Ответы: Решения многих билетов к экзамену 2022г (Теория + Задач)

Решения многих билетов к экзамену 2022г (Теория + Задач)

Всем удачи!

​

Билет 1.

1.Доказать теорему о существовании счетного ОНБ в сепрабельном ГП. Компактные множества в МП.(определение).
2. Доказать теорему об ограниченности относительно компактного множества.

Билет 2.

1.Определение НП, БП. Полнота. Фундаментальная последовательность. Расстояние от точки до подпространства, доказать лемму Рисса.
2.Определение ОНБ в ГП. Доказать критерий базисности ОНС в ГП, связанной с разложением элементов в ряд Фурье. (то, что любой элемент является суммой своего ряда Фурье)

Билет 3.

1.Доказать неравенство Юнга и Гельдера. (для интегралов)
2. Доказать теорему об изоморфизме всех Гильбертовых сепарабельных пространств. (следствие + теорема перед следствием)

Билет 4.

1.ОНС. Ряды Фурье в ГП. Доказать теорему о расстоянии от элемента до подпространства, являющимся линейной оболочной n первых элементов ОНС. (До Ln, где Ln – линейная оболочка {e1…en}, {e1…en} – ОНС). Доказать неравенство Бесселя.
2.ПМП. Доказать теорему о вложенных шарах.

Билет 5.

1.Определение ортогональных элементов в ГП. Доказать теорему о разложении ГП в ортогональную сумму подпространств. (H – ортогональная сумма L и ортогонального дополнения)
Для этого 1)Доказываем теорему о расстоянии от элемента до замкнутого выпуклого множества. 2) Доказываем, что элемент x – y, где у тот самый элемент, на котором достигается расстояние ортогонален L. Из 1) и 2) следует теорема о разложении
2.Определение локально компактных НП. Доказать теорему о локально компактных НП.

Билет 6.

1.Компактные множества МП. Доказать теорему об ограниченности относительно компактного множества.
2. Определение ОНБ в ГП. Равенство Парсеваля, как критерий базисности.

Билет 7.

1.Доказать теорему о сжимающих отображениях.
2. Определение ГП. Доказать теорему о предельном переходе. Равенство параллелограмма.

Билет 8.

1.Определение ортогональных элементов. Доказать теорему о разложении ГП в ортогональную сумму. (см. билет 5)
2. Определение локально компактных НП. Доказать теорему о локально компактных НП

Билет 9.

1.Доказать неравенство Минковского. (пользуясь неравенством Гельдера как факт)
2. Определение ГП. Доказать теорему о расстоянии от точки до замкнутого выпуклого множества.

Билет 10.

1.Счетный базис в БП. Оказать теорему о сепарабельности БП со счетным базисом.
2.Компактные множества в МП. Доказать теорему об ограниченности относительно компактного множества.

Билет 11.

1.Определение ОНБ. Критерий базисности ОНС. Любой элемент есть сумма своего ряда Фурье.
2. Непрерывные функции в МП. Доказать теорему о свойстве непрерывных функций заданных на компактном множестве. (непрерывная функция компактное множество переводит в компактное)

Билет 12.

1.Сепарабельные пространства. Доказать, что пространство С[a,b], s – сепарабельное, а пространство m – не сепарабельное.
2. Замкнутость ОНС как критерий ее базисности.

Билет 13.

1.Доказать теорему о связи нормы элемента конечномерного НП с евклидовой нормой вектора координат этого элемента фиксированного базиса (Есть конечномерное линейное НП, выбираем базис и раскладываем элемент по базису и в соответствие элементу ставим столбец координат)
2. ПМП, пополнение МП. Доказать теорему о вложенных шарах.

Билет 14.

1.ПМП, пополнение МП. Доказать теорему о вложенных шарах.
2.Определение ГП. Доказать теорему о предельном переходе скалярного произведения. Равенство параллелограмма.

Билет 15.

1.Определение E-сети. Доказать критерий компактности Хаусдорфа. Сепарабельность компактного пространства.
2. Доказать замкнутость всякого конечномерного линейного многообразия НП.

Билет 16.

1.Свойство оператора Вольтерры и его степени.
2. Полная ОНС. Полнота как критерий базисности.

Билет 17.

1.Доказать теорему о сжимающих отображениях в ПМП.
2. ОНС. Ряды Фурье в ГП. Доказать теорему о расстоянии от элемента до подпространства, являющимся линейной оболочной n первых элементов ОНС. (До Ln, где Ln – линейная оболочка {e1…en}, {e1…en} – ОНС). Доказать неравенство Бесселя.

Билет 18.

1.Доказать неравенство Юнга и Гельдера.
2.Докать теорему о связи нормы элемента конечномерного НП с евклидовой нормой вектора координат этого элемента в фиксированном базисе.

Билет 19.

1.Доказать Критерий Арцела.
2. Счетный базис в БП. Оказать теорему о сепарабельности БП со счетным базисом.

Билет 20.

1.Определение E-сети. Доказать критерий компактности Хаусдорфа. Сепарабельность компактного пространства.
2.Полнота ОНС как критерий базисности.

Фурье и БП – в книге «Ряды» Е.А.Власова.

Задачи:

1.Доказать, что система уравнений имеет единственное решение в пространстве m,l₁,C[a,b]. (задача 2 ДЗ)
2.Найдите расстояние от элемента до подпространства. (последняя задача в ДЗ)
3.Даны последовательности. Являются ли эти последовательности элементов сходящимися в пространстве m. (разобраны в зеленой методичке. Где-то сходятся, где-то расходятся.)
4.Докажите, что множество М является относительно компактным в C[0,1].Критерий Арцела.
5.В ГП l₂ найти расстояние от элемента до подпространства.
6. Даны последовательности. Являются ли эти последовательности элементов сходящимися в пространстве m.
7.Доказать относительную компактность в C[0,1] множество функций вида...(функции в виде интеграла могут быть, 3 задача ДЗ)
8.Найти расстояние от элемента до подпространства в l₂.
9. Доказать относительную компактность в l₁.
10. Доказать, что метрическое пространство с какой-то метрикой не является полным. Найти его пополнение (есть в зеленой методичке).
11.Найти расстояние от L₂ до подпространства L.
12. Доказать относительную компактность множества из l₁.
13. Найти расстояние от элемента f до подпространства L в L₂[0,1] (задача 3 ДЗ).
14. Является ли множество относительно компактным в C[0,1].(РК 1. Т.е если написано «выяснить, является ли множество», то оно не является. В зеленой методичке задача прям отсюда)
15.Относительная компактность множества в C[0,1].
16. Докажите, что пространстве l₃ нельзя ввести скалярное произведение.(что равенство параллелограмма для каких-то элементов, которые вы подберете, не выполняется.)
17.Выяснить, сходится ли последовательность из степенных функций из C[0,1]. (зеленая методичка)
18.Доказать, что множество не является относительно компактным.
19. Доказать, что в l₁ нельзя ввести скалярное произведение.

20.Выяснить, являются ли относительно компактными два множества. (одно является, другое нет).

21.Доказать, что уравнение имеет единственное решение в C[0,1](РК).

22.Доказать относительную компактность в C[0,1] множества.

23.Доказать, что в пространстве C[0,1] нельзя ввести скалярное произведение.

24. Какова мощность множества.(12 билет)

25. В пространстве L₂ найти расстояние от функции до подпространства.

26. Доказать относительную компактность.

27. Доказать выпуклость множества в C[0,1]. (зеленая методичка)

28. Доказать, что множество является относительно компактным.

29. В пространстве L₂[0,1] найти проекцию элемента на подпространство. Найти расстояние от этого элемента до подпространства.

30. Доказать, что МП с метрикой (через arctg) не является полным. Найти пополнение.

31.Является ли множество относительно компактным(РК 1, такое же условие)

32. Выяснить, сходится последовательность функций в МП C[0,1]. Если сходится, найи предел. Может сходится и расходится.

33. Доказать, что множество относительно компактно в C[a,b].

34. Доказать, что в m нельзя ввести скалярное произведения.

35. Найти в L₂ расстояние от элемента до подпространства.

36. Относительная компактность в C[0,1]

37. Доказать существование единственности уравнения в l₂.

38.Доказать, что в l₁ нельзя ввести скалярное произведение.

39. В пространстве L₂[0,1] найти проекцию элемента на подпространство. Найти расстояние от этого элемента до подпространства.

40. Выяснить, сходится ли последовательность в МП C[0,1].