Лабораторная работа 15: Лабораторная работа

Лабораторная работа № 15 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ Цель работы: изучение явления взаимной индукции на примере соленоида и короткой катушки и определение основных характеристик взаимной индукции. Введение Явление взаимной индукции — частный случай явления электромагнитной индукции — возникновение электрического поля в проводнике под действием переменного тока в другом проводнике, близко расположенном к данному проводнику (РИС. 13.1). Если в контуре I течёт ток I1, то созданное им магнитное поле B1 пронизывает контур II. Полный магнитный поток 21, сцепленный с контуром II, пропорционален модулю индукции В1 и, следовательно, току I1. Таким образом, Ψ12 12 1  M I , (1) где коэффициент пропорциональности М21 называется взаимной индуктивностью контуров. По закону электромагнитной индукции при изменении тока I1 в контуре II ЭДС взаимной индукции 1 12 12 dI M dt E   . (2) Аналогичные рассуждения можно провести для контура I, если пропускать ток I2 по контуру II. Тогда в контуре I индуцируется электрическое поле, характеризуемое ЭДС 2 21 21 dI M dt E   . (3) Как показывает теория, взаимные индуктивности в отсутствие ферромагнетиков равны друг другу: M M 21 12  . (4) В этом случае их величина не зависит от силы тока в первом или втором контуре, а определяется только взаимным расположением, формой и размерами обоих контуров. При наличии сердечника из ферромагнитного материала величины M21 и М12 не всегда равны друг другу, так как зависят от магнитной проницаемости среды, которая, в свою очередь, является функцией тока, а токи в контурах могут быть разными. В данной работе изучается взаимная индуктивность соленоида (длинная катушка) и короткой катушки, которая надета на соленоид и может перемещаться вдоль его оси. Вблизи середины соленоида, по которому идёт ток I1, модуль индукции магнитного поля равен 0 1 1 1 1 μ I N B l  , (5) где N1 — число витков соленоида, l1 — длина соленоида (РИС. 15.1). 93 Рис. 15.1 Если короткая катушка расположена в средней части соленоида, то сцепленный с ней полный магнитный поток равен Ψ12 2 1 1  N S B , где N2 — число витков короткой катушки, S1 — площадь сечения соленоида. Подставляя В1, получим 1 2 1 12 0 1 1 Ψ N N S μ I l  . (6) Сравнивая формулы (1) и (6), найдём 1 2 1 12 0 1 N N S M μ l  . (7) В настоящей работе экспериментально проверяется справедливость равенства М21 = М12 в случае отсутствия ферромагнитного сердечника в соленоиде. 1. Описание установки и метода измерений Измерение взаимной индуктивности выполняют следующим образом. От низкочастотного генератора Г переменное напряжение 0 U U cosωt подаётся на последовательно соединённые соленоид (катушка I) и резистор R (РИС. 15.2). Значение сопротивления R подбирают настолько большим, чтобы оно в несколько раз превышало полное сопротивление соленоида Z (активное R1 и индуктивное ωL), т. е.   2 2 1 Z R   ωL . (8) Рис. 15.2 Проходящий через катушку I ток I1 в этом случае можно найти по формуле 1 U I R  или 0 1 cos U I ωt R  . (9) Магнитный поток сквозь контур II (маленькую катушку) — переменный во времени и в нём возникает электрическое поле, характеризуемое ЭДС индукции (см. (2), (9)): 94 0 12 12 sin U M ω ωt R E  или 12 0 E E sinωt . (10) Величина 0 0 12 U M ω R E  (11) является амплитудой ЭДС индукции, характеризующей поле в короткой катушке II. Милливольтметр mV измеряет действующее значение переменного напряжения, поэтому, если его подключить к контуру II, то он покажет значение E E 0 2 . Подключая вольтметр к генератору, измеряем действующее значение U U 0 2 . Следовательно, из (10) можно найти величину взаимной индуктивности 12 0 R R M ωU ωU   E E ; так как ω = 2πν, 12 2 R M πνU  E . (12) Таким образом, зная R (указано на установке), измеряя E с помощью милливольтметра mV, U — с помощью милливольтметра mV, подключая его к выходу генератора (специальной клемме на стенде), и, определяя частоту сигнала генератора ν по шкале частот, вычисляем М12. Подключив короткую катушку II к генератору, а соленоид к вольтметру, аналогично определяем величину М21 и убеждаемся в справедливости равенства (4). Небольшие расхождения объясняются тем, что мы не учитываем индуктивного и активного сопротивления катушек. Эти сопротивления при одинаковой частоте у них различны, так как различно количество витков (т. е. у катушек разные индуктивность L и активное сопротивление R1). Работа состоит из трёх частей. В первой части изучают зависимость коэффициента взаимной индукции от взаимного расположения катушек. Для этого короткую катушку II перемещают вдоль соленоида при неизменных U и ν. На шкале, укреплённой параллельно оси соленоида, точка 0 соответствует середине соленоида. При каждом новом положении контура II измеряют E и по формуле (12) рассчитывают значение М12 (М21). Схема установки для измерения взаимной индуктивности М представлена на РИС. 15.3. Клемма а служит для присоединения катушек к генератору Г, клемма б — к милливольтметру mV. Если подключить короткую катушку II к генератору, а катушку I (соленоид) — к милливольтметру (сплошные линии на рис. 15.3), то милливольтметр покажет ЭДС индукции E21 в соленоиде I. При переключении катушек (штриховые линии на РИС. 15.3) милливольтметр показывает ЭДС индукции E12 в контуре II при изменении тока в соленоиде, присоединённом к генератору Г. Во второй части работы при фиксированном положении катушек и постоянном U измеряют по милливольтметру mV величину ЭДС взаимной индукции при разных частотах ν сигнала генератора. Устанавливают, что ЭДС индукции E21 (или E12) в одном контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока в этом же контуре, но создаваемого током другого контура, т. е. зависит от частоты ν колебания тока во втором контуре. 95 Рис. 15.3 В третьей части проверяют независимость взаимной индуктивности М от частоты ν и напряжения U (и, следовательно, от силы тока). С этой целью рассчитывают взаимную индуктивность для нескольких частот (при постоянном U) и для разных U (при постоянной ν) для фиксированного положения катушек. В каждой части работы перед началом количественных измерений проводят качественные эксперименты с помощью осциллографа ЭО. 2. Порядок выполнения работы 2.1. Исследование зависимости взаимной индуктивности от расположения катушек 1. Заполните таблицу спецификации измерительных приборов (см. Приложение 3) и запишите данные установки. В таблицу спецификации занесите пределы измерений милливольтметра, использовавшиеся на каких-либо этапах работы. 2. Соберите электрическую цепь по схеме РИС. 15.3. При этом необходимо проследить, чтобы концы кабелей от приборов (генератора, осциллографа, милливольтметра) с обозначением «Земля» были соединены вместе (к нижнему ряду клемм на панели экспериментальной установки). Катушку II присоединяют к генератору (клемма а), катушку I — к милливольтметру mV (клемма б). 3. Включите тумблер «Сеть» на генераторе, осциллографе, вольтметре. 4. Поместите катушку II на середину соленоида (r = 0). 5. Когда приборы прогреются (2–4 мин), установите с помощью соответствующих ручек генератора значения выходного напряжения U на вольтметре генератора и частоты ν, которые указаны в таблице, приложенной к установке. 6. Проведите качественный эксперимент. Передвигая катушку II от середины соленоида к его краю, проследите за изменением амплитуды ЭДС индукции на экране осциллографа и одновременно за показаниями вольтметра. Так как магнитная индукция на краю длинного соленоида должна быть в два раза меньше, чем в его середине, то смещение катушки II на край соленоида вызывает уменьшение ЭДС индукции. 7. Повторите качественный эксперимент, поменяв ролями катушки I и II с помощью клемм а и б. 8. Отключите осциллограф и отсоедините его от электрической цепи. 9. Снова установите короткую катушку II на середину соленоида, катушку II присоедините к генератору, катушку I — к милливольтметру. Запишите в таблицу показания милливольтметра E21 и положение катушки (r = 0). 96 10. Передвигайте катушку II, записывая в ТАБЛИЦУ 15.1 её положение r и показания милливольтметраE21, особенно часто (через 0,5–1 см) там, где происходят сильные изменения ЭДС индукции. Пределы измерений милливольтметра (30 или 100 мВ) выбирайте так, чтобы стрелка вольтметра находилась преимущественно во второй половине шкалы. 11. Переключив катушки (штриховая линия на РИС. 15.3), повторите все измерения для E12. Результаты измерений занесите в ТАБЛ. 15.1. 2.2. Изучение зависимости ЭДС взаимной индукции от частоты 1. Установите короткую катушку в определённое положение (например, r = 0), и снова включите осциллограф. 2. Варьируйте частоту генератора в пределах от 20 до 70 кГц и наблюдайте на экране осциллографа изменение амплитуды ЭДС индукции. 3. Отсоедините осциллограф от электрической цепи. 4. Изменяйте частоту генератора, начиная от 20 кГц с шагом 10 кГц, и записывайте показания милливольтметра E21 или E12 в ТАБЛ. 15.2. При этом выходное напряжение генератора U необходимо поддерживать постоянным с помощью ручки «Рег. выхода». 2.3. Изучение влияния частоты и напряжения на взаимную индуктивность 1. Используя данные ТАБЛ. 15.2, рассчитайте для любых трёх различных частот ν взаимную индуктивность М по формуле (10). Результаты занесите в ТАБЛ. 15.3. 2. Измерьте E21 или E12 для любых трёх разных значений выходного напряжения генератора U при неизменной частоте ν и фиксированном положении катушек (ТАБЛ. 15.4). 3. Подключите осциллограф. Пронаблюдайте качественно картину изменения ЭДС взаимной индукции на экране осциллографа при изменении выходного напряжения U. Положения всех ручек на генераторе и осциллографе указаны на табличке к установке. 3. Обработка результатов измерений Данные установки: R = 4,7 кОм; U = 10 В; ν = 20 кГц Таблица 15.1 Зависимость коэффициента взаимной индукции от положения катушек № п/п r, см E21, мВ М21, мкГн E12, мВ М12, мкГн M , мкГн Таблица 15.2 Зависимость амплитуды ЭДС взаимной индукции от частоты генератора № п/п ν, кГц E, мВ 97 Таблица 15.3 № п/п ν, кГц E, мВ М, мкГн Таблица 15.4 № п/п U, В E, мВ М, мкГн 1. По данным ТАБЛ. 15.1 вычислите по формуле (10) взаимную индуктивность для каждого положения катушек М12 и М21 и найдите среднее значение M 12 21 2 M M M   . 2. Постройте графики зависимостей M = f(r) и E = f(ν) по данным таблиц 15.1 и 15.2. 3. Заполните ТАБЛИЦУ 15.3 согласно 2.3, п. 1. 4. По данным ТАБЛ. 15.4 найдите по формуле (10) значения взаимной индуктивности М для разных значений выходного напряжения генератора U и занесите их в таблицу. 5. Найдите абсолютную погрешность взаимной индуктивности по формуле 2 2 2 2 12 12 Δ Δ Δ Δ Δ U ν R M M U ν R                             E E для r = 0 по данным табл. 15.1; здесь Δ 0,02 ν ν  (относительная погрешность π пренебрежимо мала). Запишите окончательный результат для M в виде M M M  Δ с учётом правил округления (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). Проверьте выполнение неравенства M M M 12 21  Δ . Сделайте вывод. 6. Убедитесь в независимости величины М от U и ν. Для этого по результатам расчётов ТАБЛ. 15.3 и 15.4 найдите максимальный разброс величины М и сравните его с погрешностью ΔM. Сделайте вывод. Дополнительное задание Проведите экспериментальную проверку применимости формулы I = U/R (см. описание метода измерения в РАЗДЕЛЕ 1). Для этого решите, какие измерения и на каких участках цепи необходимо провести. Контрольные вопросы 1. В чём заключается явление электромагнитной индукции? Сформулируйте закон электромагнитной индукции. 2. В чем заключается явление взаимной индукции? 3. Что характеризует коэффициент взаимной индукции? От чего он зависит? В каких единицах измеряется? 98 4. Выведите формулу для взаимной индуктивности двух соленоидов (длинной и короткой катушек), имеющих общую ось. Как изменится коэффициент взаимной индукции, если короткую катушку передвинуть на край соленоида? 5. Объясните принцип работы электрической цепи и метод определения взаимной индуктивности в данной работе. Выведите расчётную формулу для взаимной индуктивности М. 6. Как экспериментально доказать равенство взаимных индуктивностей M21 = M12? 7. Выведите формулу (12) для расчёта коэффициента взаимной индукции в данной работе. 8. Как по результатам эксперимента обосновать то, что взаимная индуктивность не зависит от входного напряжения и частоты сигнала генератора? 9. Объясните графики зависимостей M = f(r) и E = f(ν). 10. Какую величину измеряет милливольтметр?