Лабораторная работа 13: Лабораторная работа

Лабораторная работа № 13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНДУКТИВНОСТИ СИСТЕМЫ КАТУШЕК Цель работы: определение индуктивности двух разных соленоидов, взаимной индуктивности системы этих соленоидов при различных способах их включения. Введение Рассмотрим контур с электрическим током силой I. Ток создаёт магнитное поле. Полный магнитный поток  (потокосцепление) сквозь поверхность, ограниченную контуром, называется собственным магнитным потоком. При изменении силы тока в контуре будет изменяться и собственный магнитный поток. Это приводит к тому, что в контуре индуцируется вихревое электрическое поле, энергетической характеристикой которого является ЭДС самоиндукции. Величина  пропорциональна магнитной индукции В, которая, в свою очередь, по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток в контуре I и создаваемый им полный магнитный поток  пропорциональны друг другу: Ψ LI . Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. Следовательно, индуктивность — это величина, численно равная собственному магнитному потоку, пронизывающему данный контур при силе тока в нем, равной 1 А. Индуктивность контура в отсутствие ферромагнетиков зависит только от геометрии контура (т. е. его формы, размеров, числа витков). В частности, индуктивность длинного соленоида (если диаметр его витков много меньше его длины) можно рассчитать по формуле 2 μ N S 0 L l  , (1) где N — число витков; 2 4 πD S  — площадь поперечного сечения соленоида; D и l — соответственно его диаметр и длина; μ0 — магнитная постоянная (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 5). Теперь рассмотрим два контура, расположенных достаточно близко друг к другу (РИС. 13.1). Если в контуре I течёт ток силы I1, то он создаёт сквозь поверхность, ограниченную контуром II, полный магнитный поток Ψ12, пропорциональный току I1: Ψ12 12 1  M I . Аналогично при протекании тока I2 по второму контуру возникает магнитный поток, сцепленный с контуром I: Ψ21 21 2  M I . Коэффициенты пропорциональности М12 и М21 называются взаимными индуктивностями контуров. Их величина зависит от геометрии и взаимного расположения контуров и не зависит от силы токов I1 и I2 при условии отсутствия ферромагнетиков. В этом случае из закона сохранения энергии следует, что M21 = M12. Для двух длинных соленоидов (РИС. 13.2), надетых на один сердечник, коэффициент взаимной индукции 0 1 2 2 1 μ N N S M l  , (2) где N1 и N2 — число витков внешнего L1 и внутреннего L2 соленоидов, S2 — площадь сечения внутреннего соленоида, l1 — длина внешнего соленоида. 77 Рис. 13.1 Рис. 13.2 Рассмотрим индуктивность системы двух соленоидов L1, L2 для двух различных способов их соединения, изображённых на РИС. 13.3А и 13.3Б. Индуктивность этой системы катушек в том случае, когда их магнитные поля направлены в одну сторону (РИС. 13.3А), определяется по формуле L L L M      1 2 2 , (3) где L1 и L2 — индуктивность каждого соленоида в отдельности, М' — взаимная индуктивность. а б Рис. 13.3 Если соленоиды подключить так, что их магнитные поля направлены навстречу друг другу (РИС. 13.3Б), то индуктивность такой системы равна L L L M      1 2 2 . (4) Из формул (3) и (4) выводят выражения для М' и М":  1 2  2 L L L M     ,  1 2  2 L L L M      . (5) Величины L1, L2, L', L" находят экспериментально, a M' и М" вычисляют по формулам (5). При неизменном расположении соленоидов М' = М" = М. Вывод формул (1), (3), (4) предлагается студентам провести самостоятельно. 1. Описание установки и метода измерений Принципиальная схема установки представлена на РИС. 13.4. От генератора звуковой частоты Г переменное напряжение 0 U U cosωt подаётся на последовательно 78 соединённые соленоид L и резистор R. Милливольтметр mV служит для определения амплитудных значений напряжения, а осциллограф ЭО — для наблюдения качественной картины изменения этого напряжения. Сопротивление R подбирают таким образом, что напряжение на катушке L много меньше, чем на резисторе R. В этом случае проходящий через соленоид ток можно с достаточной точностью определить по формуле 0 U U cosωt I R R   , где U0 — амплитудное значение напряжения, ω πν 2 — круговая частота, ν — частота. Вследствие изменения потокосцепления самоиндукции соленоида ЭДС самоиндукции в нём Ψ 0 s L sin sin d dI U L L ω ωt U ωt dt dt R E        , где 0 L U Lω U R  — амплитудное значение ЭДС самоиндукции. Отсюда находят индуктивность соленоида 0 02 U R U R L L L U ω U πν   . (6) Значения U0 и UL измеряют по милливольтметру mV, частоту ν — по шкале частот генератора, R задано на установке. Рис. 13.4 Измерения проводят для двух разных соленоидов L1, L2, а также для системы этих соленоидов, надетых друг на друга, при двух способах их соединения L', L". По формулам (5) вычисляют М' и М" и убеждаются в справедливости равенства М' = М". Найденные из опыта значения L1, L2 и М сравнивают с их теоретическими значениями, рассчитанными по формулам (1) и (2). 2. Порядок выполнения работы Перед началом работы ознакомьтесь с таблицей на стенде. Часть 1. Определение индуктивности соленоидов L1 и L2 1. Для измерения U0 соберите электрическую цепь по схеме РИС. 13.4 без соленоида. Концы кабелей от генератора, осциллографа, милливольтметра с обозначением «Земля» () подключите к нижнему ряду клемм, расположенных на специальной панели. 2. С помощью ручки генератора «Частота» установите частоту ν = 200 кГц (или 100 кГц). 79 3. Включите генератор, милливольтметр, осциллограф тумблерами «Сеть». Положения всех ручек этих приборов указаны в таблице к установке. 4. Напряжение U0 измерьте по милливольтметру. С помощью ручки генератора «Peг. выхода» добейтесь значения U0 около 2–3 В. Предварительно установите пределы измерений на вольтметре генератора и на милливольтметре — 3 В. 5. В цепь по схеме РИС. 13.4 подключите один из соленоидов (например, внешний L1). 6. Запишите показания милливольтметра UL, переключив пределы его измерений на 300, 100 или 30 мВ. Предел необходимо выбирать таким, чтобы отклонение стрелки было близким к максимальному. 7. Отключив соленоид L1, присоедините внутренний соленоид L2. Запишите показания милливольтметра UL для этого соленоида (не изменяя U0 и ν). 8. Пронаблюдайте на осциллографе изменение амплитуды напряжения UL качественно. Часть 2. Определение индуктивностей L', L" и взаимной индуктивности М 1. Для измерения индуктивности L' системы соленоидов (РИС. 13.3А) соедините их, как показано на РИС. 13.5А (на рисунке цифрами отмечены клеммы соленоидов). Соленоиды при этом должны быть вставлены один в другой. 2. Запишите показания милливольтметра UL  при указанном в п. 1 расположении соленоидов, не меняя значений U0 и ν, установленных в предыдущих опытах. 3. Соединение соленоидов L" осуществите вторым способом, изображённым на РИС. 13.5Б (ср. РИС. 13.3Б). 4. Запишите показания милливольтметра UL  при тех же U0 и ν. Пронаблюдайте качественную картину изменения напряжения UL  и UL  на экране осциллографа. а б Рис. 13.5 5. Все измерения частей 1 и 2 по указанию преподавателя повторите в той же последовательности при другой частоте (в пределах от 100 до 200 кГц). 6. Заполните таблицу спецификации измерительных приборов (см. Приложение 3) и запишите данные установки. В таблицу спецификации занесите все пределы, на которых проводились измерения. 3. Обработка результатов измерений Данные установки: R = 1,0 кОм; D1 = …; l1 = …; N1 = …; D2 = …; l2 = …; N2 = … 80 Таблица 13.1 Определение индуктивностей L1, L2 U0 = 2 В ν, кГц UL, мВ L, мкГн L , мкГн Внешний соленоид, L1 Внутренний соленоид, L2 Таблица 13.2 Определение индуктивностей L', L" и взаимной индуктивности М U0 = 2 В ν, кГц UL, мВ L, мкГн L , мкГн M, мкГн I соединение, L', M' II соединение, L'', M'' Таблица 13.3 Теоретический расчёт L1, L2 и M D, мм l, мм N Lтеор, мкГн Mтеор, мкГн Внешний соленоид, L1 Внутренний соленоид, L2 1. По формуле (6) найдите значения L1, L2 и L', L". 2. Рассчитайте М' и М" по (5); окончательно 2 M M M     . 3. Рассчитайте теоретические значения L1, L2, M. Более точные расчёты с учётом неоднородности магнитного поля на концах соленоида приводят к необходимости введения в формулы (1) и (2) коэффициента K, который зависит от соотношения между D и l. Для обоих соленоидов можно принять K  0,9. 4. Рассчитайте абсолютные погрешности величин L1 L2, М по формулам 2 2 2 2 0 0 Δ Δ Δ Δ Δ L L U R U ν L L U R U ν                             ,       2 2 2 2 2 0 2 0 Δ Δ Δ Δ Δ Δ L L L L R U ν U U М М R U ν U U                             (относительной погрешностью π пренебречь). Запишите окончательные результаты для L1, L2, M в виде L L L 1 1 1  Δ и т. п. с учётом правил округления (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). 81 5. Сравните теоретические и экспериментальные значения L1, L2, M, проверив выполнение неравенств L L L 1 1   теор 1 Δ и т. п. Сделайте вывод. 6. Проверьте выполнение неравенства M M M    Δ . Сделайте вывод о равенстве взаимных индуктивностей. Контрольные вопросы 1. Что называется индуктивностью контура, взаимной индуктивностью контуров? От чего зависят эти величины? 2. В чём заключается явление взаимной индукции? От чего зависит коэффициент взаимной индукции? 3. Выведите формулу для расчёта коэффициента взаимной индукции двух соленоидов, вставленных один в другой. Изменится ли коэффициент взаимной индукции, если изменить взаимное расположение соленоидов? 4. Чему равна индуктивность системы соленоидов, если магнитные поля в них направлены: а) в одну сторону; б) в противоположные стороны? 5. Объясните метод измерения индуктивности в данной работе. 6. Какие величины непосредственно измеряются в эксперименте? 7. Выведите расчётную формулу для определения индуктивности. 8. Как в работе определяют взаимную индуктивность М? 9. Зависят ли измеренные величины L и M от частоты? 10. Как можно найти число витков соленоида, если сосчитать их непосредственно нельзя?