Для студентов МГИМО по предмету ДругиеМетоды анализа устойчивости линейных систем с постоянным и линейно возрастающим запаздываниемМетоды анализа устойчивости линейных систем с постоянным и линейно возрастающим запаздыванием
2024-07-142024-07-14СтудИзба
Курсовая работа: Методы анализа устойчивости линейных систем с постоянным и линейно возрастающим запаздыванием
Описание
Содержание
2
Введение
Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом диф-ференциальные уравнения, в которые неизвестная функция входит при различных аргументах. Такие уравнения можно разделить на три типа: уравнения с запаздывающим аргументом, уравнения с опережающим ар-гументом и уравнения нейтрального типа. С основами теории дифферен-циальных уравнений с отклоняющимся аргументом можно познакомиться
Для дифференциальных уравнений существует несколько методов анализа устойчивости. Два основных подхода были разработаны Ляпуно-вым А. М., они известны как первый и второй (прямой) методы Ляпунова.
Под вторым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений при помощи специальных функций Ляпунова. Для систем ви-да x = Ax, где x 2 Rn, A постоянная матрица, известен критерий: система экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда существу-ет положительно-определенная квадратичная форма (функция Ляпунова), производная которой вдоль решений данной системы представляет собой отрицательно-определенную квадратичную форму.
Существуют обобщения второго метода Ляпунова на системы с за-паздыванием. Данная работа будет основана на одном из таких методов
методе Красовского Н. Н.. В силу того, что состояние линейной системы с запаздыванием это сегмент траектории, а не значение в текущий момент времени, то функции Ляпунова Красовский заменяет функционалами, за-висящими от сегмента траектории. Именно эти функционалы, используе-мые для анализа экспоненциальной
Введение | 3 | |
Постановка задачи | 6 | |
Глава 1. Линейные дифференциальные системы с постоянным | ||
запаздыванием | 10 | |
1.1. | Фундаментальная матрица и её свойства . . . . . . . . . . . . | 11 |
1.2. | Функционалыполноготипа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 12 |
1.3. | МатрицыЛяпунова........................ | 15 |
1.4. | Алгоритм проверки положительной определенности квадра- | |
тичногофункционала ...................... | 16 | |
1.5. Построение матрицы Ляпунова и анализ положительной опре- | ||
деленности функционала на практике . . . . . . . . . . . . . | 22 | |
Глава 2. Линейные дифференциальные системы с линейно воз- | ||
растающим запаздыванием | 25 | |
2.1. | Анализустойчивости....................... | 27 |
2.2. | Фундаментальная матрица и ее свойства . . . . . . . . . . . . | 28 |
2.3. | Функционал с заданной производной . . . . . . . . . . . . . . | 29 |
2.4. | МатрицаЛяпунова ........................ | 32 |
Заключение | 34 | |
Список литературы | 35 |
2
Введение
- настоящее время область приложений дифференциальных уравне-ний с отклоняющимся аргументом заметно расширяется. Системы таких уравнений позволяют моделировать динамические процессы в различных областях физики, техники, биологии, медицины, экономики, экологии.
Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом диф-ференциальные уравнения, в которые неизвестная функция входит при различных аргументах. Такие уравнения можно разделить на три типа: уравнения с запаздывающим аргументом, уравнения с опережающим ар-гументом и уравнения нейтрального типа. С основами теории дифферен-циальных уравнений с отклоняющимся аргументом можно познакомиться
- работах [1, 2].
- настоящей работе рассматриваются линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы, в кото-рых скорость изменения в любой момент времени зависит от предыдущих состояний, а не только от текущего состояния.
Для дифференциальных уравнений существует несколько методов анализа устойчивости. Два основных подхода были разработаны Ляпуно-вым А. М., они известны как первый и второй (прямой) методы Ляпунова.
Под вторым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений при помощи специальных функций Ляпунова. Для систем ви-да x = Ax, где x 2 Rn, A постоянная матрица, известен критерий: система экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда существу-ет положительно-определенная квадратичная форма (функция Ляпунова), производная которой вдоль решений данной системы представляет собой отрицательно-определенную квадратичную форму.
Существуют обобщения второго метода Ляпунова на системы с за-паздыванием. Данная работа будет основана на одном из таких методов
методе Красовского Н. Н.. В силу того, что состояние линейной системы с запаздыванием это сегмент траектории, а не значение в текущий момент времени, то функции Ляпунова Красовский заменяет функционалами, за-висящими от сегмента траектории. Именно эти функционалы, используе-мые для анализа экспоненциальной
Характеристики курсовой работы
Список файлов
МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМ И ЛИНЕЙНО ВОЗРАСТАЮЩИМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ.doc