ВКР: Топология слоений Лиувилля интегрируемого случая Матвеева–Дуллина

§1. Введение
В работах [1], [2], [3] А.Т. Фоменко, Х. Цишангом, А.В. Болсиновым, А.А. Ошемковым была развита теория о топологической классификации интегрируемых случаев с двумя степенями свободы. Был построен инвариант, который помогает классифицировать интегрируемые случаи с двумя степенями свободы с точностью до лиуиллевой эквивалентности. В [12] В.С. Матвеевым и Х.Р. Дуллиным найден новый интегрируемый случай. В данной работе для случая Матвеева-Дуллина найдено множество критических точек и множество критических значений отображения момента, топология изоэнергетических поверхностей, особые точки векторного поля и их тип, количество критических окружностей в прообразе кривых бифуркационной диаграммы. На компьютере посчитаны индексы критических окружностей, и сделан вывод о типе грубых молекулах интегрируемого случая.
2. Интегрируемые гамильтоновы системы на симплектических многообразиях
2.1. Основные понятия симплектической геометрии.
Ознакомиться с доказательствами утверждений из этого раздела можно в любой книге по симплектической геометрии. Допустим в [8]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Скобкой Пуассона на многообразии Mn называется отображение {·, ·} : C∞(Mn) × C∞(Mn) → C∞(Mn) со свойствами: 1) {λf + µg, h} = λ{f, h} + µ{g, h}, λ, µ ∈ R — линейность, 2) {f, g} = −{g, f} — кососимметричность, 3) {f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0 — тождество Якоби. Многообразие, снабженное скобкой Пуассона, будем называть пуассоновым. Таким образом, все гладкие функции на пуассоновом многообразии со структурой скобки образуют алгебру Ли. Скобка Пуассона относительно каждой из переменных является оператором дифференцирования в пространстве функций C∞(Mn). Поэтому в локальных координатах она принимает упрощенный вид: УТВЕРЖДЕНИЕ 1. В любых локальных координатах (x 1 , x2 , ..., xn) скобка Пуассона-Ли может быть записана в виде: {f, g} = ∂f ∂xi ∂g ∂xj {x i , xj}. Нетрудно проверить, функции π ij = {x i , xj}, определяемые в локальных координатах на многообразии, образуют кососимметрический тензор типа (2, 0). Этот тензор называется тензором Пуассона. И, фактически, определить скобку Пуассона означает определить тензор Пуассона. Только следует понимать, что не всякий кососимметрический тензор типа (2, 0) может быть тензором Пуассона некоторой скобки. Этому препятствует тождество Якоби. Кососимметрический тензор типа (2, 0) на многообразии является тензором Пуассона некоторой скобки тогда и только тогда, когда
Очевидно, что при таких ограничениях симплектическое многообразие может быть лишь четномерно. Коэффициенты матрицы 2-формы ω образуют кососимметрический тензор типа (0, 2) с двумя нижними индексами. Поскольку симплектическая форма невырождена, ее можно обратить и получить кососимметрический тензор типа (2, 0) уже с двумя верхними индексами ω ij . Следовательно, на симплектическом многообразии можно ввести скобку следующим образом: {f, g} = ∂f ∂xi ∂g ∂xj ω ij . Несложно показать, что условие замкнутости симплектической формы в точности совпадает с условием (1). Таким образом, любое симплектическое многообразие является пуассоновым. Примером пуассонова многообразия может служить любая коалгебра алгебры Ли. Если (x1, x2, ..., xn) — координатные функции в коалгебре, а c k ij — структурные константы алгебры, то скобку Пуассона можно ввести вполне естественным образом: {f, g} = c k ijxk ∂f ∂xi ∂g ∂xj . Тождество Якоби выполняется автоматически, поскольку c k ij — структурные константы некоторой алгебры Ли (не будем приводить здесь все выкладки). Тензор Пуассона коалгебры будет c k ijxk. Вообще говоря, тензор Пуассона должен иметь два верхних индекса, но в коалгебре принято координатные функции писать с нижними индексами, поэтому и получился тензор с двумя нижними индексами. Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями алгебр Ли. Хотя бы с такими, как присоединенное, коприсоединенное действие группы, орбиты действия, форма Кириллова. Выше был приведен классический пример пуассонова многообразия. Следующее утверждение помогает ввести некоторый полезный для приложений класс симплектических многообразий. УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Орбиты коприсоединенного действия группы Ли на своей коалгебре G∗ все являются симплектическими многообразиями с канонической 2-формой ω — формой Кириллова. Форма Кириллова есть ограничение тензора Пуассона коалгебры на орбиту. Скобку Пуассона на этих многообразиях можно считать следующим образом: если f, g — две гладкие функции на орбите, продолжаем их произвольным образом до гладких функций ˜f, g˜ на всей коалгебре, тогда {f, g}(x) = { ˜f, g˜}(x) Тензор Пуассона π ij является тензором с верхними индексами, а для тензоров с верхними индексами, вообще говоря, нет естественного определения ограничения с многообразия на подмногообразие. В отличие от тензоров с нижними индексами. Но в случае пуассоновых многообразий есть общий метод, который все же позволяет провести ограничение тензора Пуассона на симплектические листы этого пуассонового многообразия. В нашем случае — на орбиты. Причем это ограничение является невырожденным кососимметрическим тензором ω ij типа (2, 0) уже на орбите, а 2-форма, заданная матрицей ωij , является замкнутой. Сам метод ограничения тензора Пуассона на орбиту описан в [5]. В дальнейшем в этой работе понадобится лишь знание о том, как устроена скобка Пуассона на орбитах. Причем утверждение 2 вполне достаточно, то есть сам метод ограничения тензора Пуассона с коалгебры на орбиту не потребуется. 2.2. Коалгебра Ли e(3)∗ . Применим все введенные выше конструкции к коалгебре Ли e(3)∗ группы движений трехмерного пространства. Это шестимерная коалгебра. В ней можно ввести уже стандартные координаты Lx, Ly, Lz, x, y, z, в которых тензор Пуассона примет вид