Пять измерений — один результат: как посчитать среднее и оформить погрешность в лабораторной
Весы показали пять немного разных чисел. Ты нашёл среднее, растянул формулу, получил длинную дробь. Теперь нужно решить, что поставить после «±» и сколько цифр оставить. Удалять знаки на глаз неудобно: можно округлить слишком рано или выдать разброс отдельных показаний за неопределённость среднего.
Разберём одну серию повторных взвешиваний. Ты сможешь перенести схему в свою таблицу, проверить её по контрольным числам и подготовить запись для отчёта. Расчёт итоговой неопределённости зависит от задания: для концентрации после титрования или величины, найденной по наклону графика, понадобится своя модель.
Сначала проверь, что именно ты усредняешь
Для нашего примера один и тот же объект независимо взвешивают несколько раз в одинаковых условиях. Между отсчётами выполняют повторное взвешивание по инструкции к работе. Пять переписанных показаний неподвижных весов ещё не дают пяти независимых измерений.
Если у тебя пять разных образцов, разная температура или масса меняется из-за испарения, сначала выясни, какую величину требует найти задание. Среднее по разным состояниям может отвечать совсем на другой вопрос.
Словом «погрешность» в учебных заданиях часто обозначают разные вещи. Здесь неопределённость характеризует разброс значений, которые обоснованно приписывают измеряемой величине. Ошибка измерения — разность измеренного и опорного значения; её нельзя узнать из одного разброса повторов. В отчёте используй обозначения и определения своей методички.
Вставь числа и проверь, что таблица их считает
Ниже учебные данные, придуманные для разбора. В ячейке B1 напиши «Масса, г», а в B2:B6 вставь по одному значению:
12,41
12,43
12,42
12,40
12,44
Внутри ячеек оставь числа, единицу измерения вынеси в заголовок. Запись
12,41 г
может оказаться текстом и выпасть из расчёта.
В B9 введи
=СЧЁТ(B2:B6)
Должно получиться 5. Если вышло 4 или 0, проверь десятичные разделители, лишние пробелы и апостроф перед числом. Выравнивание по правому краю само по себе не доказывает, что ячейка числовая.
В Google Таблицах десятичный знак зависит от локали документа. Для локали с точкой вводи 12.41, а не меняй запятые во всём файле вслепую. После преобразования снова проверь число числовых ячеек и сравни значения с исходной записью. Не заменяй пропущенное измерение нулём: ноль будет полноценным участником среднего.
Четыре формулы вместо пересчёта каждой строки
В русской версии Excel заполни ячейки под исходными данными:
B9 — число измерений n:
=СЧЁТ(B2:B6)→ 5.B10 — среднее:
=СРЗНАЧ(B2:B6)→ 12,42 г.B11 — выборочное стандартное отклонение s:
=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B6)→ примерно 0,015811 г.B12 — стандартная неопределённость среднего по повторам uA:
=B11/КОРЕНЬ(B9)→ примерно 0,007071 г.
В Google Таблицах с английскими названиями функций для тех же ячеек используй =COUNT(B2:B6), =AVERAGE(B2:B6), =STDEV(B2:B6) и =B11/SQRT(B9). Эти формулы подходят и для английской версии Excel, где выборочное отклонение можно вычислять функцией STDEV.S.
Функция выборочного стандартного отклонения использует делитель n − 1. Не подменяй её функцией для всей генеральной совокупности. Текст в ссылочном диапазоне может быть пропущен — это отдельно описано в справках Microsoft и Google, поэтому проверка n идёт первой.
Числа после стрелок здесь показаны приближённо, чтобы ты мог сверить расчёт. В формулах сохраняй полные значения ячеек. Пока достаточно настроить отображение нужного числа знаков, не вставляя ОКРУГЛ в каждую промежуточную формулу.
Почему s и uA получились разными
Стандартное отклонение s описывает разброс отдельных показаний. Величина uA = s/√n оценивает стандартную неопределённость среднего по независимым повторам при одинаковых условиях. В нашем примере это 0,015811 г и 0,007071 г соответственно. Различие между разбросом отдельных опытов и неопределённостью среднего подробно разобрано в лабораторном руководстве Rose-Hulman.
uA учитывает только вклад, оценённый по повторам. Если все пять показаний совпали и таблица выдала s = 0, это ещё не означает нулевую итоговую неопределённость: сведения о приборе и методе всё равно нужны.
Добавь приборный вклад по условиям своей работы
Перед итоговой записью найди в методичке или документации к прибору, что именно дано и как этим пользоваться:
стандартная неопределённость или расширенная неопределённость с коэффициентом охвата;
предел допускаемой погрешности или характеристики разрешения прибора;
поправка к показаниям, которую нужно внести в результат;
правило объединения вкладов и требования к записи ответа.
Эти величины нельзя без пояснения подставлять в одну формулу. В частности, цена деления сама по себе не задаёт универсальную стандартную неопределённость. Оценивание по повторам называют типом A, по другим сведениям — типом B; это способы оценивания, а не синонимы случайной и систематической ошибки.
Продолжим условный учебный пример. Пусть задание задаёт модель массы как среднего показания плюс поправка. Поправка принята равной нулю, её стандартная неопределённость uB = 0,010 г уже установлена по документации; с вкладом повторяемости она не коррелирует. По условиям примера других значимых вкладов нет.
Тогда для этой аддитивной модели суммарная стандартная неопределённость равна uc = √(uA² + uB²). Такое сложение квадратов применимо при названных условиях; общий закон объединения, включая корреляции, приведён в руководстве NIST.
В H1 напиши «uB, г», в H2 введи 0,010. В B13 поставь =КОРЕНЬ(B12^2+$H$2^2); в Google Таблицах с английскими функциями — =SQRT(B12^2+$H$2^2). Контрольный результат: uc ≈ 0,012247 г.
Если твоё задание требует расширенную неопределённость U, нужен коэффициент охвата k: U = k × uc. Само умножение на 2 ещё не обосновывает вероятность охвата 95 %. Если в методичке используется доверительный интервал с коэффициентом Стьюдента, выполняй именно эту процедуру с её условиями.
Как скопировать расчёт на следующую серию
Размести следующую серию в C2:C6 и скопируй B9:B13 в C9:C13. Ссылки на измерения и результаты сдвинутся к столбцу C, а $H$2 останется на месте: знак $ фиксирует строку и столбец общей ячейки.
Так делать можно, если обе серии действительно используют один приборный вклад в одинаковых единицах. Для другого диапазона весов или другого прибора задай свои исходные сведения. Если измерений стало шесть, расширь диапазоны всех трёх исходных формул до строки 7 и проверь n: формула с B2:B6 шестую строку сама не включит.
На Студизбе можно подобрать учебный пример по своему вузу и сопоставить структуру расчёта: где указаны исходные данные, как названы составляющие неопределённости и как записан ответ. Затем проверь этот порядок по своей методичке и подставь собственные измерения.
Сколько цифр оставить в результате и неопределённости
Для нашего примера среднее равно 12,42 г, а uc ≈ 0,012247 г. Допустим, правила работы требуют две значащие цифры в неопределённости и округление до ближайшего значения. Тогда uc превращается в 0,012 г, а результат записывается с тем же последним разрядом: 12,420 г.
Нули перед первой ненулевой цифрой в 0,012 не считаются значащими. Здесь две значащие цифры — 1 и 2, а последний разряд — тысячные. Поэтому запись результата дополняется нулём; она не означает, что весы показывали тысячные грамма.
Для отчёта можно записать: m = 12,420 г; uc(m) = 0,012 г — суммарная стандартная неопределённость. Если методичка требует форму с «±», получится m = (12,420 ± 0,012) г с тем же пояснением вида неопределённости. Без пояснения читатель не узнает, что именно стоит после знака.
В GUM, пункте 7.2.6 рекомендовано избегать избыточных цифр: обычно достаточно не более двух значащих цифр неопределённости, а разряд результата согласуют с ней. В учебной работе может быть задано округление до одной цифры или округление неопределённости вверх. Сначала выбери требуемое правило, затем применяй его последовательно.
Помощник ниже оформляет значение с уже рассчитанной положительной неопределённостью в тех же единицах. Укажи её вид и правило из методички; для расширенной неопределённости сохрани коэффициент охвата и сведения об охвате. Перед копированием сравни исходные и округлённые числа.
Согласуй округление значения и уже заданной положительной абсолютной неопределённости в тех же единицах. Помощник не рассчитывает неопределённость измерений и не проверяет обоснованность исходных данных. Выбери правило в методичке: число значащих цифр и направление округления неопределённости. Сначала округли неопределённость, затем значение — до того же последнего разряда. Значение округляй до ближайшего; при точной половине — от нуля. Условный пример: 12,42 г и стандартная неопределённость 0,012247 г. При двух значащих цифрах и округлении до ближайшего получаем (12,420 ± 0,012) г; стандартная неопределённость. Для расширенной неопределённости сохрани также k и сведения об охвате.Запись результата без лишних цифр
Перед тем как переносить ответ в отчёт
Проверь пять вещей:
Число числовых ячеек совпадает с числом измерений; пропуски не заменены нулями.
Среднее, s и uA рассчитаны по одной серии, а условия позволяют считать повторы независимыми.
Поправки и приборные составляющие взяты из задания или документации и обработаны по нужной модели.
У итоговой неопределённости указан вид; для расширенной сохранены k и сведения об охвате, когда они установлены.
В отчёт перенесена согласованная запись, а в таблице остались исходные измерения и полные промежуточные значения.
Если после этого результат отличается от чужого примера, воспользуйся разбором что проверить при расхождении результатов лабораторной. Сравни условия измерений, исходные данные и формулы, прежде чем переделывать расчёт.
