Вопросы/задания: Вопросы и задачи к экзамену
Описание
Характеристики вопросов/заданий
Список файлов
- Вопросы и задачи к экзамену
- 1. Вопросы по курсу функционального анализа.jpg 573,2 Kb
- 1. Список задач по функциональному анализу.jpg 366,92 Kb
- 2. Вопросы по курсу функционального анализа.jpg 294,95 Kb
- 3. Список задач по функциональному анализу.jpg 350,72 Kb
- 4. Список задач по функциональному анализу.jpg 367,43 Kb
- 5. Список задач по функциональному анализу.jpg 427,55 Kb
- Прочти меня!!!.txt 136 b
Распознанный текст из изображения:
СПИСОК ВОПРОСОВ, ВЫНОСИМЫЙ НА ЗАЧКТ
1. Открытые н замкнутые множества на прямой. Канторово множество и его свойства.
2. Свойства внешней меры. Измеримость открытого множества и счетного
объединения измеримых множеств. Измеримость замкнутого множества,
дополнения измеримого множества, разности и счетного пересечения измеримых
множеств.
3. Свойство счетной аддитивности ( ~г- аддитивности ) меры. Множества типа О, и
Р . Пример неизмеримого множества.
4. Измеримые функции и их свойства. Измеримость верхнего и нижнего пределов
последовательности измеримых функций.
5. Измеримость предела сходящейся почти всюду последовательности измеримых
функций. Сходимость по мере. Связь между сходнмостью по мере и сходимостью
почти всюду.
6. Теорема Рисса. Эквивалентность функций, являющихся пределами по мере одной
последовательности измеримых функций.
7. Интеграл Лебега от ограниченной функции. Интегрируемость ограниченной и
измеримой функции на множестве конечной меры.
8. Свойства интеграла Лебега от оганиченной функции.
9. Интеграл Лебега от неограниченной и неотрицательной функции. Полная
аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Мажорантный
признак суммируемости.
10. Интеграл Лебега от неограниченной функции любого знака. Теорема Лебега о
предельном переходе под знаком интеграла.
11. Полная аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега от
неограниченной функции любого знака. Теорема Леви и следствие ее для рядов.
Теорема Лебега-критерий интегрируемости.
12, Теорема Фубини. Интеграл Лебега для множества бесконечной меры.
13. Классы Ьр, р>1. Неравенства Гельдера и Минковского.
14. Полнота пространства ?.р.
15. Плотность множества непрерывных функций в Ьр. Непрерывность в метрике Ьр.
16. Метрические пространства. Теорема о вложенных шарах.
17. Принцип сжатых отображений. Теорема Бэра о категориях.
18. Линейные нормированные пространства. Теорема Рисса.
19. Линейные операторы и их свойства. Теорема о полноте пространства линейных
ограниченных операторов.
20. Теорема Бенаха-Штейнгауза( принцип равномерной ограниченности ) н следствие
из нее. Пример из теории рядов Фурье на применение теоремы Банаха-Штейнгауза.
21. Обратный оператор. Достаточные условия существования обратного оператора.
22. Теорема Банаха об обратном операторе.
23. Теорема Хана-Валаха о продолжении линейного функционала в линейном
нормированном пространстве.
24. Об~ций вид линейного функционала в конкретных пространствах.
25. Слабая сходимость. Связь между сильной и слабой сходимостью. Критерий
сильной сходимостн.
26. Определение гильбертова пространства и его основные свойства. Теорема об
элементе с наименьшей нормой.
27. Теорема Леви об ортогональной проекции. Разложение гильбертова пространства
на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.
Распознанный текст из изображения:
Список задач по функциональному анализу (202л' год).
1. Пусть Х - линейное нормированное пространство. Доказать, что,тля
любьас элементов х, у Е Х вьшагняется неравенство )[х[[ < шах([[я+у[), ([х- у[().
2. Можно ли в пространстве С'(а, Ь) принять за норму элемента х(!)
А) шах (х(Г));
ЬЕ[а,Ь[
В) ьпзх [х'(г)[;
Ь в[а,Ь[
С) (х(Ь) — х(а) [ + пшх [х'(г) [;
ЬЕ[а,Ь[
[1) [х(а)[+ ьпах [х'(Г));
ЬЕ[а.ь[
ь
Е) 1 [х(Г)[41+ шах [х'(!)[?
ЬЕ[а.ь[
3. будет лн множество всех многочленов в пространстве С(а, Ь]
Л) открытым; В) замквутьсч'1
4. Докати-, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейной
норынрованном пространстве есть надпространство.
5. Пусть Х - линейное норынрованное пространство. 1, С Х - .шнейное
многообразие, ь, ф Х. Доказать, что Х.не содернсит никакого шара.
6. Образуют ли в пространстве С[ — 1.1) падпрастрлнства гледткмпиа
множества функций:
Л) ыоногонные функнии; В) четные функшгн: С) ыногочлены; Р) непрерывные
кусо шо-линейные функции?
7. Образуют ли в пространстве С(-1,1) надпространства следующее
множества функций:
А) ььпагачленьс гтеп.ни < Е В) непрерывно льффараыпнрусиьге функции:
С) непрерывные функции с ограниченной вариацией; О) функции х(!),
удовлетворяющие условию х(0) = О?
8. Пусть Х - линейно парынравшшае пространство. ьпюжсгтвл .4 С Х
- фиксировано. Доказать, что у(х) = р(х, Л) - непрерывное отображение Х
в Н.
9. Лаказатгч чта всякое копс шоыгрпа 'линейное нормированное пространства
является банаховыъь
10. Доказать, что надпространства банахова пространства является банаховым
пространством.
11. Может яи в банаховоы пространстве иметь пустое пересечение
последовательность непустых замкнутых вложеиньсс множеств?
12. Локвзать. чта в пространства га сьзьтярььььм праььзагдгппгы для льобих
элементов х,у, = имеет место тождество Аполлония: [[з-я[[э+[[с-у[[ = гь[[х—
у[)з + 2[)х — етд[[-'.
13. Локазать, что для того чтобы элемент х гпльбертовога пространства
Н был ортогонален подпространству ь' С Н, неЖходимо и достаточна,
чтобы для любого элемента у Е .0 иььеча место неравенство [[х[[ < [[х — у)[.
14. Доказать, что при фиксированном натуральном п множество 31 = х Е!..
п
:г = (хь,хз,...): Я хь = 0 является подпространством пространства!з.
ь=!
Распознанный текст из изображения:
28. Теорема Рисса-Фреше об общем виде линейного функционала в гильбертовом
пространстве.
29. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Неравенство Бесселя.
Полнота и замкнутость ортонормированной системы. Слабая сходимость ее к нулю.
30. Теорема о существовании ортонормированного базиса в сепарабельном
гнльбертовом пространстве, Теорема об изоморфизме и изометрии всех
сепарабельных гильбертовых пространств.
31. Теорема Рисса-Фишера. Теорема о слабой компактности сепарабельного
гильбертова пространства.
32. Сопряженный оператор, теорема о сопряженном операторе. Теорема о прямой
сумме замыкания образа линейного ограниченного оператора и ядра сопряженного.
33. Вполне непрерывный оператор. Пример интегрального вполне непрерывного
оператора. Свойства вполне непрерывного оператора.
34. Первая теорема Фредгольма
35. Вторая теорема1 альтернатива ) Фредгольма.
36. Третья теорема Фредгольма.
37. Понятие и спектре линейного оператора в бесконечномерных пространствах.
Теорема Гильберта-Шмидта.
Распознанный текст из изображения:
Описать такое подпространсгво Р?, что (з — — И Щ Ж.
15. В пространстве (з рассмотрим последовательность хь = (1, р., -эк, з]т, - ), я 6
Ф. Доказать, что линейная оболочка этой последовательности всюду плотна
в пространстве 1з.
16. Доказать, что следующие операторы являются линейными ограниченными
и найти ик нормы:
А) А: С'[а,б] ~ С[а,б],Ах(г) = ф'
1
В) А: Е [О, Ц -э Е [О,Ц,Ах(1) =1] х(т)Ат.
е
1?. Пусть Х и Р - линейные нормированные пространства, А: Х -э У-
. гпнейный оператор с об частью изменения )?(4).
А) Доказать, что В(А) - линейное многообразие в 1' .
В) Всегда ли Р(.4) - надпространство в У?
18. Доказать, что в банаховом пространстве Х для любого А 6 Е(Х э Х)
( Г1Ь ~а~1 ~~ 1 Цв ~зй
определены операторы в(пА = Е. ~+ —,-, соеА = 2"
э=а ь=е
юю'
19, Пусть Х - балаково пространство, А 6 Е(Х -+ Х). Доказать, что
]]е']] < еел1. Найти ег, где 1 - тождественный оператор.
20. Рассмотрим оператор Л: С[0. Ц -+ С[0. Ц. Ах(г) = ?;в + х(г) г
областью определения ЕЗ(А) - линейным многообразием двелсзы непрерьсвио
,зифференпируемьсс функпий х(г), удовлетворяюпшк условиям х(0) = а'(0) = О.
Найти: ! 1 и доказать, что он ограничен.
21. Рассмотрим оператор А: С[0, Ц -~ С[0, Ц, Ах(1) = ] е ' ' х(е)ав.
о
Сушсгтвусг ли оператор Л г?
22. Рассмотрам оператор А: С[О, Ц -э С[0, Ц, .4х(Г) = ] х(г)Ат + х(1).
о
Пусть У(.4) - ядри оператора А.
Л) Доэззать, что Ф(4) = (0), так что прн любом у б С[0, Ц уравнение
.4:г = у не может иметь бсьзее одного решения.
В) Найти оператор А ' и доказать. что он ограни «и.
!
23.Доказать, что оператор А: С[0, Ц -+ С[0, Ц, Ах(1) = х(1)+] с' ' 'х(в)Иг
о
имеет ограяиченный обратный и найти .1
24. Пусть Х - комплексное линейное пространство, у - определенный на
Х и не равный тоислественно нулю линейный функционв.ч. Доказать, что
область значений / есть есс С.
2о. Доказать, что следующие функционалы в пространство С[-1, Ц являются
линейными непрерывными и найти ик иормьс
Л) г(х) = (.г. Е) = 2[т(\) — х(0)]:
е 1
В) У(х) = (*,У) = 1 х(1)~-~х(Г)йа
— ! е
26. Доказать. чтл следующие функпиона; в пространстве С[ — 1. Ц являются
лиш.п:..мп непрерывными н найти пх нормы:
Распознанный текст из изображения:
А) У(х) = (*, 1) = Е пзх(еь);
з=1:
1
В) Пх) =з(х,йж) хЯй-х(0)з
ь1
где гзз.~ )?, $ь.е![-1;-Ц.
' Я7-.!Будуе1~:-ли "бграй]з~евзг 1в отросгранствеос[0,4] ~лелуюп]де линейные
фанз(цибййы':
о о
А) (х,Д = ) х(зз)г?1; В) (х,?) ы )пп Д~(~1)ей?
о '-зыо
28. Доказать, что следующие функпогоналы являются линейными непрерывными
и найти ик нормы:
1 1
А) (х, У) =, ] Гх(Г)Ж; х Е С'[-1, Ц; В) (х, /) = „' Гх(Г)г?Г. х = у[-1, Ц,
-у -1
29. Доказать, что функпиоиао (х,у) = 2 Зьь„х = (хыхз,...) Е 1о,
«=г
является линейным непрерывным, и найти его норму.
1
О. Для х(г) ь С[-1, Ц гюлояснм (х у) = — ) — + ] гх(г) . и влз-.
-1
что у - ограниченный л'. нейный функплэяал.
31. Найти сопряженный к оператору .4: з',з[О, Ц -ь В. [О, Ц, если
Ф 1
Д) Ах(Г) = ~ х(т)г(т; В) Ах(Г) ы /Ех(з)?з.
о з
32 г(дйззО сооряженный к оператору .4: 1з -+ (з, если
Д) Ах = (хм хз, ..., х„, О, О, ...);
В),4х = (О„хг, хз, ...)
прн х = (хы хз, ...).
33. Найти сопряженный к оператору .4: 1 -+ 1, еспн
Д) Ах = (Л~ты Л тс....). Л„й г?; ]Л ] < 1;
В) Ах = (хз,хз,...)
при х = (хг, хз, ...).
34. Какие нз глзлующнк операторов .4: С[О, Ц -+ С[О. Ц являютгя впотнз
непрерьгвными:
А) Ах(г) = гх(г);
!
В) Ах(г) = ]'х(т)й;
о
С) Ах(1) = х(0) + ех(1);
1
Р) Ах(Г) = ] егзх(з)сЬ;
о
Б) А (г) = х(гз)?
33. Будет лн впатне непрерывным оператор А: С[-1, Ц -+ С[-1, Ц,
:~(г)'= -,'[*(г)+.(-г)]?
36. Прн каком условии на функцию р(Г) е С[0, Ц оператор А: С[О, Ц "+
С[0, Ц, Ах(1) = ьз(1)х(1) будет вполне непрерывным?
37. БУДет лн вполне непРеРывным опеРатоР Ах(Г) = зз',, если он РассматРиваетсЯ
как действующий:
Распознанный текст из изображения:
А) А:С [О,Ц- С[О,Ц;В) А<Се[О,Ц-+С>[О>Ц;С).А:Се[О,Ц-,»ма[О,Ц?
33. Сформулировать критерий, компактности в'1р. Канне из следующих
операторов А: 1» -+ 1з вполне непрерывны (прн з' =. (х<, хз,;..)):
А) Ах = (О х<,хт,...); В) Ах = (хюйза,лзь,...); С) Ах = (О х<, взк,еза,...)?
39. Доказать, что оператор А ! 1з -> 1», Ах =<.(Л(хй>Лзхз, и!) (д1)я х =
(т .хд ":?Ц$~ьгде ЛА:фее ф р „ф ву»,[Л»] -аббе>езйрнъ 9»)фрд~~йлсенньгй
опеРатоР. ПРВкакомтУСлоынйи на пбрнЕДоватаыьйоРть>Ль <онбУДей'„.34~иЦательным?
40. Док>атать, что опаратор А .1 Ет[0, 1] ~ ~в[О, 1], Аль[(1) =' 1хл[() есть
неотрицательный саь<осоцрсяженнь<й оператор.
!
41. Доказать, что оператор А ! Хе[0, Ц -+ 1~[0, Ц, Ах(1) = ) еьь<х(в)сЬ
е
явлжтся самогопряжеппым и неотрицательным.
42. Пусть Л Е Л, Л ф 0 фиксировано. Доказать, что разностпь<й огератор
1 ! бз(-, ) бз(- ), 1 (1) = — »" [х(1+ Л) — х(1 — Л)1
самосопряженным.
43. Пусть А - самосопряженный оператор, действующий в гиаъбертовом
пространстве Н, причем А ~ О. Дбказать, что есле существует ограниченный
оператор А ', то обратный оператор то:ке самосопряжен.
44. Пусть <-'.-:рш ичслнз;й самосопряженный оператор, Л Е С,?>лЛ ~ О.
Дою<зачти что оператор (.4 — Л 1) ! сушествуег.
4о. Рассмотрим оператор А: 1 -+ 1. Ах ы (0,0,зз.х<,...) дчя т =
(х<,хм хз, -) Е 1 . Доказать, что А самосопряжен в 1! н ! В О. Найти
оператор»'.4.
46. В вещественном линейном прогтрангтве С[-т, х] найти собствгнимл
значения и собственные векторы оператора
" "-т< "Ах(1) = х(-1); В) Ах(1) = )' сое(3+ 1)х(е)<Ь.
47. В пространстве С[0, ц рассмбтрим оператор Ах(1) = х(0) + гх(Ц,
Найти п(А), г (А), Я»(А).
43. Рлггмотрнм опгратор А: Н -> 1, А! = (Л<х>,Л х,...) тля х =
(х<,х, ...) Е 1», где Л„Е С,п Е .<1, зпр ]Л [ < Ч-сс. Найти п(А).
»
49. Л<жнзать. что <>пгратор А ! 1. -> 1>. Ах = (О. х!. ~,", К>ь ...) лля х =
(х<,хв, ...) Е 1з вполне непрерывен и найти его спектр.
!
50. Доказать, что оператор А: Е [-1, Ц -+ Е >[-1, Ц, Ах(ц = [ взгх(ц<11
-!
вполне непрерывен и найти его спектр.
!
31. Доказать, что оператор А: Е. [О, Ц -+ 1,к[0, Ц, Ах(1) ы 1 кг(1- кг)х(1)<11
е
вполне непрерывен и найти его спектр.
Файл скачан с сайта StudIzba.com
При копировании или цитировании материалов на других сайтах обязательно используйте ссылку на источник
Начать зарабатывать