите линейность и аддитивность определенного интеграла 9. Определенный интеграл и его свойства. Докажите свойство интегрирования неравенств и теорему об оценке. 10. Дайте определение среднего значения функции на отрезке. Докажите теорему о среднем. Объясните ее геометрический и механический смысл. 11. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его производной и формула Ньютона-Лейбница (с доказательством).

12. Сформулируйте и докажите теоремы о замене переменной и об интегрировании по частям в определенном интеграле. 13. Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат. Интегрирование периодических функций. Докажите формулы и приведите примеры. 14. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (1-го рода). Сходящиеся и расходящиеся интегралы. Сформулируйте и докажите их свойства. Исследуйте сходимость интеграла в зависимости от 𝜶 . 15. Несобственные интегралы от неограниченной функции (2-го рода). Сходящиеся и расходящиеся интегралы. Сформулируйте и докажите их свойства.

16. Сформулируйте и докажите признак сравнения для исследования несобственных интегралов. Приведите пример. 17.Сформулируйте и докажите предельный признак сравнения для исследования сходимости несобственных интегралов. Приведите пример 18. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы. Сформулируйте определения и свойства. Приведите примеры абсолютно и условно сходящихся интегралов. 19. Несобственные интегралы с несколькими особенностями, их сходимость и расходимость. Сформулируйте определения и приведите примеры. 20. Площадь плоской фигуры. Формулы для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми, заданными в декартовых и полярных системах координат и параметрически (с доказательством) 21.

Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений. Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ох. 22. Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Оy.Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси 𝑶𝒚 23. Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах 24.Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах и параметрически. 25.Площадь поверхности вращения. Вывод формулы для декартовой системы координат.(ось вращения Ох) 26. Дифференциальное уравнение 1-го порядка, определения частного решения и интегральной кривой.

Задача Коши и ее геометрическая интерпретация. Сформулируйте теорему Коши существования и единственности решения. 27.Дифференциальное уравнение 1-го порядка, его геометрическая интерпретация, изоклины, общее и частное решения. Сформулируйте определения и приведите примеры. Особая точка и особое решение. 28. Дифференциальное уравнение п -го порядка. Задача Коши. Ее геометрическая интерпретация для п = 2. Теорема Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения (формулировка). Краевая задача. 29. Уравнения, допускающие понижение порядка, и методы их решения (вывод). Приведите примеры. 30. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка.

Однородные и неоднородные. Теорема Коши существования и единственности решения (вывод из общей теоремы Коши). 31. Линейный дифференциальный оператор. Докажите, что решения ОЛДУ образуют линейное пространство 32. Линейно зависимые и независимые системы функций. Определитель Вронского. Примеры линейно независимых систем. Теорема об определителе Вронского системы линейно зависимых функций (доказательство). 33. Теорема об определителе Вронского системы линейно независимых решений ОЛДУ (доказательство) 34. Фундаментальная система решений ОЛДУ, сформулируй к* определение и докажите ее существование 35. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения п-го порядка.

Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения ОЛДУ п-го порядка. 36. Формула Лиувилля - Остроградского для ЛДУ (вывод для 𝒏 = 𝟐 ). 37. Понижение порядка ЛДУ при известном частном решении однородного уравнения(с выводом). 38.ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Сформулируйте и докажите теорему о связи между корнями характеристического уравнения и решениями ОЛДУ (случай различных действительных корней) 39.Построение фундаментальной системы решений ОЛДУ с постоянными коэффициентами в случаях кратных действительных и комплексносопряженных корней характеристического уравнения. 40. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения n - го порядка.

Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения НЛДУ n - го порядка. 41. Метод вариации постоянных Лагранжа для НЛДУ (вывод для п-2 42. Теорема (о наложении частных решений) 43. Системы дифференциальных уравнений. Задача Коши и теорема Коши существования и единственности решения нормальной системы (формулировка). Приведите пример 44.Сведение ДУ 𝐧 -го порядка к нормальной системе 46. Дайте определение общего решения системы дифференциальных уравнении. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения системы ОЛДУ. Фундаментальная матрица системы. 47. Формула Остроградского - Лиувилля для систем однородных ЛДУ (вывод для n=2).

48. Дайте определение общего решения системы дифференциальных уравнений. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения системы НЛДУ и теорему о наложении частных решений. 49. Метод вариации постоянных Лагранжа для решения неоднородных систем ЛДУ (вывод для n=2). 50. Системы ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое  уравнение. Построение общего решения (вывод для случая действительных и различных корней).