341_4- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.4_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2003 -432с (987780), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Под множеством элементарных исходов понимают множество взаимоисключающих исходов такое, что результатом эксперимента всегда является один и только один исход. Любое подмножество данного множества Й интерпретируется как событие (возможно, и ненаблюдаемое).
Совокупность всех наблюдаемых событий составляет поле сабы<пой для данного эксперимента. Понятия, связанные с 2) и 3), определякпся строго в аксиоматической теории вероятностей, которая составляет основу всех современных курсов теории вероятностей и их приложений. Множество Й для данного эксперимента может быть дискре<лным, непрерывным или иметь более сложную структуру.
К дискретным относятся конечные или счетные множества элементарных исходов, к непрерывным — множества типа континуума (любой конечный или бесконечный интервал на числовой прямой является примером множества типа континуума). В дальнейшем мы рассматриваем только такие модели экспериментов, для которых множество элементарных исходов Й либо дискретно, либо непрерывно. Гл.18.
Теория вероятностей Говорят, что событие А произошло (наступило, осуществилось, реализовалось), если результатом эксперимента явился элементарный исход ь<, принадлежащий А (ы б А). Событие, совпадающее с пустым множеством И, называется невозможным сабы<лиям, а событие, совпадающее со всем множеством Й, — достоверным событием. Два события А и В называются совместными (несовместными), если в результате эксперимента возможно (невозможно) их совместное осуществление. Другими словами, события А и В совместны, если соответствующие множества А и В имеют общие элементы, и несовместны в противном случае.
Построение множества Й (если оно не задано при описании эксперимента) осуществляется на практике, исходя из требования, чтобы все интересуюшие нас результаты данного эксперимента могли быть однозначно описаны на основе построенного множества Й. Другими словами, если нас интересуют события А, В, С и т. д., являющиеся наблюдаемыми событиями в данном эксперименте, то множество Й должно состоять из таких исходов, чтобы существовали подмножества данного множества, равносильные событиям А, В, С и т.д. Пример 1. Эксперимент состоит в подбрасывании олин раз правильной шестигранной игральной кости. Обозначим Х число очков, выпавших на верхней грани кости.
Описать множество элементарных исходов Й и указать состав подмножеств, соответствующих следующим событипм: А = (Х кратно трем), В = (Х нечетно), С = (Х ) 3), Р = (Х < 7), Е = (Х дробно), г = (0,5 < Х < 1,5). Выявить пары совместных событий. < Введем обозначения для следующих наблюдаемых в данном эксперименте событий: ыь = (Х = Ц,?с = 1, 2,...,6; и<0« = (Х вЂ” нечетное число), ь«<г« = (Х вЂ” четное число). На базе данных исходов можно сконструировать два множества элементарных исходов Йз = (ьгыа<г,...,а<в) и Йг — — (и<0«, а<~э~). Какое из них больше подходит для формальной модели данного эксперимента? ' Ясно, что Йг следует «забраковать», поскольку, например, наблюдаемые события ым ь<г, ..., ыв А, В, Р, Е не являются подмножествами множества Йг.
С другой стороны, все перечисленные события могут быть описаны как подмножества множества Йы Действительно, А = (ыз, о<в), В = ы = (ь«ы <аз~ щз), С = (ь«4«ыз "'в)< Р = (ь«««<аг~ . 1 о<в) = Йз« Е = й<, Е = ь«з. Из написанных равенств, в частности, усматриваем, что исходы и<О«и ь«1~~ разложимы на элементы, которые сами являются исходами данного эксперимента. Таким образом, исходы ь<ы ыг, ..., а<в более <элементарны», чем исходы а<«О и «а«г«.
Сопоставляя попарно события и проверяя наличие общих элементов, находим пары совместных событий: А и В, А и С, А и Р, В и С, В иР,ВиЕ, СиР,РиР.~> Пример 2. Эксперимент состоит в радиолокационном обнаружении воздушной цели. Наблюдаемый результат — положение светящегося пятна (отраженного импульса от цеди) на экране индикатора цели, имеющего форму круга радиуса 10 см, в декартовой системе координат с началом, совпадающим с пентром экрана. Описать множество элементарных З 1. Случайные события исходов и состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: А = (цель находится в первом квадранте), В = (цель находится в круге радиуса 5 см, центр которого совпадает с центром экрана), С = (цель находится в круге радиуса 2,5 см, центр которого сдвинут на 5 см вдоль осн Ох в отрицательном направлении).
Совместны ли пары событий А иВ,АиС,ВнСУ 0 Все интересуюшие иас в данном эксперименте наблюдаемые со- бытия связаны с регистрацией положенин светящегося пятна на экране индикатора. Удобной формой математического описания элементарного исхода являются в данном случае координаты случайной точки на плос- кости, соответствующей, например, пентру пятна (предполагаетсн, что пнтно представлнет собой круг достаточно малого радиуса). Таким образом, множество Й непрерывно и может быть записано в виде (1 = ((х, у) ) хэ + уэ < 100). Подмножества, равносильные указанным событиям, имеют вид А=((х,у)(хэ+уэ<100, х>0, у>0), В = ((х, у) (хэ+ уэ < 25), С = ((х, у))(х + 5) + у < 5,25).
По определению, события совместны, если соответствующие им подмножества имеют общие элементы (цересекаются), и несовместны в противном случае. Поэтому события А н В, В н С совместны, а события А и С несовместны. ~> В задачах 18.1-18,10 построить множество элементарных исходов Й по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям. 18.1. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат — пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших в первый и второй раз. События: А = (оба раза выпало число очков, кратное трем), В = (ни разу не выпало число шесть), С = (оба раза выпало число очков, большее трех), Р = (оба раза выпало одинаковое число очков). 18.2.
Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат — появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. События: А =(герб выпал ровно один раз), В = (ни разу не выпала цифра), С = (выпало больше гербов, чем цифр), Р = (герб выпал не менее, чем два раза подряд). 18.3. Монета подбрасывается до первого появления герба. Наблюдаемый результат — общее число подбрасываний.
События: А = (герб выпал при третьем подбрасывании), В = (герб выпал не ранее, чем при третьем подбрасывании). 18.4. Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех занумерованных шаров по трем ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число шаров. Наблюдаемый результат — — тройка 10 Гл. 18. Теория вероятностей чисел («,у, Й), где»',у', й — номера ящиков, в которые попали соответственно первый, второй и третий шары.
События: А = = (первый ящик пустой), В = (в каждый ящик попало по одному шару), С = (все шары попали в один ящик). 18.5. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени: — 2 < х < 2, — 1 < у < 1. Наблюдаемый результат— коорлинаты точки попадания в декартовой системе координат. По условиям стрельбы непопадание в указанный прямоугольник исключено.
События: А = (абсцисса точки попадания не меньше орлинаты), В = (произведение координат точки неотрицательно), С = (сумма абсолютных величин координат точки превышает единицу). Выявить пары совместных событий. 18,8. На отрезке [а, 6] наудачу ставится точка. Пусть х — координата этой точки. Затем на отрезке [а, х[ наудачу ставится еще одна точка с координатой у. Наблюдаемый результат — пара чисел (х, у). События: А = (вторая точка ближе к правому концу отрезка [а,6), чем к левому), В = (расстояние между двумя точками меньше половины длины отрезка), С = (первая точка ближе ко второй, чем к правому концу отрезка [а, 6)). Выявить пары несовместных событий. 18.7.
Иван и Петр договорились о встрече в определенном месте между одиннадцатью и двенадпатью часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет появления другого до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Наблюдаемый результат — пара чисел (х, у), где х— время прихода Петра, у — время прихода Ивана (время исчисляется в минутах, начиная от 11 часов). Событие А = (встреча состоялась). 18.8 (продолжение). В условиях эксперимента задачи 18.7 рассмотреть следующие события: В = (Петр ждал Ивана все обусловленное время и не дождался), С = (Ивану не пришлось ждать Петра). 18.9 (продолжение).
В условиях эксперимента задачи 18.7 рассмотреть события: Р = (встреча состоялась после 11 ч 30 мин), Е = (Иван опоздал на встречу), Г = (встреча состоялась, когда ло истечения часа оставалось меньше пяти минут). 18.10*. Проводится матч на первенство страны по футболу между командами «Динамо» и «Спартак». Интересуюшие нас события: А = (выиграла команда «Динамоэ), В = (игра закончилась победой одной из команд), С = (игра закончилась со счетом 3: 1 в пользу «Спартакаэ), Р = (в игре забито не меньше трех голов). З 1. Случайные события 18.11*. С помощью специального прибора регистрируется направление ~о и скорость ветра о в данном месте Земли. Прибор устроен таким образом, что позволяет определять скорость ветра сколь угодно точно, а регистрация направления ветра возможна лишь с точностью до 2'.
Установить, наблюдаемы ли в данном эксперименте события: А = 1(о, «р) ~ и < 12 км/ч, «р = 343' 35'), В = 1(и, «р) / о = 15,5 км/ч, 340' < ~р < 350'), С = ((о, «р) !и > ~~ 3, 25 км/ч, 48' < «а < 51'). 2. Алгебраические операции над событиями. Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполнимые над множествами.
В частности, определены следующие операции и отношения между событиями: А С В (отношение включения множеств: множество А является подмножеством множества В) — событие А влечет за собой событие В. Иначе говоря, событие В происходит всякий раз, как происходит событие А. А = В (отношение эквивалентности множеств) — событие А талсдественно событию В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
