Вопросы/задания: Вопросы по курсу функционального анализа 1999

Вопросы по курсу функционального анализа 1999

1. Структура открытых и замкнутых множеств на прямой

2. Внешняя мера и ее свойства

3. Измеримые множества

4. Измеримость открытого множества, объединения счетного числа измеримых

множеств, измеримость замкнутого множества

5. Измеримость дополнения, пересечения счетного числа множеств

6. Счетная аддитивность меры

7. Измеримые функции и их свойства

8. Измеримость предела измеримых функций

9. Сходимость по мере. Связь между сходимостью по мере и почти всюду

10. Интеграл Лебега. Свойства верхних и нижних сумм. Интегрируемость по

Римману и Лебегу

11. Свойства интеграла Лебега. Интегрируемость по Лебегу измеримой и

ограниченной функции

12. Интеграл Лебега от неотрицательной неограниченной функции

13. Счетная аддитивность интеграла Лебега

14. Интеграл Лебега от произвольной неограниченной функции

15. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Теорема Лебега о предельном

переходе под знаком интеграла

16. Теоремы Леви и Фату о предельном переходе под знаком интеграла

17. Необходимое и достаточное условие интегрируемости по Лебегу

ограниченной функции

18. Теорема Фубини

19. Классы Lp. Неравенства Гельдера и Минковского

20. Полнота пространства Lp

21. Плотность непрерывных функций в Lp

22. Непрерывность в метрике Lp

23. Нормированные пространства. Основные определения и простейшие свойства

24. Линейные ограниченные операторы

25. Теорема о том, что пространство операторов L(X->Y) Банахово если Y -

Банахово

26. Теорема Банаха-Штенгауза и ее следствия

27. Теорема Неймана об обратном операторе (I-A)**(-1)

28. Теорема Банаха об обратном операторе

29. Теорема Хана-Банаха и ее следствия

30. Общий вид линейного функционала в конкретных пространствах

31. Слабая сходимость

32. Гильбертовы пространства, основные определения и свойства

33. Теорема Б.Леви о прямой сумме подпространств

34. Теорема Рисса-Фреше об общем виде линейного функционала в гильбертовом

пространстве

35. Ортонормированные системы, полнота и замкнутость

36. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля

37. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом

пространстве

38. Изометрия и изоморфизм сепарабельного гильбертового пространства

39. Теорема Рисса-Фишера

40. Сопряженный оператор и его свойства

41. Вполне непрерывные операторы и их свойства

42. Слабая компактность гильбертового пространства

43. Теория Фредгольма уравнения (I-A)*x=f, A - вполне непрерывный оператор.

Подготовительные леммы

44. Три теоремы Фредгольма

45. Спектральная теория линейных операторов в банаховом пространстве.

Спектр, резольвента, их свойства. Тождества Гильберта, функции от оператора

46. Спектральная теория вполне непрерывных операторов в гильбертовом

пространстве

47. Спектральная теория самосопряженных операторов

48. Спектральная теория вполне непрерывных самосопряженных операторов.

Существование собственных значений

49. Теорема Гильберта-Шмидта, формула Шмидта

Файл скачан с сайта StudIzba.com

При копировании или цитировании материалов на других сайтах обязательно используйте ссылку на источник