Книга: Ветрова Л.Г. - Теория вероятностей - вероятностные модели

Распознанный текст из изображения:

Государственный комитет СССР по народному образованив

Г.Д.Карташов

ТЕ)РИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Вероятностные модели

Часть 1

Утверждено редсоветом МГТУ как учебное пособие

по курсу "Специальные главы высшей математики"

Под редакцией Л.Г.Ветрова

Иадательство МГТУ

1990

Распознанный текст из изображения:

1Рй ОЖИПБ

ТГЛОдуО'1 РАС'ч.Л ПО ТЮРК1 ЖЫ)!!ТНОСТ)й~

3"-"ача, Одновременно подбрасывают две играртьнулс кости.

ь Вариан тех Х ХО нсаитн верОятнОсть того е чтО с~ у сруа Выпавпих Оч

ков: 1,у равна ';; 2) меньше -,~.'; 3) бо» ше.=-у; 4) звк»жчена в

промежутке ( ~ ф,'. Е Ва:-напутал 11-3О нз =.ти вероятность того, что

ПРОИЗНедеНИЕ НЫНЕ-,щуну»; О..П;ОВ. Т) р,~но д - .л,;..уеНЬШе,,-аад: 3) бсл,,

ше у--У ° 4) з. у~лючеудс В пссуме...утке!,д Я,

Зздача ' . На,:Уек»ТОРОН субслржнвгюшее ';.": Ройство пост дпзют

Д«-" занвуы !(Зжд«ч мсжет пос::,уепить В ~";юбой момент ВРемени В т8-

чение Т минут. Хре.ы Обсе,ужнвания первой зеявки й'. Минут, вто-

рой - рд„ Милнут. При ПССТу'ПЛ6НИИ ЗНУЛКЧ На З~ !Ятое рстройство

ОРУа НЕ уРИ!луаузчузлЕТСЯ лч!РЦ ПОСГУПЛЕНУИИд 88 «ОТЯ УЫ В ПОСЛ8ДНИИ уйОМЕНТ

заявка обсл~~~иувается. Найти. Вероятность тогос что:.

1) обе заявки б-„'-,:Гут обо.ууужены; 2) будет обслужена одна заявка.

Зада«йа 3, адана суЛЕКТРИЧ8СКая С. 81у~а СИСТЕеЕв СОСТОууЩЕЙ ИЗ

Геяти ЭЛЕМентов. ОСОЫТИЕ ду, — ОткаЗ у -ГО ЭЛЕМ8НТН Оа НекоторЫйч

промезг"ток времени. Нерсятности безотказной работы элементов

3-"каны:

~"д-.) «~-95 С' =1.3 5 ГР(д4,) =О 9 ~е =2

Осбытне .н состоит в безотказной работе асей системы за рассмат—

риваемый промеж;- ок времени. Требуется: 1) выразить событие А

через А или 4 ( ~'=1,2,3,4, 5); 2) найти вероятность Р~Я )

безотказной работы системы.

Нщече Е. Ж весле, соднсачд~й,с инде~и, среди вочоссн

д: — высшего сорта, для контроля последовательно выбирают на-. — .'=

. Нзделий. Найти Вероятность того, что среди выбрннных изделий

окзжется ровно Г Высшего сорта при условия, что выборка произ-

Водится: 1) с возврщениуем ',выбранное изделие после проверки

возвращается обратно В партию); 2) без возврашения (Выубренное

изДелие и паРтию не ВОЭВРацаетснду.

Задача 5. На склад поступили детали, изготовляемые на трех

станк. х. Изготовлено на стенках деталей, .'.4: на первом — а

на Втором — О , на тР8тъем — с . Вероятность ву.у:уска 'РОКОВан

Нетелей на й'. -м станка равна Р '; <.' =1,2,3), Определитд весоят-

-,.ость того, что изделпед наУдачУ В Ятое со скл ча: ') оказ.-

~ось брексвепуюым; ~) Оказаллось небуракованчым, Найти Вероятнсст:

того, что оно изготовлено на ~ -м стенке.

3="ача 5, Нроизведено г. Выстрелов с постоянной Ве»оятыостью

НОННУ|анина ПРИ КзййПОМ .ВЫСТР ЛЕ, Р==НСН Р,

У(ЛЧ СЛУЧаанусй ВЕЛИЧИНЫ .-7. (ЧИСЛа ПОПацаннй В ЦЕЛЬ) Найси:

1.' распределение Вероятностеи; 2) функцию распределения и по-

строить 88 грейшк; 3; Вероятнссть попадания случачнси вели ины

В интервал < .~', (; 4! Математическое Ожидание, писперсиа н сред-

8 КВадпатчЛЧЕСКО8, Отеждонениз °

Запача 7, Непрепывная случайнвч Велиучнна ~ ирлеет плотность

Вероятности Л ~. Т„ебуется: 1) найти 88 функцию РаспреД8Л8ния

~1-Г); 2) построить йрефики функции распределения ~- .' и плот-

ности ВероятностиЯ=,)й 3) вычи"лить Ве оятность попадщьия случай-

ноч величины в интервал ~а'. ~~у, 4; найти математи йеское Ожидание,

ДИСПЕРСЧЮв СРЕДНЕЕ КВаЛРатИЧЗСКОЕ ОТКЛОНЕНИŠѻ ЧНМНОй ВЕ» ЧЧИНЫ

у

Н~еча а. Леда слонуосчв верончнссчи 7Ц случайной веууи-

дуви Н . Овучайны неладна 7 с~зеве со сдучвннсй величавой

фуНКЦИОННЛЬНОй ЗНВИСИМОС ТЪЮ 7 = с2 ~ + 8 ° НзйТИ . 1 ) МНТеыати-

ческое ожидание и дисперсию с»гр.айной Величины Я, используя

птотность вероятности с~:учайной величины т, 2) п~~~~~с~~ Веро-.

ятности случайной величины 7 и построить ее график; 3) матема-

тическое ожидание и дисперсию сщчайнсй величины ~~р , используя

найденную плотность Вероятности счучайной Величин ~ ~~

Задача 9. дана снстема -уврх случайных ве.нчучин ( т Д.р, закон

распределения которой задан таблицей, где ~~ =2, ~ =3,-~~ =5,

ч' -1, М. =3, о =1, ~~„=2. Найти: 1) законы распределения случай-

ных величин и р» ; 2) математические ожидвния и диспессии

случайных величин ~ и ~~у; 3) козффищент ксрреляп"и 2.

4) условные распределения йЯ "'1~~~ , ф'~ 1-~~); 5) условные

математические ожидания И( ~! ф ), М~Я.у~~ ) .

Нанева рн. Саванна несрернвдиу случайннл величин Я, уу'

распределена равномерно в области Ю , ограниченной линиями

.к=а й~ = у' =,ф -~ . Найти: 1) совместную плотность Рас~в

пределения „Р~-,ф , предварительно построив область З ; ' ) плот-

ности вероятности случайных Велчин ~ и ~ ; 3) математические

ожидания и дисперсии случайных величин р и ~ ; 4) коэффициент

корпел~при с ° 51 условные плотности распределения У (-Г~ф

и,;й'ф( ); 5) условные математические ожидания(~~~д~~~ иМф!.~~

лияии регрессии и построить их графики.

Распознанный текст из изображения:

1 ~ГСв ЕЫМ~ т бЛ

Й~ М

в

~ 00 ~10 1 1

)

в в

'в)9

в

и

..1

! !

У 1'.и 7

!

1

100 ~ 10 25

11 ~8;121

100 10 30

В~;в",а в. В~в1вв ввиввввввввввакав иивгии.ив в ииааеиаваа аиуиии-

НЦЛ ВЕЛИЧИН:-~ ' =Я вв ' С +С ГГаи ~ ~, У) —:вна1аЫЯ СЛ3иваЯЙввав" 28-

личин из зада ги 10.

( 100 110

~ 100 ! 10

Распознанный текст из изображения:

л~

ЗЯЭД-

анЩ~

Задача 11

Задача 7

"гддача С

!

г! ~ , '. -г

.3 „А

-,.О 5~

1'0~1 1! 2

!

0,3!!О,З;3~

,-. гт г

2 )1=',ц

2

30 т0~50 ~0,01

!

!

0,04~ 0,03

0 0,~5

т; 'О

3

н,~О 0,05

1 О, 3,0,12

35: 45

7,„'0

0,01'0,03

20 45 35

0,02 0.03

0.04

4 О,Э

~0,03 0,05

в!

35

0,03

г

0,1

-., Р,ег

.<.~~о Р1

,0,%;: и.

5!0,2

10 ~35~ 45. 20

!

'2

11р~да„—..а- да юаДЛ

4 0,8 12;3,5~

5 Р.ЕГ 4 ф;5~

2 ~

!

! 3

Задача В Задача Э

Ъодоллкща таб»,

Распознанный текст из изображения:

!!РС "мьянма' ' ~м~д

! 2

!

!

!

! э

-Р !

) 4 ° т.

~ !

)Л,~в

0,12 О,тО

!2! 2

!

т

1

1'.-, 8 !

! !

1

!:.~ .'с

Ф

— +

О,ОЬ

о

0.08 0,10

0,18 !0.06

0.~2

! Г2;а

1

8

!

13 ~8

15 25

!!8;12~ 150

с н

! -2

0 т2

д ~012 ~

ц 0

0,10

05

0,08

~10;13~ 150 т5 35

12

с л'.

в)

!

С~ Ч) '5 1~ ~с

!!ООДЗГЯНЯЕ Тсйя.

~«„0'!

!0,15

!

!«,.08

0 0 15 Ото, 0,10 )0,04 ~0,08

т~

!

!

!

;=; О.:

д !1л т;

!

3

!

!

!

':50!1с! -'- с 5 0

1

1

с

ф

Я -!~~'- з

Ф

1

б

(

!

!

Распознанный текст из изображения:

Продолхение табл.

Содержание

Введение .

;, вероятностная модель случа~чого эксперимента .

1.1. Случайп~й эксперимент ,

1.2.."чт: л=ивные представления о случайных событиях .

1,3. Интуитивные оперщии над событияы .

1.4. Пространство елементаркых событий

1.5. Случайные события и действия над ниьч .

1,Б. Алгебра событий . .

1.7, ;астота события и интуитивное пюедставление о

версятности .

1.8. Вероятностное пространство .

2. Классичесная модель

2.1. 0пределение модели .

2.2. Элементы иомбинаторики .

2.3. Урновые модели . .

Литература .

Прилоиение. Типовой расчет по теории вероятностей .

4

. 4

.Б

.8

,12

.15

та

.19 . 21

2Б 28 40 45 .4Б

...в 1с,~л !о,

О,С4 0,08 0

2

Распознанный текст из изображения:

Государственный комитет СССР по народному образованив

Г.Д.Карташов

ТЕ)РИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Вероятностные модели

Часть 1

Утверждено редсоветом МГТУ как учебное пособие

по курсу "Специальные главы высшей математики"

Под редакцией Л.Г.Ветрова

Иадательство МГТУ

1990

Распознанный текст из изображения:

Т!ЖБО'1 РАС'ГЛ ПО ТЮРК1 ЖЫ)1!'.1р10СТ1й1

3"-"ача, Одновргменно подбрасывают две игральн1»е кости. ь Вариантах Х дс найти Вероятность того» что с»ръ1а Выпавпих Оч КСВ1 1) Равна:.', 2) меньше ~-.~."; 3) бо;~де.---.",' 4) затдщче1»да Б промежутке 1 ~ ф,. Е Вариантах 11-30 не 1ТИ вероятность того, что ппоизведение Выпгвших очков: 1) Равно д; .:) меньше д-рдд; 3) больше 1 — у; 4) дд»члюче11с Б пс межуткз !;.<' Я:

Задач '. Н д .»е Ото»ое, д л -Р ивгюшел ."' РРОйствд, Р т;Рп ют дзе заяви. Каждая мсжет псе::упить В любой момент Времени В т8- чение Т минут.. Хре.1н обо»1уживания первой заявки ~'. минут, втоРсй - рд„ минУт. ПРИ пост)'плении задпдк11 на з~ 1ятсе РстРсыство

сна не ПРН1»Н1дается. Др11 посгуплениид ее хотя бы В последний момент

заяв1оа обслдюд»1вается. 11811ти. Вероятность того» что:.

1) обе заявки б-„'-дут обсл1..ены; 2) будет обслужена одна заяв11а.

Зедад а 3, Зщана электпическзЯ схе1»га систе»ьы д состоящей из пяти элементов. Осоытие д1, — отказ д -гс элемента за не1»оторы1» пссмелг ток Времени. Вероятности безотказной работы элементов

д

3-" паны:

Рд.4,-.) «~»95, с' =1»3,5; ГР®,) =0,9, ~» =2»4. Осбытпе и состоит в безотказной работе Всей сист81'и за рассмат— риввемый промет,- ок времени. Требуется: 1) выразить событие й через А или 4, ( ~'=1,2,3,4, 5); 2) найти Вероятность д=(,4 ) безотказной работы системы.

дд»»дд 4. В д»ри», »ад»»д»д~д,'»»»дел», сред»»шар»д

д: — высшего сорта, для контроля последовательно выбирают на-. — ,' -„

. Изделий. Иайтн Вероятность того, что среди выбранных изделий Окажется ровно Г Высшего сорта при условия, что выборка произВодится: 1) с возврщени»ем ,'выбранное изделие после проверки возвращается обратно Б партию); 2) без возвращения (выбранное изделие В партию не Бозвра1цается).

Задача 5, На склад поступили детали, изготовляемые на трех станк. х. Изготовлено на станках деталей, .'.4: на первом — ют на Втором — б , на тРетьем — С . Вероятность Быь„ ока бРаксВан деталей на Р. -и станке Равна Р ; ';. =1,2,3), ОПРВДелк1тд БВРОЯт-,.ость того, что изделпед наУдачУ Б Ятое со склада: ') оказ.- 10сь брексвж1ным; д,) Оказал»Ось небсаковйнным. Найти Вероятнсст: »Ого, что Оно изготовлено на ~' -м стан1;е„

Распознанный текст из изображения:

влача Б, Нроизведено г. зыотрелоз с постоянной ве Оятнсстью ПОПНУ1ан11йл ПРИ КЕКДОМ .ВЫСТРЕЛЕ, Р=""-НОЙ Р .

ДЛЧ СЛУЧаРП1сй ВЕЛИЧИНЫ .-7. (ЧИСЛа ПОПацаНИй З ЦЕЛЬ) Найол: 1.' распределение зероятностеи; 2) функцию распределения и по- СТРОИТЬ 88 ГРафнК; Зр З8РОЯТНССТЪ ПОПаданин 'СЛУЧай1НОИ ВЕЛИчННЫ З ИНТЕРВал .-~,ео(; 1 МатематИЧЕСКОЕ СИИД"-ЧИЕ, ПИСПЕ "И', И СРЕД-

квадпатическое, отклонение.

Запсча 7, Непрерывная случайнвч величина ~ ирлеет плотность вероятности А=ну. '1ребуется: 1) найти 88 фун1Ц2ю распред8ления Г1--.); ~) построить графики фнеции распределения 1-=,' и плОтности вероятностиЯ4; 2) вычислить вероятность попада1п1я случайной В8ЛИЧИ1Б 3 ННТЕрМЛ ,1а' рй: ,, 4) Найти:и'="ТЕМатнййеСКОЕ ОжндаНЫЕ, ПИСПЕРСЧЮн СРЕДНЕЕ КВНДРатИЧ8СКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ С~",ныа)У1ой ЗЕ; ЧИННЫ

у

Зелена 3. сана снонуосчн вероичнсочв .у=,у случайной веуувнни р . случайны велиюне 7 ставне со снучанусй величавой

фуНКЦИОНаЛЬНОй ЗНЗИСИМОС ТЪЮ 7 = с2 ~ + 8 ° усайтууу: 1 ) ра18ТЕуи1аТИ-

ческое ожидание и дисперсию с~гр.айной величины ~, используя плотность вероятности с~:учайной величины ~ , 2) П~~~~~С~~ веро-. ЯТНОСТИ СЛУЧайяой З8ЛИЧИНЫ 7 И ПОСТРОИТЬ 88 ГРафИКн 3) МНТематическое ожидание и дисперсию случайной величины ~~р , испольеуя 11айпен1 ую плотность вероятности случайной величин 1 ~~

Я~алану чй даян С1нСТЕМа чрзчрХ СлуЧай1аЫХ ЗЕЛИЧИН ( ~ Д у 38КСН

распределения которой задан таблицей, где ~~ =2, ~~ =З,-~у =5, ч' -1, М.=3, ~' =1, ~~. =3. Найти: 1) законы распределения случайных величин ~ и 6; 2) математические ожидания и диспессии

с

случайных величин ~ и ~~'; 2) коеффищент корреля~:<и 2.

4) условные распределения йЯ"'~~~~, ~®1-~~~; 5) условные математические ожидания И( ~! ф ), М~ ~~у~.р~~.) .

Наивна рн. Саванна несрернвану случайннл величин Я, уу распределена равномерно в области Ю , ограниченной линиями .х=~ й~ = ~' йу =~Уй ~~ . Найти: 1) сОвместную плОтнОсть пас~в

пределения „~~х,ф , предварительно построив область З ; 2) плотности вероятности случайных величин ~ и ~ ; 3) математические ожидания и :П1сперсии случайных величин р и ~ ; 4) коэффи1пиент корреляции с ; 5) условные плотности распределения ,~ (р-~ф и .й'ф~ ); б) условные математуические Ожидания(~~~р~~~ и Мф!.~~, лияии регрессии и построить их графики.

Распознанный текст из изображения:

Эсщача 4

З'аача Е

Зллача Б

М

иари

ач,е

10

100

1 3

100

~3;7)

3 5

100

'.'О

100

100

З~!!!",а '!. !!":!-.! иатаети.!иое аз!!анв в лис!!е!ювю,лх а2- но,'; иеличин:.; ' = а ~ .-'с ~+С, где ~ К, '~') —:не~оиа случяйлых величин из эада!!и 10.

Распознанный текст из изображения:

"гадача С

30 т0~50 Д 01

!

!

35: 4-5

7:„0'

12;3,5~

о л

Е"

0,01

0,03

б (

45 35 0,02

0.04 2

~0,03 0,05

в!

гО аг

0

0,03

-, Р,5г

.<.~~о Р1

,0>Ф: и.

5!0,2

10 ~35~ 45. 20

1, !

0,04, 0,03

0,2 ~~-1,0,5~ $

т г

)1;3~

~0,5;4~ ~ в

1

Ь~,

3

д г)1 Г 2 )1г

2

5фЕГ

'- ФМ

Распознанный текст из изображения:

йродолав~ие

4 !

$

1

!

с ' ~: 1 В3

!

г 1$~ !.

3

$$ ~~ у-~ в

ф

..', А'

'7~ ~ р-

~ Я~А

1;-~г

! !

!

!

! ~

!

!

16

Т,ф-;,"Я~ Д

1

'~Я Я~ ~ Я

ТЯ ТЯ ~;:, ~-~Щ ~ ~ «Д» ®~

3~~ 5 «Ж~~-

! ~ (

г 1 ~~Ф- 1

Распознанный текст из изображения:

Выела ~

у~а- ~

!~ 44~ Г~ !~ ф! /~Х! ~ ~" 1 !

1Яс !О О" 1О !.Д '

!

: О !'-'о

1 4

4

!

! М '4!.41 0

!у ~сп

!

.! )35

'С ~ - !!1~1 4~

!

'с

;т ~!3:4!

~т, Ь;З~

Г

И1Б ф1

~ |О1Э Ь;З~

о,о2~2

35 25 40

о~ о~

„'З; 4!

о,о:

,о.!о,

. 1Г

'1; !!

О О12

15

~2; 5!

~1,5;4~

б о,З

0,01

15

о,оз

.з 2-!3 )О,С.!О,о=!

4 41

'5140 25 0.03'о о1

Ф

Щ 4!4

46 й4

(~

Р',

!4

О

,4~ Ф

Я !!! ф) !!

о о

° ~

!

!,-,г

!

~Л

!

г

! .1 !41 Ч~

!

Распознанный текст из изображения:

с

! с с

!

~! $

с

!

!

! сЮ!

!

..!

с !

!

с

!

200~

!

-!

!

! !

!

23

!

з!

! —,с'с С

! 20Ц

с

!

21 . '11 ~ !с9;24.!

!

!

!

Ж ! 15 ! ~:.'4'28~!

!

„1,,

1В ~ ~28;Зй

!

!

1

,1~ 4 У Я

!

!

!

а

! 4 !

!

!

с

г~

! 5!

Распознанный текст из изображения:

",'~ 'и',й- Йв

„';ч с .»'.„.с.

~с~ Д 1-~:

У

! Б ."„:3 1.1,3~6

1 !

! !

1

4 '. Х $%Г~р

,'„15;191

с~

1

Д ы

Р

!

', т2

!

!

~/

в1

!

!

~~~; ~~1

Т2

!

!

!

~Ц ~/~

!

~12;18',' ~ 200

т.-.

~Э

12

р~

!

!

!

2~.

!

3

!асс ~30 Ьс

1

1

~2Г) 30;-'С

!

\

Г ф Ф 4 ~ а р

)

У

л М

$

~-~;~ —;1

2

-СЗ-Ф=.З- Д

1

!

и~в -~г

!

1

!

!

!

б~а

!

!

Г

3

Распознанный текст из изображения:

Содержание

Введение

;. Вероятностная модель случайного эксперимента .

1.1. Случайный эксперимент .

1.2. Жтултивные представления о случайных с -бытиях .

1 .3. Интуитивные операции над событияьи .

1.4. Пространство элементарных событий .

1.5. Случайные события и действия нед ними . . .

1,6. Алгебра событий .

1.7. Частота события и интуитивное представление о

вероятности .

1 .8. Вероятностное прсстренство .

2. Классическая модель .

2.1. Определение модели .

2.2, Элементы комбинаторики . .

2.3. Урновые модели .

Литература

Прилокение. Типовой расчет по теории вероятностей .

4

.6

.8

.12

.15

...18

.19

. 21

° 26

26

40

. 45

.46