Книга: Архив методичек, часть 1
Описание
Характеристики книги
Список файлов
- 1.pdf 7,64 Mb
- 01.jpg 406,77 Kb
- 02.jpg 459,12 Kb
- 03.jpg 436,34 Kb
- 04.jpg 445,26 Kb
- 05.jpg 462,9 Kb
- 06.jpg 568,88 Kb
- 07.jpg 426,29 Kb
- 08.jpg 436,31 Kb
- 09.jpg 476,89 Kb
- 10.jpg 444,96 Kb
- 11.jpg 484,74 Kb
- 12.jpg 445,89 Kb
- 13.jpg 436,09 Kb
- 14.jpg 495,37 Kb
- 15.jpg 506,03 Kb
- 16.jpg 452,57 Kb
- 17.jpg 459,48 Kb
- 18.jpg 552,43 Kb
- 19.jpg 429 Kb
- 20.jpg 444,54 Kb
- 21.jpg 452,17 Kb
- 22.jpg 450,52 Kb
- 23.jpg 520,49 Kb
- 24.jpg 554 Kb
- 25.jpg 486,94 Kb
- 26.jpg 508,16 Kb
- 27.jpg 489,89 Kb
- 28.jpg 214,69 Kb
- 01.jpg 200,09 Kb
- 02.jpg 247,98 Kb
- 03.jpg 313,69 Kb
- 04.jpg 403,27 Kb
- 05.jpg 336,26 Kb
- 06.jpg 310,22 Kb
- 07.jpg 305,05 Kb
- 08.jpg 340,9 Kb
- 09.jpg 358,19 Kb
- 10.jpg 290,31 Kb
- 11.jpg 303,34 Kb
- 12.jpg 254,41 Kb
- 13.jpg 281,37 Kb
- 14.jpg 294,28 Kb
- 15.jpg 321,33 Kb
- 16.jpg 248,35 Kb
- 17.jpg 309,86 Kb
- 18.jpg 330,2 Kb
- 19.jpg 327,72 Kb
- 20.jpg 291,81 Kb
- 21.jpg 210,62 Kb
Распознанный текст из изображения:
3/ ',у
ударственнмй комитет СССР по народному образований с'. !
Московское ордена Ленина, ордена Октябрьской Реаолщйи '.'";;;:„' н ордена Трудового Красного Знамени высшее техническое училище им. Н.В. Баумана
В.И. Ванько, С.В,, Галкин, В.Д. Морозова
Утворила.:
редсрветом МЩУ
Методические указания
для самостоятельной работы студентов по разделам
"Теория функций комплексной переменной"
и "Операционное исчисление"
1 пЗ.
;~~ б;тО
,у Г~;фу
ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ
ооозначеоп<но здесь ероха
Ю х Щ Ю л Ю ОЪ х~ х л~«««х
«- сто
в Е «««О
Юа ю ять «- Ф х — ''а
Под редакцией С.В. ГалиМиг.".':-'"-':.''"!;-',-.а~::::::'.:::;,,:-;:;!-:.
;..4ю""
Распознанный текст из изображения:
Заметим, ч
~ х(»~д
Рг дектэр Н Н. ~т ° ичэнэне
Нэррсктэр Л.и.Малютина
Тригонометр
хс ~Й(
Используя Фо
('и
можно звпис
лазания издаются в соответствии с
Денные
ние методические указания
сны одобрены кяФедрой прикладной маи н . : ., : ескэй комиссией Факультета СТ
,и пленом. Рассмотрены и одо
т . и 28.С5.87 г., мстодическэ
э. ическим УпРавлением 15.С7 87 г ЖС6.87 г. и у;сено-метэдическим у
.Ф.-м.н. доц. Т.Л. Петрова;
Рсцснэенты: к.Ф.-м.н. к. т. н. доц. Б. Т. Д >брина
С),'... с . ь щ текин
. ь щ текин н.скос училище им. Н.З. Бауман
иэскснскпе ечсщес теки,
. и-сдпаэ лечены для студентов вто,,се; ч ,',,ТУ ич. Н. З. Баумана. Они помогут эгэ куос е всех Л яку:, ь се и ч.
накренить р"вдеты кур° " сири ~ 1иуннцип .эщплсксной переменной"
снлс". э ис~эдичссние указания вынесены
с::эч рс си~ т"инечтся г лснциях или трес .-. эсе,".-..-'' , , крс:л~ „,эц ссчэстэятсльнэй проработки.
1. Коипдексн: е числе и сперсни; нэд ниии 5 2. Ли!Иеренсирсвьние (унниий к~индексной пораненной ...... 7 5. Здеиснтернне ф,иксии кслнлснснэй переменной ........... 15
реелскен,е»бнкнии нсиисенс; эй переданной в ряды Тейлоб. Беииененле опере"ион игэ исчисления к решению линейных
диф;"еренниеньннх уревнений и систем этих уравнений .... 44
Бссплетнэ. Бэдписепэ е пе;эть 14.85.88 и. План 1987 г.,У16 доп
.'ипогрп,л" я 'снТу. 187СС, йэскпь, Б,"~, 2-Я БаУманскаЯ, 5.
1. КОИПЛИКСНЫБ ЧИС))й ' И ОПИ ~Ца'-'Ий~:~-:~!' 1. 1. Т и ы записи комплекоимк айрен:.,::::,"';,;:":,,'::::::"'::;::. комплексным числом х ' называют 'пару Акселе:,':,.:;к-' тельная часть ((»е х ,), чч ',мнимая; часть';,'('Ътк:::~',"::1 ют комплексное число в алгебРеичеоксй:$оРМЕл.етм';-,'-",;:.".;;-":
Х» эс» ~. чч „ где 1 - мнимая единица ( х"
Комплексное число можно изобразить" т(тика":)йь,;::~'' плоскости (рис. 1) или радиусом-'вектороМ зтосй'76Ф~)ь личина о ( о- ( 1х( . называется модулем','комйлеие ла, угол Апл~х между положлтельным неправд»внаем,-,.'::,йейй ной оси с х и вектором Ох нвзысается арпументомл'жемп го числа т. , А~~ х определен при '~. я' О с'точйость гаемого, кратного 2')( . Главным значением аргун)энта называется значение Апл1 х н']-л','~ 1
Ат~х о:му»»,.лк, где к — любое целое число.
Распознанный текст из изображения:
.с л, *~ ' и . л
3
-.—,, „.;: .ю ',— —,, ~ сук) = х2 е
— называются комплексно сопря— з,сл., ллд действительного отри-
, 3)х =-6
е
Ог
= са~'-'+2 юм-'
— если сс, Жв,
-=мигания комплексных чисел зада-
м,= м..
-тс.
х
хк соответствуют сложению
*с
),-2' -1~-2~ °
чисел задается равенством
." -" — :. е;"-лс-с - ..- .г.ется равенством ( ~.л Ф О)
7,, =; '", л. ~,у„') ~ ~~ 'с~~< -ос.~~~
— — — — = ~ - => ~;') = - 1 л ~ .
' число в тригонометрической форме:
2, 7х ,.гкмг. „
, пис з-ь комплекснле числа Х
-1. в трех ',юРмах
~в )х1Чссъ~Аъ~ъ,1 а Мчь(дш~ х,')) )т„~~ ~'з'~~А'~9)хЛ )хд!т Л ~Д сх. ~вшу,1оо ь(Аю~к "гз)ЕйА +1 ~Я о~д~~х~1 СО Ъ АЫД ~ ш Соаф Ч Х ) ~ ~А ф'"' ':Ъ
цх,) А ~ к..д; «Д,' Последнее соотношение понимает
ется в том с~меле,,жт~",,. во значений А с (- < х л ), совпадает с множее,'; ', .
А'х . О вектоР Ох, Растягивается в )та) Рвз и ново ' .в' 'хЯ Хт . Очевлдно, что при делении ( т,~ О)
) Х 1" — "-, А'~с~ к = Аче х, — А'ы .х упрялнсние: вычислить )) ~2 ' ~ ~ь 2) ~Х"'Ъ~Ф+Й""' ы) И 3 правкля умножения комплексных чисе '... - '".-.,"..,",е:;::,;:;!:,:.-,":~'-,.'.К~$ю=.,Д О другой стороны,
! ею~ 'у '~ 'ь Ч ) - саъ + ' ° д, ~Р. -::.':,".'.".::::::-..:.!'.:::::::::!"'~!:;" Число 2. называется корнем е и степенк из коипледоиейб ииаййе ~ 4г если лл~ . у.. В тригонометрической форме ' ', ':,- -',!:;::,';::,:::,.~::;.,::::;::;'!::::~:-':;;!,,",:,з,."',;.:
)ит )" ~со ш ~в А идй ь ~ ьо~ (, Асей~ "ФЦсб9Ад~к4 ~Ф~е~~~~~ (' отсюда
~ .з) лх~, А'х~ъз А ~к' Фосыула л; Ах 'х .. А 'х
ьт-ч)т.) (сюъ — -'~- - '~' или дает и корней при к О. 1, ..., ю-Ь.- . Волк .и показательную форму записи комплексного числа",-"ет
~т 1
ш
т ~о7е Легко проверить, что )е ) ш ~' для любого::д~МФт
и числа Ъ
~е' ~-~~м, ° ~м~ ъ1-~~:":::,::,~::,;~М
Распознанный текст из изображения:
,рскнят ; .: с= ~ 1 и к -с з' Ч . Условия эти (необхолвннс и лсстатсчнкс) таксвн;
1) ь и С яв".ястся ли',фсрснцирусинми функциями
«) кк васви гв ясяиаваднне свяванн ссстноюенищии
(з)
внялкткчссккк )В нк'(ип икают силу ОС~1чнна правил (с 1(:) ".= с ( (-', Г;(т1 . ) (т)) - ) (=( — '„(-(, ( $ (х) ~(т1)'- -1''л)" "" '.""-' '-~ '-"'1"" ()')-'~Йв(~( ~те);
х ) — в: ак ~ с"Гв",авва аналитические функции с с' (т)* а) ~ '(
рис. 3
п
"уста ва я ат,кк
'р ' аск'а уравнснкя
срк ~- = '1.
как в ссккаХ (Н,' а - = Х (х ),
т =()
исс в вэ квн,
лсвсл ксвс кцк. ' ' .. ~л сн ие определена.
с;,.: . нт касатальн.й
8
с~ )*(; М .() ~(~Ъ~ ~М
аю в а'ю ь~ о асс/~т. ов~(ь)
(аь "а)
Отеюяа
отображения, оеуще
- кривая на пл
'ьч' е ~, определяюте
ны из соотношения
~[к Щ чЯь
раметр1 изменяете
. Пусть ~в/
. Аналогично (
В результате
о К ° Х
При этом точки
могут быть получе
~в/(
причем когда па
гает всю кривую
)). - К Ьв'))
ренцирования сложно
Я ЧЪ,1-А'. [х
няетея в силу нера
= ~,). Аргумент
аргументов еомножи
-акч ~((х,~+В~
(7) следует, что
асоч )' (Ха~+и,;
выражение (8) ". а'~
(и ) и выбора то
льной к любой гладк
сумма углов: между
По правилу диффе
ъч'(О 1х . ъ(
Условие (6) выпол
точке х Хв ( х
чисел равен сумме
Мв ) )(~.~
Из (4), (5)е
т~ ю
Анализируем
от вида функции т
угол между каеате
в точке Я есть
олл~() (Хй °
Так как этот
то при отображени
пучка гладких кри
ко веем отображе
чиваютея на один
Очевидно, уг
равны углам между
плаекоетиОХ ).
и га в точке Х,
зы У", и А"в (на.
о,'г~х'®,
етвляемого 4)уик((вбй((йа( ",~,-::.;:::.',„; оекоети Ч/ .
я одним параывтр(в( ":;,'~::н',''.:.,~:,!;::.:;:,:,:-'':::-:. то®, я от сь до р . '- -'-точ)ов,~ "':;.';";":,„',!~~~:
у. «:в$в'в " "~; 1.х',И ) 4 6 .;.-:::. -;::::".'-':::.':,:.::."::";.;~;::(6~':::='':;::,,:"-';;;:;:,';:"-",:~,; х' (Ф. ~'::.".""- --,',,;::-,::,=',";::-,',,:::,:;;:;~~Р"':;.='„,:.:,'.:.-,:.'„".,":.-:"
.(х ):. заанеит.':~ъ1~::.'~~й~-;~'-;.;:-,'-'";::! ичееной: 4(уйици~:;:~;-~:-ф())~йв~!к~к"':й
3 точку й'ох~ ~~-'~
'())а
-'прод
результат верен для
и посредством ена'.нт
<, проведенных иере
кривым обр~ввм
и тот же уголэ Рав
ме,дур и б
еоответетвуюэ(ими кри
П мер (ем. Рие 3)
еетьб ' ю Ч "'
плоекоети Я) ~в®ют
Распознанный текст из изображения:
определяет, во'
В многосвязно о
й области интеграл
ию. Ннтеграл макет прикинет
ае ю функцию. и
ниченной (. и (-, имеют я
ли ену. °,
нутре области, огре
неддекеюис )),
т ении спалитической функции по
т мокко воспользоваться
. ком восстановлен
или мнимой) части моин
ее де йстеи.елькой (или м
) функция л( уд
Н ~с~~~~~ Да
, а и-ипсетеп
нмх пР'изездных г ' " ", ' ° - "сит~ и
):
'а.
ции 7 (е, З
бл
И, ерепгп уреенепеп еп гу °,, . >
, стыл дз еге."е~ и „,, пе г,ге и- и
считается
г~
1
постоянным пераме|озм,
йз его„ого уедпеиг,".л.,- ':;; -,'г г:Р Ь
.,: ~~ее"-, '~ге,е получим
е
'б ц,
— =е — ( ~(- ~' '~,З.ю .. ":, .:,. ( (-,.—,'') (-ю" ~(ф.
В силу гармоничности . ю; — "' ' = е;
е.о'
егкм ~беаз~м, 2 л,~(, р(с) о ) Ч
(.~~ ел.'.
г
восстаПоетоянауо 2 мзенп емче пм'е, е ге известно значение восс а
иаелиееемпй ",ункции е магог~у;й гзчее Х.: ~ ( Х ) Ол °
йолеюео; найти шхкги гепггуп функцию ~ (х ) по известно
тной
12
й Далем ")2е нкцкя л( и испо
ревизии 1Ф("ФФ м'), фу ) позе
1- -7-
'3
(зе) е
и, о
~~л~ лп
ление
ачиг
«2
(,21-.
ь опреде
ем из
условия
2е.
ии (О) °
ростра А дейс ненни фун
Х пе
изучав пением в
твитель функции кцня КП о растают
х функци ах сорок Например далеко не
й КП озых , те ара
3.1.
й наеме ъл$
ех е) '
нкцие
О,
е комплеко(еее
не обрелймет
иоать отобрана
которы
нуль
ватель
9) еоть
Чо~~
ее части Ре1('т) ° М ° 2е
вии ~ (О) л 2.
Решаем с помощьо у
е 2 е еюс с °
Э
лт ( ю „) 2 е -' „(,„
Днффврвицнруя лт (ж, С
аналитичности, получим
2 е тл(лл
откуда лг('(зе) О, а эн
Итак, птгх ч)~ 2 ем.~
) (х') - 2 Е "со Ь С л;
Эдесь мы вос~ользовалис
(см. и. 3).
Постоянную ц найд
2л(О 2 -ль С "О
Э. Э))ИаНТЛРННК фУНКЦНН
Элементарные функц
ются естественным раап
ных элементарных функци
ко при таком распростра
свойства поиазательная
функции а( лХ и сон
дулю и т.д.
Теория элементарны
Д. Эйлером в его работ
много опереаали эпоху.
на с больеим трудом и
Дробно-линейной фу
~М 2(х
гдео.,Ъ, с,с) - не
с и с одновременно в
Рассмотрим последа
мых функцией (9).
1. Числитель вырезе
ла~, от. лЪ о.(,
и Дойблнктальнгм'"У~Д(~,,':":...',л"
беря Эйлера;
льэуя втерев. мз уейрвЮ 7:":;;
ледовательно, .
М ПОКаэаталгЬНбй ~-:;.'.„.:;"„-",-',."-;-'.
$ (О) 3, т,е."..:;,.',",'-.'--;",.',:,.,'.;,!;.'":-:,.':",:::,::::
ИСНОИ ПИЧЗЩ(НОЯ '(Яф
мые в двгв(ом'курае),-:д)(фщ~,':,--:.:,.',:.",:',':-".".;-''..::,
пркобретают"подчае::йбвйе
казмвается перкоднееекЩ» ' ',,::;:~.
быть ограничены)еп(.'не: лйье,', --',;,„";::
бьиа э оаь.лном йевдеййь...'1."
годов Хуйв. Этн уабетй(:,нй-,'-„",':;.";:
орик логарифма был п$йф)йЬ",,:;:;: .:„'..".;,
зу.
Распознанный текст из изображения:
б„,,„,б»б,- б бб», ббб»
свойством: окружности. принадлежащие плоскости ~Х ), преобраэу
ются В окружности, пркнадл<жачке плоскости Я) . При етом пря,в,
считаем окружностями бесконечно болъюого рвдиусв,
Убедимся в том, что отображение М « ~/х обладает „
свойством: х » озб ь'1 ~"~ = ~ б' ~т м - ~/х =э б ' т »
со+ ь~
и - б"Э
бз -О
бЭ б бб' иб Ъ «2»об 115)
уравнение семействе окружностей на Яэаписыьается в виде
А! юб.б;~'~ ° Гб-с '-'~ б бо =О.
Уравнение образа этого семейства на плоскости Я-
об Оъ
-!) ~ о - сб1 '6 . — с О - й - Сб
б "~,
Рассмотрим на плоскости ! = ~ то~ку
При отображении чб'= ьэж 'з)(бс 2 Ц Х б = - Ь(с б = о .
Следовательно. Образ какя 'й прямой или окружности проход й
дящеи
в плоскости Я чб'аз -, чку ; . = - а ~с б содержит точку
, т.е. Все .".Раиче к окружности, проходящие в плос-
плоскэстк,~~) . бее прямые к окбужности не проходящие
Пример: отэб дить эн'=
П- .ы р: „а ,. кэ.. зубка Верхнюю полуплоскость
О на Внутренность круга О = 1 так, чтобы гран ица
б переэла а окружность )~Ф ! 1.
,",рабнз-лкнэйн с отобоаженке обладает .
1 .с з лелеет кругоВым сВОйстВОм, пОЭТО-
му для резенкя поставленной за'
к э фициен".ы функции Ьч ( '- ), чтобы с
к „. л-. ". „, - " ( '. , чтобы установить соответствие межи ранныии тсчкамк оск ОХ ! 7,
" чкани к"уж ости
)' . ..» х = О) и нане
бв2
т.е. для эа"анкя дробном но-линейного стоб ж
Оалбения достаточно знать
М б ": , б , для чего необходимо задать соответсть'! — РМ,,Мэ, '~
Например, так подберембЭ.,
. 'МО',,;, б,, чтобы
! ~,О, ь) ! 1, ', — ь) '.Рис. 6).
1б
ь=
б Я-1
б«-1
Рис. б
~~/ (,!ь
о(,р, б п
!У,а \
Отсюда
Таким образом,
х" 1
Ъ( =
ТХ -~
Мэучим некоторые свойства от
функцией М
Пр дставим ла х и ™ в
т. - ! х! Ъ "«бй ь' е' 4 '
По формуле МУавРа
чб'- Х > !'лб ! Ь
«)
Отсюда видно, чт
функции происходит по
и Растяжение в )х!
дение: если две точки
дз
бл( и а/2 равны
Поэтому для виде~
которых степенная Фун
отображение, необход
собь~ -~ тбй б«э
!~м)-!Х!".
о при отобрав
ворот каждого
.Раз. Легко
Хб и 22.
Х, аж~ Х
ения облаете кция осуществ имо потребова
Иэ 116) имеем И„ " 1 Отсюда для нахождения
ных уравнений:
-1+оь Ы, 1«
о'-
= Х
ь-- «Ъ'Х
х« ~4-~ . 1 - 1;-.-,й',:,,-':~~.-:;.'.";.-',.~!-,::„'
Р обременив, осущгстзв)й~е~~!:.":;.:~;:.':;~:„"" "
б, тригонометри есбкеойб фю1)и)~""' ~ ='"-" .е т
Распознанный текст из изображения:
ицсй которой является С (рис. В). Через <ь ~.~ х
ес
<у
С
— Мь
тс
т <=у=
'~ Г
~' l <
Рис.
О .,к .з пги обходе кзнтурз <. -<) меняется непрерывно
и пок палка.. збхзде контура С принимает прем-
нас значение, ра язв
/1
осксывая звчккутуп кркз„; о '-, ;" ,~ , , начиная от точки
'1 ~),р
вернется к свзему пгежнаму знвч нке ««',
Значения карня, <зп,едалявч в другкч выбором аргумента 7,
/кап, кчвр, с хз =, ~ . ',к ', к = 1, Б, ... )/ при полном обходе
пз к",квай С -.вкжа оскс <вазе за <кнутые кривые Сз , Св , от-
личающиеся зг <н зл п вз)зтзи на
л
.аяврь 1ассмотрзм крквуч л;-: „), внутренность которой
содержит точку д = ".;сь. ка <зис, 9 пунктир).
.;рк пзлнзи збхздв к1квзй (. зт точки л, со значением аРгумвнзв с <" < соз. зе"'с. вуюл" я тачка ' <~ = << х не воза
щяагся в полажение х, , а занимает новое положение
,,),
твк квк арг мент то к., г'..о.
т в у. . точки -„ гри полном обходе по л получил при- .
,"л „"анке 2 Т . К своему начальному значению ~l, точка Ьl =кк
ВО
вернется лишь при' '<з -кратном' обходе-к<рйвай'::~,':»':,"::;, этом случае аргумент точки чч', получит,;пуяр)ай~~:,':-'Фж!-'::;:;:,:;:~"~~' Ка рис. 9 показан случай 'и '~::3.'::, ':::::-.!'::.;:;;,=';-:::::„.:;:!:';:~;,;„"':!:-!.:;-"„::",;*' Отсюда следует, что и любой-обдасти'„:;:ъ1~~';; ~!;"":::"'-':::.'~, „р~ держащей ни одной кривой; обходя<дай .то<чку,„:'~.:.,,":.~,"'"<,~М' лить ю неп с чвных и о.ноэнвчных фуняйййк, иэ значений корня " ъ. чти и функций наэываютси' ВВФцйф,ьйфффв)я))1 'ф ~'Г ; их значения. дяя.'квядого,':.фикс~"'""""""""„;.
Ру юу ~ ю~юмя:(ы~ ~;::- -':"::е< В этом случае каждая иэ ветвей является':-нещ~ф~еф~~',
й. < ~еаь:<<н<я~!:„"' -" "
0 л . ««я Й.~~< 'Ъб,в~:::::Ф,:,',':„:,' тЕОрЕМа О ПРОИЭВОднсй ОбратНОй фиихцкн;,"';-,:::;::~'::::::::::;.<;„:::.";::,'~,"',я,' кслк область в плоскости Я содержит:, хоай:.,;б)й< холЯЩУю точкУ 7. = О, то ветви /~,:;;. бтВЕв4кттй~. непрерывно переходят одна в другую..-,',:.-:;.:,',:,„::-':::;-';;:::;."'~~';ыв~ф' Сравните на рис. В кривые 0 ° С,,':,"';.;<~в'.":,","„'-,"!',4,. "'
3.3. Показательная ялик ия и<лога; и щ ю фут<к мыл ые'«''"""ды!::::~!
Вю кт< <л/;и) =и<~, ) ..<ягою,~) =е е, < "-.".,е~~~уд~~!~,
~~Е КЕ') -Е сед, ~ '(Ф,"::б)::<.:Е-:...",'~~~~;,"<""""
Иэ этого определения вытеиают':юдййййвйщ$;;.„-"";,,"
1. Для действительных чисел х.: .-";::юю ~.,':~;,'й:;,'-''!~~"$ ' эательную функцию действительногб::=перймй))1ф~й»'-:.,
2. Функция е " всюду аналити~':::и<:=~-': ',,' ляется по формуле
, (е ) е -":: —;."-;-',='~: :~<":,-":!.'-::;'::,:,:~~-'~'"
Выполнение условий Даламбер)я-',юйлйР~ но. Используя факт независимости .проийвйД~~~„ ' которому происходит стремление<лй~уМфй,'„ ,. мем производную 'по направлению,",:,яйь 1е ) . — ') е ~сюъЪ+ ' ь'~ '~~1аь,'."а'::~., ' 'Ф. ~ <Ъ ю, * ' ',;.,*',.-„: ~!:-'**'," '~: Ъ
Еж)ы.м!'.,;:.'Е'в'-';
Распознанный текст из изображения:
3. Сокраняется основное свойство показательной функ„„„ (в области действительного переменного), выражаемое теорем и слскеккя
' (сс ), ~.( .ъю '1, )' е (ссьф к '.~ею~ '~
= е '" '(ссв(~, к.) ' е-' (~,.д,)') ="~
е -е
4. Показательная функция не обращается в нуль ни при „ экакеккях показателя, так как
(23)
иолы~ эапи=~-: кс-.в ',,
(2!)
'-' " .' и~кивской с периодом
l °
,, = Н ., -':", к в силу
', с циьй
„опдьп атк ~э (э , Тог-а л
плисксстиЯ)
т д~' ив
. = 27 преобразуются ,:эакы ".,;. эдиоэначэ„кы,: ',кэ по полу- ' ~ к ) „'.паээ, а
'. б'.э.~:.
.вт:."."'„."'В Роризон
к плоэ..эсть с разцок (эы отэбрала-
Рис. 10
ется в есконеч Ло1а и
плоско функция опре о И навив значается огарифмиче им основны
~Щ ~ яя/~
й; числ , и обо ления л и получ
к показательно ли е
Из опреде тельной функци лексных чисел.
1. Пусть
~к/,+
х, х,=е'
(25) - есть о
свойства логе
2. Пусть
1м х=
В этой формул
число, в перв
турвльного лог
Как извес
йк/к;l. известно
бобщение рифме. /. ((х! е, так к ом слега арифма. тно, Ак ело им
! а'ц
ьдкчт )
ак )х!
емом испо
о х - баск ест бесконе
комплексное чи
! +'(а ех - главное
ъ~ (х
аох
т.
В етой формуле
числа.
Условимся
нечнозначной ф
Ь х обоз
Чl а~ х
й !т! е'а
висит от т
о числа.
через
ункции
х
х ва
ексног
Значение 6
аргумента компл
делается как функц)Ъ~.,:':„~~~~~!.;;.
~ 'М нн' (хсзр='Йй ' 4Ь~2в(МФ);"::":!,;,'':"!;!.-,:!:.;=,=.~",.':,":~
го из влементарной матеййт~; †::;:::-"",'„.:::::,'-::-':;:::-'ъ:,",'.,:',.~
! х ! е ' . Тогда':по, фбф~~~,:!р~'.,;:;"~ '~-.,
~дл !'к.! еьд'с$'Х: '.:: . -.,;,!~.-':!!:;'4!й~~~!~,',~~~
льзовано обычное .обознвМрНЯ4:::,фр~~~~~~ф~'!~
( ' ' о '" я
* и ъ ~~!',::*'-"'; йиу~-" ьк
онечиозивчивя .фущщия:,п~~~ф»';-
чное' мноиеотво. В)ж4вий~1" .'
+ ел к~ ° .,'-' ',',."::.'.':..:"'::!:;*",.:,:,'; ~!,"')"
значение «ргуйейФ«;:.~";,'"
начать гщ!Внае:::зщ~, ",",',
э со отзетФФВФзщ«Ф!!;'й~:;.:)~::
ого, ка)!ов:вйкя~1~1!~'.,
Распознанный текст из изображения:
-...,",-,-,;,. а а';ск«стк '-. дас кроо'е С и '- ° рис. П.
— и/,
О
г: - крк уо О от начагьного
-,. к«ь«а) О,.снт:в точек глав-
", («к(:., значение аргу-
к т.чкс прк прокол„",.нки к ивой
н'
на: снкй
кк в .,лоскости (~~» бу-;чается из " счс.„ением к. „ будет бесконечно
.(и ,к друг ст друга веткой
'Г '- - : ' : * ) садоркит ан(тти исвоего кон— по замкнутому контуру
д «арастают на 2 « , поа '- " 'у с .'(с- ' ; : к- .;; к ка угол 2 '«, при воззрел ! «'ку
к( к« (к, кбо у функции '«кк"(«к чкс.„
«атак .ункции от елить нельз(
;аа;ас«.к(««а(«,;:к,
а д(углю.
образом«если областьЭ~ Я-недсбдаф~е-« ~й~ обходящих начало координат а, П вет и 'А«' «„' ""''-'-:,":!"'':!!'::~~5";.:;-';-
"',:: - .Стде~Ф-,:;, и каждая из них осуществляет взаимно однбзнщсщсое 'Висбю)ййй~6';:,.':, области 1) Следовательно, по теореме о производиой обрати(си ~':
(»'- — ', = — '
3.4. Т игон мет ические и гсесе олические:' '' По формуле Эйлера с23) имеем са ,е ':е.,» (а.':.':;.;::(Ф~:,,:,-:;.:;.'::::,
чстн»цин 'де~~"":".' Формулы с 28) дают выражение тригонометрических юлтйсц)ц~,,'= '""~,"- "~~: вительного переменного через показательн;ъ ф П имем по о Р~ и мед мц ««« ~ «н «-'.~в";:!~!-
с В.
Определенные функции соах и псих .:явяяюа(т~.;„~)щйнйьсям";::~. комбинациями показательных функций переменяос«оа сщ ':!-' -'."))с)свстсмйс)с',;-';. му свойства тригонометрических функций в ос о ;" с)еуал ны свойствами показательной функции. птя Для действительных х ~ + -О а'их и фдщщ:еоАйсй)йй)й~Г' с соответствующими функциями а;~ с и кль ьоь
2. ~си х и ск«ь х всщлу аналитичны, т«а«к;,йакаВсс)д)в1($сс))йф:-.!. литична показательная функция.
3 , х и еоа х подчиняются обычным'-ьив.:,'айвз)я«ем,.;.;"'.;-.';-,'.!~,,"'. действительной переменной) формулам дифферанцзщевйнщк',',"-,"!«,'!!%~!!„:«!.!':.~!,"-~,=:
Г к'~ -сх I . ' . сх кюъх' =~(ес + е )/а)'=с[е"-щдсх»~а -Йиа'а'-.','-:.-".-"::"':"""~3~~""-'=
и с.оъх периодичны о периодом ) 7 Вследствие периодичности показательной функщиси. ' .
схй ь...~е азсс ~~» и» - ~~~~:Ф ас ас " . -'--:$с::::::~:::-:-'.:::с,"::
'ьси х к % сн у. + а% иЪ, (, „.«с,... '„ Аналогично асах соъ Сх < йТк» . С помощью несложных выкладок можно убей)еввйм~~;;.;:,,ФФ:: с обычные тригонометрические тождества-,,„,::..'::.':,:;:.';":;;::;-',:-,'~~-'-'!:,:"::",;„ ахи х+юь х-с ъси'Рх=~ асисс.-й4$';а';:!-.;!"-:,"~;:,;,;-:,.~-".'«".,
1 Поскольку периодом функций оси»х-''::::::-щ,'.":,~ф~~~~
' '' '«н('«"(в
Распознанный текст из изображения:
2 т,, Обтаотяын ОДНОЛИСТНОСТИ СООТ- действительное число
лси. т б" . ний будут вертикальные полосы ьетствуюсих ото ьажени.
так как, например,
5. Фригоиометричес«ие фун«ции в комплексно плооисстн л ; . . .., г савнению с теми же функциями действительно лидают Новым, пз ссавне
и"тьсм: их модули бес«онечно возрастают при переменного, сво;стьсм: и .. - ли
ст-"« лен«и ~ — . вдоль .и " ', т.
иелстиитсльио
е
г
;з л с» 6л
=со" х-'.с)и~ — ~.'Ь" оссЬ~
г
».о к — — — ~ иди 1с
Ото:;с витий, что ~осок) .-вл, тся периодической по ьс
иг "с личсс«ис ,гн« ио кйнплс«оного переменного с~ к и
-и"су-- '"' '
ли о.ты -=.:.,- - Лй нилс: ии с соответствуюдими функциями действ«тол«Ног «й=с сии гй:
с1 ° = ',с -е'',~с,:ь - =(е -е )»".
(31)
„:";ньо и; в силу й..р; ллснии ьнр:жаютсл через тригонометриьо
чьс«ие пс "йрмулаь
к= - ': ° ',сЬ' =ой к. ( 32)
~ ИПСРСйЛИИСС«ИС .".гн«ХИИ Стейтс С Сй«аэа«ЕЛЬНОЙ ЯВЛЯЮТСЯ ПЕРИО- дичай«ики, ; = 2 †,,' ,; осаду аналитическими:
.Ун« ии т игсисс и «стинг»нос определяются обычными фар'из.
4. РА'"."-'-".! .'.Е ОУ~"::..;.'у НО!/1~".ОНСНОИ ПЕРЕМЕННОЙ
:",='.Н Ьи';,",.Д И ЕОВ«НА
'.сследовение рядов с «смоле«оными членами во многом аналогично иссле"осени.
л" , .: *,. с..вдовенко рядов с ссйствительньа1и членами. Иэвест*=о
и
де«оные числа, схо "итси то д .. т
2Г
хо„итси тогда и только тогда когда сходятсд
1
оба ряда: из действительных .'Е! м„и 'мниммх Я: "-';--'...'»»(ьат~ф»".~"
и:о Поэтому исследование ряда с комплекбными члейамн'сводки«тся,,'н",",.,'~..":,'„ исследованию пары рядов с действительными членами.
Формулируя критерий Коми для последовательности',част~;":.,';: СУММ ряда с) 5„1) (8 =Й К„),ПОЛУЧИМ КрИтврнй КООЛй СХО)МВйсртн,',,':,;,'„ ряда: ряд сходится тогда и только тогда, когда -для:любого:,к,,;:Ф',,;„;:-;:.т существует такое К ( е ), что неравенство ( 8„, :-:В„Х к:."н':,.;вьй;-,';. полняется при любом ~ - ь(( а) и любом натуральноМ ~;:;-'::":::.;::,:.'::,,-';,:",:;»)!»-'.» Можно сформулировать критерий сходимости ряда, ввоф:;;з~йта~,".'.;:~~"- ряда'к„= ~- 'к „ : ряд сходится тогда и только тогда„-'н~ф~~~~!~,'- к»и»~
и»~з Примеры. 1. Исследовать на сходимость' ряд ' -:: '.':;,'-:;;::,;.",!:::;,-:-'-~!'::!::,!л~: » (-ь» (ь»з~ ' . ', ' „,::. »,-'.,„"',:!',~,'~,".! ~~.
(-й Ряд из действительных частей к — †, и мнимых частей Я';-.+М абсолютно сходятся, следовательно, исходный'ряд сходится,,Р:;",:;;;,;.:; В этом примере достаточно сразу исследовать ряд ',Е '~:Х :.( '.-"~':;-';,";.;:,
/5
(( + з ) = 4Г, ряд ~". —, сходится,' поэтому 'члены'„равд()в:"«-" ' ил действительных и мнимых частей мажорируются членами сх»о~: щегося ряда иэ модулей. 2. Исследовать на сходиыость ряд ~- ( ьь и " ' .ь:': -';:;::::::,,:;;;..';,'!',~,,;ж!;,'
и»~ ЗДЕСЬ абСОЛЮтиой СХОдИМОСтн НЕт, НО рядЫ ИЭ дЕйат«ВИтВЛЬНЫХ,':;Н',.".";,' мнимых частей сходятся по признаку Лейбница, 'сиедовлательно:.р~:::;:;!'-,,:;:::::-„:: сходится. 3. Исследовать на сходимость ряд ',»" †' ~, ° ': ",::', '::;,,':.;-'.,",'.,',"',„:;:,"~',::,-'::;;::::„:.;;,~":,:;- Здесь оба ряда иэ действительных и мнимых частей фсрк«едНТЩ»;::::"::,:~~",,:;:„-;::,:;~.'~,' следовательно, ряд расходится.
если члены ряда являются функциями' комплексной::пере~~~"'".';::~~:, то имеем функциональный ряд Й .(„( х1 '. Еслй "видть;;.,~,""",,~!Ф!~'.;'",,',-';"', кретное значение х а , то получим числовай,рф::,-'.)(~ который сходится или расходится. Множество" точеК,-:;,В,." ряд сходится, составляет область сходиыостн фдё~що~уьМ да.
Орвдн фуНКцИОНаЛЬНЫХ рждОВ ВЫдЕМИЕТ»оя тГЛаа~'.::)Зу$~$ по свойствам к числовым рядам -. равномерно„охо~~
Распознанный текст из изображения:
4.5. Способы зловония нк< ий в я Тейпе
Рстественный и универсальный способ разложения аналитической функции н ряд Тейлора ((») ° Х, фà » -» Д - это вычисление
< -~() < коэффициентов <.'„ по формулам С'„- †, ~ (» ) или г<, < ф
"2» ° ( !»-»,7"
Пример< разложить главную ветвь г(») ° (., (» л ь) в степенной ряд н окрестнэсти точки ». - ( . Главная ветвь г- (» огр<пелягтся условием г<„ (< «)( <З , она имеет вид
Ь (« '<=(( (<») л'ои( <«»Л, —.ь'<ь» <<» эл.
качестве комплексной плоскости рассматри< оется рас<пиренная к -г<пгк< иья и <,ск ..ть (нкпочня бссконечн < упалвнную точку) с рз,<ре.н<м по полуоси йч» л о, 3». о . Вычислим значения функции и ее производных в точке х 1: Ь <(ь»)( << 2 <
г» (( ( " = <,- (»=<= 2 ' (~ (Г»')) = <«.»'<'(»
° <
и ° >( СГ<, ( Г) < ГЗ<
(< "Й) =(-<): 1 = ' (ил( 2, )
2-
Следовательно, рнзложснис имеет вид
( <) < -Г<<. (» <'> (-<)
Х вЂ” — <' ' — — =~ 2 <. с, — (»-().
и2 Часто удается воспользоваться известными табличными разложениями и нл -ел< и» громззгких вычисг«.ний, связанных с нахождением н, 4<(<нц<ч нгон С „. Г<зп(,им< р, в проны,ущем примере можно было и"тгчит; тот жн р<з уп~ тпт пропп, вводя новую переменную й=»-( и попьзгпсь табличным разложением для логарифма:
'(,и (< <7) ( Г < «С ~ Го(< ~ .(-)'] = Г(и<2 ' 0» ((1 ~-)
з 2
л у
'и
и
(- <)
— — „-- (»-<< (»-Г) 2,
Существует облкй способ разложения функций, который называется
попстан<нкой ряпа в ряд, Пусть )(») - г (<)<» <), причем < =Я(Ф
аполитично н кпуге Гх~ «2 (тогда 4(» < - ~ <»»" ) к» ) < пУсть
. ="О
р(ъ') внвлиткчнз и круго)ьг-~'.~<р (тогда г(ьг) = Е г( ( -«г)
Плл
л г
коэффициенты разложения < 2 „ , А известны) . О
с ны . чевидно, что
,з(»),- ~, , поэтому мо~но выбрать з(П)
т-.
у (о )ь ь») такое,
32
что при (»( ~я выполнено( ьпз(»)':,:,„',(„~,~~ Так как <з (» < аналктична в круге'(~(. ':-,у~ '-",':,::,:,',', ",:,".~ является аналитической в круге ( -( м : ,: .ь ",'„
У'-'. 2чг<з«
" ':Р'",""' '"аМ по сгепсням 2 . Следовательно,
ь..,з...,:., Ряд в провей част~ сходит „ л -кгл-и <е оно " 'руд 4::~~'
'[аКИМ Обраэсы, ВЫВЕДЕНО ПРаВИЛО ПОДСгта<НОВжй плг< того, чтобы получить разложение"т(т)'- е ( лоиа по степе и.
ие . = ф'(ф~","
тепеням. х, где ~(»» аналитячйз а ( .) аналитична в окрестности ъ.„ -. <ль<о) „'нвдй я ряд для - - ' <») оггинаковыо степени 2 . Полученный ряд дает «азлоу<ву(
Г (,п(» <) в ряд тейлора и сходится в 'круг(е()~~4 где г< выбирается так, чтобы при ! » ) с 'о ' ' Вип Ц<»з- <((с) ~ ~ . 3«ь<етим, что воомовностьзпоз(уы(ь циенгы суммированием следует из первой теоремьг Ве если <(«'») аналитична в (» - 2, ( м » то л(») = ~: ц „(») => <р< (») =~.ц)„"«().ьз †.'.",. '::.:3:
и < ' <1<, ( ° ',*змь<Г Отсюда следует также возможность сумыироввнйд.,сне)т в общих областях сходимости. Пример: разложить в ряд по степеняМ » ф)г((йцйю
е ) ИЗВЕСТНО, Чта <2 «', "— ((»( л П"') .. Фью
° =ь ре получено разложение
л+< ~д. ((...)Г 2„,2 ~ з .("< (,з-ь)" (пз' '-'Ц '-"2.-
и2 Подставляя ряд в ряд, получим
ие< М = (.-( "" - ~.2 -й ~ (
иин Гдс (»( С ; <2 ВЫбнраЕтоя'ИЗ (м -:Ь";,~:;:~:; ?'.;:;.:.",',.:::::
.:::.;',«!4:: Примеры: 1. Разложить в ряд Тейлв«Й(:~2(г::;:.йт:.)<м
и
Распознанный текст из изображения:
а) согггккт бесконечное количество членов с отрнцетсльн
!«етсльными стопе..я!к (. (ч .! '! , сслк " — сучсстаенно особая точка флнкцит.
П! сдп х"л!и, кос особые точки - «,,, х» функции найдены аачстилц чта . сгонсчно удал иная точк- всегда считаетсг осокой и анагкак)!»ется отдел! но г"и'«! и знолиз гожет быть проведая она хо! ичн , талька »,гсто член !в с отр петель!к!л!и т ,
с епенями нада расска!л! «ат! ч !сны с голо«житгльн гии степенями. После
сле того, ках ас'. осо"ч: -.; чкк найгг!в«, надо провести не комплексной
оа плос- нядиукр!', »"'«х к .;":, 'Ункчич ( л ! аналитична и Рязлаг,.ется В своя
Ф
а!ах! «ча.."г;и «у!!хцкя прегстаялгна в вида су; ы функциЯ !обыч-* г "ас г: ' -! г,я '!;н!и(!лй-сдагаелгкх во всех круговых
„-хче„ч... ':-'.агтл! осе разложения,.;нк:(ки л(ъ) по степенам (2 — '.,1
7- !
"са.гя -. ска 2- л - пол ггрвого порядка, и еются ляе области
В области 1 получим разложение в области 2 получим разложение в области 3 получим разложение
алове
рвало
нов
е для
кения,
ув перем экспон
2к фЕ
2!г г~...!
),—,',.
ции в.н
разломе
= (чь«йк О((
+ +
!
«ф («М ие функ йти все
1)
~(.~= =
з ( .К-.
'Я
(» х
тъ
= с!,х
! '1о"-Сл
3. Найти все ра
!
ь(х) - х-е'-'
Здесь одне область
особая точка. Вводя
табличное разложени
1
тг(~~= (~«!) ез -((ь
."(
2
л ', (а«!)!, («л
(
! 2
( л«! л!.
Зто и есть разложен
Упражнение: на
у( '«" 3~ «.;(ъФ- «лтъД+Ж'*ь(~~«~'~.ф~~~фЯ~~~~;,
Ъ
!- х
при (х! ' (, т.е. в области 1,
— — — — -ъ — —, при (-с.( > (, т.е. в области 2. 3"йгк яс разложения функции «(«) по степеням М-2 л!
я ! х.-х„!
!.: (» ! « — область 2, (х( — область 3. » л (-й —,— „... (х(<2
! ! х«с 2"
° О
3)
ъъ. в
4) 1 (Ф)
5) 4 (х1
х«'-
ч -«л, Х =-ъ
ч =2«
5. ВЫЧЕТН И ИХ ПРИЛОЖЕНИИ
Пусть функция ~(Х~ вналитиииа в облаотн,'.:6«','':.~('
нием конечного числа изолированных особы(~»тбл(аК".4ЩРЖМ~
характера т „ т„ х„ , лежащих''в обд«(аен:;Ф',':;;~:.4~$з
задачу вычислить интеграл
„Ф ~( 3 ~
по кусочно-глад. му замкнутому контуру Р:,,;.4фНЯ()ф!:
в~в()г- а) . по рои о ружности, )('„.;:,. (х-.,:,зй~~ф$4~
к - (,2 „„,,а, выбрав (л„так,, чтобы»В. иВк6~,'Жач)~фМ~
Распознанный текст из изображения:
попала ни о.пил т ч .
о „л оч„л т,,ь„. По теореме Коши о составном
контуре и
( могосвязиой области) можно записать
«
Ф ~(х, 4х - ~ —, Ф ~( ~д, .
г сс «
Функция ((х) — внллитичоскоя в кольце гз«(х-Х „( «ть
Ловлтелько, 'кл гэггжет быть рлзложеиа в нем в ряд Лорлиа
олвномерно сходи гол кл г)гг!кипе ~" так как иа ией
точак:
с«1
Ф .~(к~с'х --~) у С („х ~,(.
ск )с»=- 4 ~ (х-ц«Г (
г«г ъ (,
Вычислим ф Е (х кк'1 пуи целом г . Если го неотРиЦатель-
ио, то подыктегрлльнля функция аналитичг: в круге(Х-х„(» я„,
следовательно, пз интег)юлькой теореме Кслли с)с(х-х«')к)х О
)«
тюли гс . -ь, то по следствию из интегральной формулы Коши
(формсуле для произь.,осой) получим
При м«-~ по иктсгральной формуле Коли
ф
(х
— »2дс. 1» 2Хс,
Дк
Такисс обрзэом,
Ы
о4
Ф 1(ХЫх» Ф ' Зх«2Тс(С,
гс э«„7. - 7 «
су .)(т') с3'у, = 2ш с С
г ««с
Вычетом функции )(х)(йе" -)(х)) относительно изолированной осо-
бой точки 2 называется коэ1сфициент С, при (х-2») в раэло-
жекик ~(х1 в ряд Лорана в окрестности точки х»Х . Таким
»
образом, получена форьулв
у 1(«1 )х = 2ш~ ".ь:, йев Т(х) .
с к с х
к
Тем самым доказана основная теорема о вычетах, которая форму-
лируется слелуюшим образом. Пусть ~(х'с однозначна и анали-
тична в области сэ эа исключением конечного числа изолирован-
ных особых точек. Тогда интеграл от ((х) , взятый по кусочно-
гладкому элмкнутому контуру, содержащемуся в ~ и не проходя-
щему через особые точки, равен произведению суммы вычетов $(х)
относительно всех особых точек, заключенных внутри Г , нв 2Х(
38
Поэтому, зная вычеты фуикции в бсобсых', "-""'"
интеграл.
РассмотРим вычисление вычвтоа в о';лб ь
плоскости различного типа.
Пусть Х» - устранимая особая т«''„'~' Лв
ложении ф (и") в ряд Лорана отсутссствуивэ'
т вдй
тельно коэффициенты при всех отри„а;" „ ,
т.е. вычет равен нулю. Пустьс:т„;
да разложение в ряд Лораяа имеет вид .
С',
1(х~ = »0»гас(";-'тщ»~:,('у.
ум"'*'" "' ( -"-) р
ри
з(х1 (х-к»1 =С-с сг»(Х "у,с~ ь~ ( с Х )
9 1»'2- =о Р, «„(' - ) С,'(х.' ')"
чк,«)
(в этом случае х - тоже полюс первоголдор
Определим вычет в точке Х»:
()" у.1 ('- ~М( -х.)-(-- — """'(.-.) =~- к х-~х» хэсвх
л(т,)
с)г (х) ст' ( к») Пусть х, — полюс и -го порядка функции.'Тогда ряд Лорана имеет вид г С- ' О-«с '
(х1- = + — х.с+»'—
(х-х»~" хх-м4,,:,",'.' х.,: Умножая нв (х х„') > дкфферейцируя и'( .':,'рвв делу при 7. ш„, получим
)(х) (7 Ац)»С С с„с(х"'х»1»;. »«(оьг7..с)ысг
— х Г((.) - Л О„„. „;( .,~С.,( т„1" «Е.(хы
~»»
~,,»-' ~((х~(х-т ~ 1 -(м-~~~.С с+мсС,(х-в'1».";-.'- «- с
— „, ~~(й(х т Д1. (м-ь~, ().,;
дх"
')и-(сЪ,
РЕЬ (( х) ( — 1 Ьссс с я~(х)(Т-ск~ф~' Если х» - существенно особая точка"," тв'в)р())(Ф разложение в ряд Лорана и искать, С с
Примеры. Классифицировать освбые:-точ)Ф."»г
Распознанный текст из изображения:
"к'нчательно находим
Г <- Г Р.- Г - Р-- Р '
о- <
Отседа ~М - йс,.ч . - ск-..ь' ~ .
и~
,"<рк асср ре тить уравнение
при чар< й"сч к;. С~рая.о'.~ему уравнению
:<< ~) - р '-' — <б+< оЧ<)к1- 4.0- откуда
~~о) ~0 ~'~о) = 'с5.
-Ч У<э) *О,
--~.;э~э~З
'.т''~<~с<и-
откуда д".я Х(т.) <-:ол ч
,Т ., ". -: . УЧасы СЛЕГУЮШИЕ РьаЧаЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ:
'-М.~ь «.='): ~., -,'<с)-.ч'~~-.')=~..." М ~ ~~ 1 ~ ой'"ак Рсх',"ну~ <асач у ' ли к нахскяению ре«с<<ил дн+4еренциаль н'гс у)а:нсняя
Известна, чсо
Ь~Р
(Г ') ~'.~
Окончат. льнэ имес.
- 2~.
~<с) 'э~ '.э'~ 'э~
Рассмэтркч рс«ение ди",<',ср.'н«иэльно о уравнения (33), когда НСЧЬЛЬНЭС ЭНСЧЕНИЕ НСЭЭИХСРмсис ИЕРЕМ .НЬОГО ОТЛИЧНО От НУЛЕВОГО. <рсбуется най.к )е,сакс ура: ченчи
удовлетворял::,ес Р. <Сльн ьм 'уса<илиям
У-) =~., 3«ь)=1',, 1" 'Ы-~",'" ~. 0
,.ри исрсхадс к кассраяа«,„'.С«у траян< нию возникает небольшая труд- Рость, эакясчаи"аяся В ""ам, '-".о а иэибраисния
Ю , ~'( О ,..., ~'" (~) согласно теоремам будут .х <-и ь начадь«ыа значения искомой и; нкции и ее производной
не а я<и<хе 1, , а а точке т = О . Чтобы обойти это эатруднеНИ<' ИИ<<ЧГ ЧРМ С " а < й
.." ,, р . , С,с,.у .:„':<,. п, исм. аисд .м новое иссеченное '~ по
„.РМУЛЕ 'Т : 'С - 1, , ОТКУДа ~ - †, ь ~ „ . ВМЕСТО НЕИЭВЕСтнэй ~<.учк <ии ~Ю судом рассРатриаать х( с~ ч~' ~ ~д
Очсьидно, <тэ
.с. О, ~. + О ~ т „: ъ,,',~Г ти,.:„~?:;:~ф~~~<~~~~!~~;."~!.',<<,';:;;:.:,:~,в'*
удовлетворяюлего начальным уолова~щ~~.'~:.,.:~~!=.'„:~!!.:",~!::~~;.';-.,:,;-„:„
аисимого переменного -,
~-~+~,,л ~-0 при ф~у~,ф, ф„у~Ф .,л,у...,.Д,
Осе яаем эак ену независимого йерема<<НЕЧГВ..~)~",',.„'~~И~'~~'";-;:-'"~'.'~4 ' -".'~~""-"~"'
Тогда х Л1 = ~~ с +-)' ) ~Ю ..Относителвк<уб)ф~~!':-;:,-"-'."-'-"~':"',
цкильное уравнение
« начальные условия х< о') < и~< о)," ,~'," "."'::',!';:.:;::!-"':-':,"-:;"!!:,:.:;:;;!~!'";:'"'""'' """ '
т Л~ — — ~ ~р, то "..ф,'~кф~~'.:;:~'~~:. ''"
:.';,'.'*,<< ','ф~„*,;„ьы.,'...„."„."фас
', . ь гх~;~с-вее уравнение <смеет вид
Ра' < " у "<<~ва':::ё:;~х:~:-"':~И''"''4~
" .'": ~с'<- ~ ',~:- М~.: ив::::~еж';""'" *"
-ся и последнем соотношевнии (праМ4' куб'.:-,ще4$'
.:,4,т:,,-:,-,: ",:
Итак,
' «1- . ~В -4Ф- МЕЬ-'Р Ф - Мать'а - ''".А "~~ "~Ф4МЪа'-""'" '
".реи уйество операционного метода перв<д'кваиФ~""'",-;~~ф~ '
'нии дифференциальных уравнений в том„.с;:.йтв:::9у~;
ГТС,".'РазэааНИЯ ЛаПЛаоа НЕ тРЕбУЕтСЯ ОПРЕДЕЛЕНК<И,'Ф~~)Ф" ... '",ь
с .д;сательно, не гребуется и решения системы .мгебуиФ
~,""наний, иэ котор<сх находится прокавойЬЙФ Ф44~йфйф~;-
' .-е . ярко проявляется преимущество оивфФММййФФ~,.'„,,
. Ьссичсским при решении линейных дифФФрФВИ~~вйй<ы
стэянными коэффициентами, когда,правФФ::4$~"':.'...,„ " ',
Я<т Ссбсй КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНУВ фУНКЦК<В:'3:~--с,,
эуя эаиаэдываюдую единичную функцию .~,:(.Ф „'.:~!~;,
'есть эагисать единым аналитическим::ВИИМ~,,-,,
' запаздывании оригинала найти иа06ракай~йк:,.
-"-'~бражение будет представлять собйк::.НЮЖНА,,
луилос«ости функциюсф с~) . Яокоф".ЯФ
' '<а для иэобра чия, полученкогФ:::", ~~' .
"сния, придется снова воспольвввМв~ф;... „
оригинала. Ответ будет содерватв ФФФФФ~)~~~'',, ".
цио, которая автоматически склеиваакс.
Распознанный текст из изображения:
'л~м'$ае г~ °
: ЪреЯЯем и нэобреееющеЯ еиотеме о учетом то) о, что
о(М ь) Х<~); ~Ю'ет ~ц') ' х~~)е'. ~Ч') °
рХС~О -Ь -'я(р)-%((ь) О,
ГОР) - '-')Х 1 Р') - $Е(р) Ф О,
р2ср)+ ~ -ЪЖр) -%~(ь)
рХ~р)-~~р) - Е~р) Ь,
- ЪХср)~ рсфср)-Е(р) ° 1,
Х(р)-Ч~р) +~>'А((5)т. -$ .
Раэрееие ету систему относительно Х (~), З((ъ~
получки
'ъ -2 Яр
Х<()= - ~- — — 1(,(~=
(р ~ 2)( р .М ~р~О~(р~2~(р-'ъ)
,2
Я((ъ( к
(р ~)( р~ Й( р -о)
Отсюда, применяя оазлонения дробеЯ на нроотвймие нли творемм
резлоиения, наход..л
-.Л ~ М
ХЯ- ~9" ~
с -И~
(Ю.— е -~е — р
м
Распознанный текст из изображения:
УДК 517.52
ББК 22. 161
Д79
Рсиси кип й< .<6 Га<ххоии«вся<
ятслы<
УД16 51752 ББК 22.161
® МГГУ им. Н.Э, Баумана. 2005
Дубограй И.В., Дьякова Л,Н„Сьулисвя О.В.
Д7х Стсисииыс рялы: Мсп<личсскис ука <авиа к иьшо:если<о <ивового расчста. — Мл Нзл-во М< ГУ им. !<УЭ наумова. 2005, — 57 сл ил.
Мстоличсскис указ шия солсржа< крагкии <сорстичсский хи<<сроки<, исобколимый лля рабо<ы ио слслуиииим <смач: фуикшшиальиыс рялы. илхожлсиис области смшчосзи глсисииых рялов. разло>ксиис фуикций и с<спенной рял. ириближсииыс вь<числсиия оирслслсииыл ив <сгр<сии<, рсшги<ос лиффсрсши<вльиь<х урви<олий с иочоии <о с <си<с«иых валов, 1!и кажлой <счс иривслсиь< иолробио ра<обраииыс иримсры, когорыс <юмо<5 г сгулситах< ири выиолисиии ломани<с<о залаиия. Дш<ы залачи лля сиз<ос<ох<сльиой робо< ы и условия тииаво< о расчста ио тсмс «Стсисииыс р>шыя
Для самостоягсльиой <заботы стулси гол 2-го ку!зса МГ ГУ ич. НЭ.Баумаиа всех сисциальиостсй. а <икжс:шя рлбо<ы и ау апории иол руковолсгвом ирсиолава< с:и.
Табл. 2. Библио<р. 3 иазв
ВВЕДЕНИЕ ';.:,',:.;.-:;; ';:.':'!::::,"'!':':.„:=.'=:-:-~-"..;4.:
Методические указания предназначены для студен~~~ '" "
щнх тему «Стспен«ые ряды»,
Н работе кратко изложены необходимые для'решеМ~,,
дсния, подробно разобраны решения типовь<х-йфдяю,:о~
нис уделе«о тем частям их решения, где студсент~:::.~.,
пуска<от ошибки при выполнении домашнего.а<<1вя<иия".;:.':,::;:~.::,;"'-:,'-,';.'~"
р!осле каждого раздела даны задачи С'".отВууЮ~
ой работы которая позволит выясн5грь,-';:да' '
уьвосп маз ериал.
, <'," '-„.;ф~ф
Распознанный текст из изображения:
о (см. 11, 2),
!рялахб ~1; Я, ".'::,::;
1г!.1! ляку Дал ам- "ф
3 5 7 (2п!1!, ! 4 7 (3п 2!'
3 5 7 12п ! 1) (2п ! 3!
! 4 7 !3!1-- 2) !3п !
ип — — -- — - =-!пл --"- - !х ! 21...11х ! 2! - !
!хч 2(:
2 2 2
. Фбдасть абсолютной схол1!мое!и я .
олимос1и ряла. Исследуем 1кию 'Жмграиичимх точках нитс ! '
И1г1сраала сх1п1имос1и. 11 <ьчс!аним
4ф
д ' ' . юиис нсооходид. йовери!ь вьии1л!
' учае т!Ос!а!оч!!о т
ю !рудио, Заме.!им, гго
дсиие ря-
7
--В
2
,4'
,ф~"..'" 7 ' "' „сх(п!И!1 я !!6! Ол!(и !!о. Зиач
я"',;-".:,'::.",";;:"-.'.-::."-'-.-;.:,":,:,;$': —,: Едадоаателм1О Р"7! ~. и'
'т'.,";:;"':.";::~::::::::;.::!::!;-".::::,' . ', „ж1лп(х- 3) „,„„„,, я або и!кои и чке х -..
3, Подстайим х:= 5 В рял:
и !
а !
В точке х =-:. 5 степенной рнл сх!е!11 1ся абсолнли
Ответ! область абсолк1пн1й сх1п!1!ь!ос!и,:!111!1юи
Пример 2.4. Пайги о!кис!!, сх!и!имое!!! ряда
7 - 357 "( !)
я;-11.4 7" (3п- 2)
1, Составим рял и.! молулсй и исследуем ело!к> !ц
бара;
1пп! ! ~
/г1„!
147 (3п
Д
ГЛ1С!1ИД!!О,
глс1! ря1!а бол! и!с о!т 11ри1!ьчк схолимости
3 11 !очке х
35 7 (2п ~1. '7 (Зл
Г) ! !!1„"'!" область !
ОСИОГ!
1,сли чнсли ! с'!'с!
!.~И И 1. !М С,1с!1С!1!!О
ке.,!с.ка!ием ииу'! р
1!с!их !сиия 1, Г'умма стсиеи
,1,и ь1!!!ериала сходи
2 1'!е!!еи!1ой ря
1с1,1с схочимости, !!
сумм!а исход!ю!о
5 ( )::.,5'(х)
(111,и этом сходимос
с '~', а„(х =:я~~;-;;:::-:: „::;:;:::::.:.;::;;:
и --О
(2п+1)(2п+3) Зп+!.:1 4:;7',:.„:(Э '--'-'~~':.':.''~а'':;:." ",""М~:;';.-И~~.'" — 2) (Зи+1) *)Я -3'З»,7;:: (2и.+:~: „-:~щ»':;,:~:.;-'-';::;:::;:::;':;,:::- ед! !ду!лего, т, е, ие щ,щолия~4оа:,'~~~.',::,:,:::-::::;.-~~.,':;. 1 — получим расходящийс!я ряд::::,":.' "'".,";:,",':,' -'.".::.'.;!':.';:-";-::::::;!':-',~!.'',!~":,,";~=',;.'= 2
г ~ и
! 11(3~
"-2) 1,2~ ' !босииотиой сходимости радах~ ":: -"'~„""!~,, '~"-''-'~ и ь! е свойства етвгтайцйЖ,;ряааФМ;:.:.:':-::::;-.:~',;.:-',,;.',.' ге1и!Ого ряда явля!сигея иег!рефы$ЙФзй й ряд сходится равиомерно!':а::.:М~! и интервала сходимости, тФ:й~фйЫ,:;„ ного ряда является иалрарйвИФФ:.
мости этого ряда., ":.:::::::::::::::;:::::~,'':.~! «~~~ д можио иочлеиио.дйффФ
ричем сумма нового.фяМ;; ., ',
Распознанный текст из изображения:
3Млрио1м йо (3,4), считлй.1
!)и
, Р()'"''
(2и ! 1)1
н О
~( !)"'
и и
Область скслимис гн ~ни~у
~~ чсииии~ рлдн
3~ ~ ('"; ! ): к с (
Пример 35, Рдиннкп~ь функиин~ /(~)
;н12а ~н~ счсисилм
х!
Х -1
ХС '
1(п (2! )
ВФ2х-
л л
ялЛспк си~Л 'н1
'1
2
(' н1 '/ с~) Ч)
ч
Дйлесч исиолиун(3, !) и !151, считали ~ 2l, ~н нучнсм
Д
— (яи 2! сис 21) 2
.'И Л~
1) ~1 1)
„(.,~)'
2 (2л ! 1)! (2и)!
к О и н
Зорим, по н пилучсииим рнии.ксиии и!нису ~с ~нуни нсс счспФий 2) >ийииая с иулсний, 1!ииро6усм <ли,слииич н и1н1 рнии и илии айДа 2"„1.'„(21)":
~и 0
' ~4 . ~ , „ (2~)'" '
2 ". „„о (2и 1 1)! л
Д ( (2~)' (21)'
ж~ ф
(21)
ч1
(" !)
ЭЙЛИ М!СЧ
.,'и
1)
„, ( 1)'
) (2ц), ~
( „")'"'
(2п ! 1)1
Оксин!д
1!'пнями
'я1сл< >ин ! и
!!римо! инм (1 1),
Имссм
У(.) (к!
/(нлсс, !
чисм
(Гс! 4~14)
1Ьлучи!
( ~, 1(рсибрн
с~им» иидс! ки!и !ми, Дл !нмсийм и 1
с
(2!)~ ф)Ф':'; "::юй~~!~„-;;,':, "'
Яйся~'
- — (йз:
!синий, ц(и2~..., .... ~ (,!)(Й~М
им, ччи м!никитой!, (-, ц'"ф!2':ййй';,-(:: "~),
с и!лкин чсрс ! йии,и!ойй р~~~~..-,.:,'.:,:,!::,'::::-;,.„;:-',-:,,:~~~!!~~-''
> 3 ! 1 !кл ! и!! фуикцй!оДЖ~ м.~ф+1
)/ 1л 1 Х '*
~ х --1-1-1
2
:,-. (~ .(-':.'2~~:,а1м~ФФ.''
кпопнчуй Формулу (М):.Й ЦРФФ,„' „,
1н
цийесл трй ря46 йМФИФ"...
им той, чтобы вцФ.
Распознанный текст из изображения:
2
и,ил Г ИВЧГИШЯ С Г . ВЫЧИСЛИМ~~~!:
о Гииаковь! Сгс с
Ъ асах трах сумм г ' ' 'с
ем и стеиеиями г, з: с, а и !
Гасм
емь!е с меньшими ... и !
и гп
— -! 4-1-2à !
-2 ! ~~ >п..г( ' !)
Лг ггг- Г( г '>) !
1! 2
. Х,—,'"Р)п, (, „,
и.=
г
и
4Гп с
2). ' (>г --,-)( „, -~
п.
1)гг-! 8л !. 4
6г
гг,
и
г>2 ! л !
0'Гаст' /! !), .! !' (
и 2 гг
х~ (-м;+ )
5л.
с!» и! >ало /(с)
У2! т-6
(х- 1),
Иысем
! х — 1=-г ~
г 1~ г !Зг 4
5Г+ 5
— !г ! Зг - 4 =- (г - 1) (! ! г1Я и-
(à — ! ) (à -1- 4)::::'...'.;:".;.;-',:,"
Представим Волучсинук> дробь В ш>дс суммы простых дробей::::-'-'';
5г -г-5 А
методом неопределенных ко:>ффицислггоси — — — - -- -- +:!!р
(г -1)(Г ! 4) à — 1
ИСКОДИУГО ф !
фу ио!ию чо>к>ю ирслсГГ>В>ГГЬ В Вичс / (х) - + 'а
2
г .— 1 Г+4:;:.'!.
Д е,с помощьго(3 10) получим .. --2- -- -'- — 2 Х»
Далее с
'>
Г 1 1 — Г и О
и
(г~ < 1, обла
'!'ак как
чио, ио (3.! 0
Л и а!>о!'и
3 ( — 1) ег'
~1п О
3 1
г
1>-
Г
-! < 1, облас
!ак >Гак
1-: -3
~:л ..5
5
льио,
х2 1-
с>конча>с
3(х — !)"
.,!и! !
Е ! -2-1-(
и а >,
Г>б.>асгь сколимосги
-= хГ- (О 2)
!!ример 3.8. Раз:н>аюп
я (; с>) г>риц!
!!сцо,>! з3
-(8!х)
-4/3)
— 1/3(
2
3( -4/3)( — 7/
-! =х — !
СтЬ СКОдИМООГИпаЗ>О1Упс:,'рчядла;.,'",",~~~~;,:,'®~!'-',„;::~'.
— Х (-!)" 3(-1)
ть скодимости этоГо ря22а':,',"-".~:~;!~~~" ':
— -2 Х„(х- 11":,'=~:;:::-:3"':-''"~-;;-:":,:-"':: "~
полученною ряда х. г= (О';2)2 >(с",'.,::- й" ь функцию/'(х) = —; — ": ":йо~,'
Б~ ~:.3,;,.:,",.„;,::,".::-':- ""
>ь>ая гп — — — —, х ->' —, ИМОЕ!!1;-'::,;:!";:!'-;:,!;- — ! /3(-4/3~('-".:.'~/~)-':-.~~;.,,
Распознанный текст из изображения:
с
Диффе уя этот ряд пол~ ~им р»зложеиия лляу'и»~
у'=с!+2сах+Зсэх +" +псн.» ! (и ! 1)с„, !».
= ~, (п+ !)с„, !хи;
н 7
У =2с2+3 ° 2с1х+ +п(ц — !)с„х " ! (ц+ 1) цскп х'
,и
+(п+2)(и+!)синях '! ''' = ~х' (ц ! 2)(п ! 1)с„,2х
и О
Подставим эти выражения лля и, г'и 1" в исходное уравнение:
(! — х ) ~~~ (ц+1)(и+2)с„» х" — 4» ) (и-! !1»,, ь»ив
и::-0 н о
— 2,Г н.»н бх — 2,
и 0
,,'' ((и+1) (и+ 2)с„,.х" — (ц и 1) (ц-.— 2)с„,
п=о
--" (ц '- 1) сц ~ и»'" ' — 2сн.»э') -- бх — 2.
Приравнивая коэффициенты ири одинаковых степенях х в обеих
частях равенства, получим систему уравнений для нахождения с„:
х: 2с2 — 2со = —, ~ с~ = со — 1;
о.
х: 2.3.с» — 4с! — 2с~ =б,~с; ==с! 1-1:
1.
х; 3 4 с» — 2са — 4 2 сэ — 2сэ =- О.=-~ сч ==- с, -= со — 1;
2.
х~: 4 5 са-2 3 с~ — 4 3 сз — 2с;:=О,=~
'- с5 = с! = с! + 1;
Следовательно, сх„= с, ) ."' -.,:,;" ":,';-'"! ~:" "~"~" т"
Подставляем найденнь!е ко фф.„:, ",;..:,„;:,:,::,:,;,,-;:,,:!„';;:,",:.',,ф„,„. функции:
1 ==,~ с„х = со+с!х+ ~~ (с2нх2н+С.--',:,:.~~~:.".,,"-,.'"~:,'"'"
н:.- о
= со+ с!х+ '! ((со г).',2и+~~...+~ . ' " '
= со,) х2" + е.,1:.~;;:-"~+~;;~„',- и — -о .,;и~".".::;'::!~~:
Исходное дифференциальное урааиеэини-"'"'~=' " пое второго порядка. Его общее решение: """"""'. следующего вида:
У н н У о.о +У ч,н ="с!!р1'!+у3". где уч и у. — линейно независимь1е ч~ " ющсго однородного уравнения, обряда "=' стему решений; у„„— частное;:р6' уравнения; ус я = соу! +с!у~: — "-',::.Ф, "ч го однородного уравнения.. В йод, ' необходимая структура.Функ!~~:;,""'.' зуют фундаментальную ей~~~,"..
"::З~ф
породного уравнения; у„;н:::;~,:,-.:.!':ч! '
неоднородного уравнена,'::.";~:::~~:~
Учитывая, что в:-Отв,.' "
функций (см. 3.9) и Чт1~~'":,ф~;;".
че:
3:'.:ч ф,.
Ответ: уо;,',:.;,,'=,'. ',,' '" '
, х ': (2и+!)(2п+2)сан~.~ — 2п(2ц
-4 2ис2и — 2сън =- О ~ сэ„; а =- с2„=- х '~~: (2п+3) (2п+4) с н, ~ — (2п 1- -4. (2и+ ! ) с~,„. ! — 2с2н,. ! = О ~ с.н
— !)с„.„—
со — 1;
1)2цсап, !—
При имер:-:$!4~,
+У = 2008~., '
Распознанный текст из изображения:
2й
п
!2п1!
и!иь-ы и1у
1кмо ~х ихиия и ии1ио
„;„; (, 13 '1. !3 'И, 11ьроПояьиили рз~;и)жьиия и*,В ь иьин ~». ~
ио * ' ь<ь' .о
Ййшфм 1~ьииснис ииоио, !
'ииоьи~ио иои''и иииио иоь~
Чтобы аычиьлль ори~ . ил.оиио о „' ':, ° . ь
и
И(л узко~,о!~о„~,иьиий и ря„
: ьь: озь~и ~иии
мы '1ьйбии1!3, ио иои', "ьии ",'~и*:ии, ~ " '' ьь, ~ оо.
ь'~' дчо11 ~„~о о: ииои ои ь~ ! !4
ьзеиы:и оь 1, .: б' ,... ь !" б!2 ь
а!:- 11.!ЛЯ!111-1б;у ! '1:-! б . '. б ЬЛ!',:,',,2 11~ р. ииоль
: 2,/'
Й,: <' а, -, 11,бб!
О18~."и !~ «" 1ох - ~о*:. ~ 1 . !
Зй;иния;ь!я сиъм)ои ой! о.,и иии риби ! ы
!1рииоид$ и иь ~ иьь; *;и,ииььи ~ ь, > ио ~~, 1,*ии~ирк иииия, илйти п иьрвуа и;н.иои 1ь~ ои;,~оиии и ь:.и "ииьи;,,ь: ри.и«и~ия;!ифФФ1жкдиальио~о Урзвиоиия . и,ии.иыии,и; оь,ьиыь!и,;ьи ~иии ыи:
31/ и' ' х.,у О) 1. и
'Ь "у ~:у
4ФФ4'1: Й) $» 1 у
5(%' ! 11 1~~!,у
2 16
2, 1!римьи
ии пио .инаф
иым "оиоииь '1/: -1 б)х/' ~/
/ЙЯ мь~~уд
о1жьии1ж!!
О, уй!~
~ху О,
!!
и
г
~2ь
Начать зарабатывать